Singular Matrices

也許比求逆方陣更有趣的是

判斷它的逆矩陣什麽時候不存在

或者說什麽時候沒定義

當一個方陣沒有逆矩陣時

或者它的逆矩陣沒定義的時候

我們稱之爲奇異矩陣 接下來就是

研究什麽樣的矩陣是奇異矩陣

以及怎樣運用在不同的

處理矩陣的問題中

假設這有個2×2的矩陣

因爲這樣的例子更簡單

而且它能運用到任何階數的實際方陣中

所有我們先用2×2的矩陣

它的元素是a,b,c和d

那麽它的逆矩陣是什麽？

相信這個你們能馬上反應過來了

它等於1除以A的行列式

再乘上A的伴隨矩陣

在這種情況下 a與d的位置互換

變成d和a

b和c取負數

變成-c和-b

那麽我要問你們的問題是

怎樣才能使這個式子沒有定義？

當然不管這裡面元素是多少

如果這裡的元素有定義

那麽我交換這裡或者那裏取相反數後

並不會改變這一部分表達式

但是有什麽辦法能

讓這裡的除數是0

如果矩陣A的行列式沒有定義

所有A的逆也沒有定義 若且唯若――

有時候我們簡寫成iff――

若且唯若A的行列式等於0

從另一個角度看

如果任何矩陣的行列式等於0

那麽這個矩陣是奇異矩陣

它不可逆 或者說它的逆沒定義

從概念上考慮

我們至少要思考的以下兩個問題

行列式爲0表示什麽

另一個是能否通過直覺來判斷

爲什麽一個矩陣不可逆

那麽行列式爲0表示什麽？

在這種情況下 2×2的行列式又表示是什麽

A的行列式等於什麽？

它等於ad-bc

因此如果這表達式等於0

那麽這個矩陣是奇異的 或者說它不可逆

我把它寫在這

如果ad等於bc――

我們可以把式子處理一下

我們說如果a/b等於c/d

即在等式兩邊

同時除以b和d

如果a：b的比值等於c：d的比值

則可以說矩陣不可逆

或者換一種寫法

如果a/c――

如果等式兩邊 同時除以c和d――

即等於b/d

使這個矩陣奇異的另一種情況是――

它們其實都是換湯不換藥

如果它成立 則它也成立

它們是一個意思

只是用了一點代數變換

但若a：c的比值等於b：d的比值

你可以考慮一下 爲什麽它們一樣

a：b的比值等於

c：d的比值

但無論怎樣 我希望你不要迷惑

來看看它是如何轉變成

我們遇到的問題

假如我們遇到這樣的問題

假設有以矩陣形式表示的

一次方程的問題

實際上 它可以表示爲任何一個一次方程問題

矩陣[a,b;c,d]乘上[x,y]等於

另外兩個未知的值[e.f]

