Somando e Subtraindo Expressões Fracionárias 3

Ache a diferença.

Mostre a resposta
como uma expressão

fracionária simples, e
defina o domínio.

Temos duas expressões
fracionárias, e vamos

subtrair uma da outra.

Assim como originalmente
aprendemos a subtrair frações,

ou somá-las, nós precisamos
achar um denominador comum.

O melhor jeito
para isso, se estamos apenas

lidando com números
comuns, ou expressões algébricas,

é fatorá-los, e
se certificar de que o denominador

comum tem todos
os fatores nele - isso assegurará

que ele é divisível
pelos dois denominadores.

Essa parte aqui
está completamente pronta

é só a mais dois.

Já esse daqui, vamos ver
se conseguimos fatorá-lo: é a ao quadrado

mais quatro a mais a.

Bem, note que quatro
é dois ao quadrado, e também dois vezes dois,

então a ao quadrado
mais quatro a mais quatro é
a mais dois vezes a mais dois,

ou a mais dois ao quadrado.

Poderíamos dizer que é
a mais dois vezes a mais dois -

- isso equivale a
a ao quadrado mais quatro a mais a.

Isso é claramente divisível
por ele mesmo -- tudo é divisível

por ele mesmo, exceto,
talvez, por 0, é divisível por

ele mesmo, e é também
divisível por a mais dois, então isso

é o mínimo múltiplo comum
da expressão, e essa parte,

poderia ser um bom
denominador comum.

Vamos checar.

Isso será o mesmo
que ser igual ao primeiro termo

bem aqui, a menos dois
sobre a mais dois, mas queremos

que o denominador agora seja
a mais dois vezes a mais dois - queríamos

que fosse a mais dois ao quadrado.

Então, vamos multiplicar esse
numerador e denominador por

a mais dois, para que
o denominador seja o mesmo que esse.

Vamos multiplicar ambos
o numerador e o denominador

por a mais dois.

Vamos admitir que
a não é igual a menos dois,

já que isso criaria uma
descontinuidade, e faria

com que tudo fosse descontínuo também.

Através disso tudo,
vamos admitir que

a não pode ser igual a menos 2.

O domínio são todos os reais,
a pode ser qualquer número real

exceto menos dois.

Então, o primeiro termo é --
aumentando a linha um pouco --

e então o segundo termo
não muda, porque o

denominador já é o
denominador comum.

Menos a menos 3 sobre --
e poderíamos escrever também como

a mais dois vezes a mais dois,
ou como isso daqui.

Vamos escrever na forma fatorada,
porque isso nos ajudará a

simplificar mais pra frente:
a mais dois vezes a mais dois.

E agora, antes que --
vamos deixar assim -- agora,

antes de pormos os numeradores,
seria uma boa ideia

multiplicar isso aqui,
mas irei escrever o denominador,

que sabemos qual é:

a mais dois vezes a mais dois.

Agora esse numerador:
se tivermos a menos dois vezes

a mais dois, já vimos essa
estrutura antes.

Podemos multiplicar se quisermos,
mas provavelmente já vimos isso

o bastante para reconhecer
que será a ao quadrado

menos dois ao quadrado.

Isso vai ser
a ao quadrado menos 4.

Você pode multiplicar,
e os termos do meio se cancelam --

o menos dois vezes a cancela
o a vezes 2, e temos apenas

a ao quadrado menos quatro --
está bem aqui.

E então você tem isso:
menos a menos 3, então

vamos prestar atenção aqui --
você está subtraindo a menos 3, então

você precisa distribuir o sinal negativo,
ou multiplicar

ambos os termos por
menos 1.

Então você poderia por menos a aqui,
e então o menos 3 vira

mais 3, e assim
no que isso se resume?

Você fica com a ao quadrado
menos a mais -- vamos ver, menos quatro

mais três é menos um,
tudo sobre a mais 2

vezes a mais dois.

Poderíamos escrever isso
como a mais dois ao quadrado.

Agora, nós queremos
fatorar ainda mais esse numerador,

só pra garantir que ele
não contenha um fator comum

com o denominador.

O denominador é só dois vezes a
mais dois é multiplicado

por eles mesmos.

E você pode notar que
a mais dois não vai

se um fator na expressão acima --
se fosse, esse

número aqui seria divisível
por dois, quando isto

não é divisível por dois.

Então, a mais dois não é
um dos fatores aqui, então

não vai haver mais nenhuma
simplificação, mesmo se

pudéssemos fatorar essa parte,
e o numerador de fora.

Então

acabamos.

Nós simplificamos a
expressão fracionária, e

o domínio é para todo a,
exceto para a, ou, para todo a

dado que a não é igual
a menos dois -- todo a

exceto para menos dois.

E acabamos.