-
To co jsem zde nakreslil žlutě je přímka.
-
Řekněme, že známe dvě věci o této přímce.
-
Víme, že má směrnici 'm'
-
a víme, že bod [a,b] leží na této přímce.
-
Otázka, na kterou se budeme
snažit odpovědět, zní,
-
zda můžeme snadno přijít na rovnici
této přímky pomocí těchto informací.
-
Zkusme to udělat.
-
Jakýkoliv bod na této přímce,
jakékoliv [x,y] na této přímce
-
musí splnit tuto podmínku, že směrnice…
-
Řekněme, že tohle je nějaký bod [x,y].
-
Je to libovolný bod na přímce.
-
Fakt, že je na přímce, nám říká, že
směrnice mezi [a,b] a [x,y] musí být 'm'.
-
Využijme znalosti tohoto
k sestrojení rovnice.
-
Jaká je směrnice mezi [a,b] a [x,y]?
-
No, naše změna v 'y'…
-
Pamatujte, směrnice je
změna v 'y' ku změně v 'x'.
-
Napišme to.
-
Směrnice je rovna
změně v 'y' ku změně v 'x'.
-
Tento malý symbol trojúhelníku,
to je řecké písmeno delta,
-
zkratka pro změnu.
-
Naše změna v 'y'…
Podívejme se.
-
Pokud bychom začali na 'y' je rovno 'b'
-
a skončili na 'y' je rovno
tomuto libovolnému 'y' zde,
-
tato změna v 'y' zde
bude rovna 'y' minus 'b'.
-
Napíšu to v těch stejných barvách.
-
Tohle bude 'y' minus
mé malé oranžové 'b'.
-
A tohle bude naše změna v 'x'.
-
A ten stejný postup -
začínáme na 'x' je rovno 'a'.
-
Končíme na 'x' je rovno
tomuto libovolnému 'x',
-
ať už je to 'x' jakékoliv.
-
Změna v 'x' bude koncový bod
minus počáteční bod…
-
…minus 'a'.
-
A víme, že tohle je směrnice
mezi těmi dvěma body.
-
To je směrnice mezi dvěma
libovolnými body na přímce.
-
To se rovná 'm'.
-
Tohle se bude rovnat 'm'.
-
A co jsme právě udělali je,
že jsme vlastně sestrojili rovnici,
-
která popisuje tuto přímku.
-
Nemusí být ve tvaru,
na který jste zvyklí,
-
ale je to rovnice,
která popisuje,
-
že každé [x,y],
které splňuje tuto rovnici zde,
-
bude na této přímce,
-
protože každé [x,y], které splňuje tohle,
že směrnice mezi [x,y] a tímto bodem zde,
-
mezi bodem [a,b],
bude rovno 'm'.
-
Pojďme to tedy převést do tvarů,
které bychom snadněji rozpoznali.
-
Zkopíruji to.
-
Abychom to trochu zjednodušili nebo se
aspoň zbavili (x minus a) ve jmenovateli,
-
pojďme vynásobit obě strany (x minus a).
-
Pokud bychom obě strany
vynásobili (x minus a),
-
tedy (x minus a) na levé straně
i na pravé straně rovnice.
-
Vložím sem kolem toho nějaké závorky.
-
Vynásobíme obě strany (x minus a).
-
Celý smysl je, že tady budeme mít
(x minus a) děleno (x minus a),
-
což bude jen 1.
-
A na pravé straně budeme mít jen
m krát (x minus a).
-
Tohle celé se zjednodušilo na
(y minus b) je rovno m krát (x minus a).
-
A tohle, to je tvar,
který lidé, matematici, označují jako
-
rovnici přímky zadanou bodem a směrnicí.
-
Tato rovnice je tedy
zadána bodem a směrnicí.
-
Proč se tomu tak říká?
-
Je velmi snadné to prozkoumat a říct:
-
„Tohle zeleně je směrnice přímky.
-
To je směrnice přímky.
-
A můžu do ní vložit dva body.
-
Pokud je bod [a,b] na přímce,
-
mám směrnici krát (x minus a)
je rovno (y minus b).“
-
Teď se podívejme, proč je to užitečné,
proč lidé rádi používají tento zápis.
-
Nepoužívejme už bod [a,b]
a směrnici 'm'.
-
Udělejme to trochu konkrétnější.
-
Řekněme, že nám někdo řekne,
že pracujeme s přímkou,
-
kde směrnice je rovna 2,
-
a řekněme,
že prochází bodem [-7,5].
-
Velmi rychle byste mohli
využít této informace
-
a znalosti tvaru rovnice zadané
bodem a směrnicí,
-
abyste to zapsali v tomto tvaru.
-
Řekli byste:
-
„Rovnice obsahující
tento bod a tuto směrnici
-
by byla (y minus b), což je 5…
-
y minus 'y' souřadnice bodu,
který leží na přímce.
-
…je rovno směrnici krát
(x minus 'x' souřadnice bodu na přímce),
-
tedy (x minus -7).“
-
Takto byste napsali rovnici přímky,
která má směrnici 2 a obsahuje tento bod.
-
Pokud by se nám nelíbilo
(x minus -7) zde,
-
mohli bychom to přepsat
na (x plus 7).
-
Ale tohle je čistý tvar
bod-směrnicové rovnice.
-
Pokud to chcete zjednodušit,
-
můžete napsat
(y minus 5) je rovno 2 krát (x plus 7).
-
Pokud byste chtěli vidět, že je to jen
jiný způsob zápisu rovnice této přímky…
-
Je mnoho dalších,
-
ale ten, který známe nejlépe,
je tvar s průsečíkem s osou 'y'.
-
Tohle můžeme snadno
převést do takového tvaru.
-
K tomu musíme roznásobit tuto 2.
-
Dostaneme (y minus 5) je rovno
2 krát x plus 2 krát 7, takže 14.
-
A pak se zbavíme -5 nalevo
přičtením 5 k oběma stranám rovnice.
-
Na levé straně nám zůstane 'y'
-
a na pravé straně
2x plus 19.
-
Tohle zde je
směrnice-průsečíkový tvar rovnice.
-
Máme směrnici a průsečík s osou 'y'.
-
Tohle je směrnice-průsečíkový tvar.
-
A tohle zde je
bod-směrnicový tvar.