如果已知這個矩陣方程

它代表一個一次方程組

那麽這個一次方程問題

其實就是ax+by=e

以及cx+dy=f

我們要求它們的交點

交點就是解

就是這個方程的解向量

爲了直觀地感受

這兩個直線是什麽樣的

我將其改寫成用x表示y的形式

這將是什麽？

在這種情況下 y等於什麽？

等於y=-(a/b)x+e/b

我跳了一些步驟

兩邊同時減去了ax

然後同除以b

就得到這個結果

對於這個等式

把它化成相同的形式

解出y

得到y=-(c/d)x+f/d\N【此處有筆誤 影片中未修正】

我們考慮這些

我需要換一種顏色 因爲它看起來――

我們考慮如果這項成立

那麽這兩個等式會變成什麽

其實如果這項成立

那麽就不會有行列式

從而這就是一個奇異矩陣

從而沒有逆矩陣

既然它沒有逆矩陣

你就不能通過兩邊同時乘以逆的方法

來解這個方程

因爲逆根本就不存在

我們考慮這裡

如果它成立 則行列就不存在

然而從這些等式的直觀上來看

它意味著什麽呢？

如果a/b=c/d

這兩條直線就有相同的斜率

它們斜率相同

如果這兩個表達式不同

那麽從中能得到什麽？

如果這兩條直線斜率相同

而縱坐標不同

那麽它們相互平行

它們永遠不會相交

我畫出來 你會得到――

上面這個直線方程――

這些不一定是正數

但是不妨設這個爲負值

我就畫一個負的斜率

這是第一條直線

它的縱坐標爲e/b

就是這條直線

然後是第二條直線――

我換一種顏色――

我不知道它是在第一條直線的上面還是下面

但是二者肯定是平行的

它就像這樣

這是縱坐標―― 所以就是這條直線――

它的縱坐標爲f/y

如果e/b和f/y不相同

但是這兩條直線有相同形式的方程

即它們相互平行 永不相交

因此方程組沒有解

如果有人告訴你――

用傳統的方法

或者使用替換法

或者通過加減等式――

你都不能找到一個解

使得二者相交 前提是a/b=c/d

理解奇異矩陣的一種方式是

將它們看做是平行線

現在你可能會說

如果e/b=f/y 那麽這兩條線就相交了

如果這兩項相等

那麽它們就是相同的直線

它們不僅僅是相交

而是重合了

但你仍然沒有得到唯一解

這個方程組不只有一個解

它對於所有的x和y值都成立

所以當你把矩陣應用到這類問題時

你就可以這麽考慮

這個矩陣是奇異的

如果這兩條直線

相互平行

甚至是重合的

它們相互平行 永不相交

或者是重合的

相交於無窮多個點

這樣A的逆沒有定義

或許就能說得通

我們來考慮

向量的線性組合

我不是想擦掉它

當我們用因子的線性組合

考慮問題時

通常用這樣的方式

它與下式是相同的

即[a,c]x+[b,d]y

等於向量[e,f]

我們進一步考慮

考慮是否有[a,c]和[b,d]線性組合

等於向量[e,f]

我們剛剛說過它沒有逆

因爲我們知道這個行列式等於0

如果這個行列式等於0

那麽在本題中a/c一定等於b/d

a/c一定等於b/d

這表明了什麽？

我畫出來

也許代入具體數值會好一些

但我想你應該有這種直覺

我就畫出四分之一圓

假設兩個部分都在其中

我畫出來

向量[a,c]

假設這是a

我換一種顏色

繼續畫向量[a,c]

如果這是a 這是c

那麽向量[a,c]就像這樣

我畫一下

我要寫得簡潔一些

向量[a,c]就像這樣

這裡有個箭頭

向量[b,d]是什麽樣呢？

向量[b,d]――

我可以把它畫在任意的位置

我們假設它沒有導數――

抱歉 是沒有行列式

我一直都把“行列式”說成“導數”了嗎？

但願不是這樣

我們假設

這個矩陣沒有行列式

如果行列式不存在

則有a/c=b/d

另一種考慮方式是c/a=d/b

這表明

這兩個向量有相同的斜率

如果它們都從0點出發

它們的方向相同

而它們的長度不同

方向是相同的

如果這是點b 這是點d

向量[b,d]就在這裡

如果你還看不出來

那麽如果這項成立

就考慮爲什麽這兩個向量

指向同一個方向

這個向量有一部分與前者疊置

方向與前者是相同的

而長度是不同的

其實應該說長度有可能相同

現在的問題是

我們不知道向量[e,f]是多少

我們任取一些點

假設這個是e 這個是f

這個就是向量[e,f]

我換一種顏色

比如說向量[e,f]在這

我要問的問題是

如果這兩個向量方向相同

也許長度是不同的

那麽是否可以通過這兩個向量的線性組合

來構造出這個向量？

答案是否定的 你可以將這個向量伸縮或加減

你所能做的都是沿著這條直線

你能得到的是

這些向量的一個倍數

因爲它們方向相同

所以不能得到

其他方向上的任何向量

如果這個向量處在一個不同的方向上

那麽這個方程組就無解

如果這個向量恰好

與前兩個向量同向

那麽就有一個解

就是將它伸縮

事實上 存在著關於x和y的

無窮多個解

如果向量的方向不同

那麽就無解

不存在這樣的線性組合

使得這個向量加這個向量等於這個向量

你還要再仔細思考一下

然後應該就會明白

另一種考慮方式是

當你對向量做加法時

任何其他的向量

爲了沿著這個方向移動

需要有這個方向

以及另一個方向

這樣才能得到另一個向量

如果兩個向量

方向相同

就不能得到方向不同的向量

無論如何 我一直在

重覆地解釋同一內容

但我希望能夠給大家

一點直觀的感覺

現在你知道了什麽是奇異矩陣

知道了什麽時候逆不存在

知道了當行列式爲0時

矩陣不存在逆

我希望――

以下是本次課的關鍵――

你要理解爲什麽會這樣

因爲如果你考慮向量的問題

你不能找到――

或者不存在這樣的解

使得這兩個向量

構成那個向量的線性組合

或者有無窮多個解

同樣的事情

對於求兩條直線的交點也是成立的

它們或者平行 或者重合

如果行列式等於0

我們下次課見