Singular Matrices

-

Bir matrisin tersini bulmaktansa, tersi olup olmadığını belirlemek belki daha ilginçtir.

-

Buna, tersinin ne zaman tanımsız olduğunu bulmak da diyebiliriz.

Tersi olmayan veya tersi tanımsız olan bir kare matrise tekil matris denir.

-

Şimdi, bir tekil matrisin neye benzediğini ve tekil matrislerin incelediğimiz sorulara nasıl uygulandığını düşünelim.

-

-

Kolay bir örnek olduğu için, 2'ye 2 matrislere bakalımç

-

Aslında, her boyuttan bir kare matrise uygulayacağımızı göreceğiz.

Şimdi 2'ye 2 matrisini ele alalım.

Öğeleri a, b, c ve d olsun.

Bu matrisin tersi nedir?

Umarım, bunu bulmak, artık, sizin için alışılagelmiş bir işlemdir.

1 bölü a'nın determinantı çarpı a'nın ekmatrisi

Bu durumda, şu iki terimi değiş tokuş ediyoruz. d ve a oluyor.

-

Ve, bu iki terimin eksilerini alıyoruz.

Eksi c ve eksi b.

Şimdi size sorum şu: Bu ifadeyi ne tanımsız kılar?

-

Hangi sayı olursa olsun, eğer a tanımlı ise, değiş tokuş etmek veya eksi ile çarpmak, ifadenin bu kısmını değiştirmez.

-

-

-

Ama şurayı 0'a bölmeye çalışsak, bu, problem yaratırdı.

-

Yani, A matrisinin determinantı 0 olsaydı.

Buna göre, ancak ve ancak, A'nın determinantı sıfır ise, A'nın tersi tanımsızdır.

-

-

Şöyle de diyebiliriz, bir matrisin determinantı 0 ise, o matris tekildir ve tersi yoktur, tersi tanımsızdır.

-

-

Şimdi kavramsal olarak düşünelim. Daha önce çözdüğümüz iki soruda, 0 determinant ne anlama gelirdi. Buna göre, matrisin tersinin neden olmadığını anlamaya çalışalım.

-

-

-

0 determinant nedir?

Bu 2'ye 2 matrisinin determinantı nedir?

A'nın determinantı a d eksi b c'ye eşit.

-

-

Bu ifade 0'a eşit olursa, matris tekil olur.

-

Bunu şuraya yazayım.

Eğer a d, b c'ye eşitse -iki tarafı b ve d'ye bölerek, a bölü b eşittir c bölü d de diyebilirim- , yani a'nın b'ye oranı, c'nin d'ye oranına eşitse, o zaman matrisin tersi yoktur.

-

-

-

-

Veya ifadeyi şöyle de yazabiliriz: iki tarafı c ve d'ye bölersek, a bölü c eşittir b bölü d.

-

-

Bu ikisi de aslında doğru.

-

-

Aslında, ikisi de aynı.

Biraz cebirsel el çabukluğu.

a'nın c'ye oranı, b'nin d'ye oranı eşitse, siz bu iki orantının neden aynı olduğunu daha ayrıntılı düşünebilrsiniz.

-

-

-

Neyse, kafanızı karıştırmak istemiyorum.

Şimdi, bu durumun çözdüğümüz sorulara nasıl uyarlandığına bakalım.

-

Örneğin, bir lineer denklem sistemini gösteren şu matrise bakalım.

-

-

Bu, iki duruma da uyar.

Yani, a, b, c, d çarpı x, y eşittir e ve f, daha önce kullanmadığımız iki sayı.

-

Eğer bu matris denklemi, lineer denklem sorusunu temsil ediyorsa, doğru denklemleri şöyle yazılabilir: a çarpı x artı b çarpı y eşittir e.

-

-

Ve, c çarpı x artı d çarpı y eşittir f.

Bu doğruların kesiştiği noktayı bulmak isteriz.

Bu da, bu matris denkleminin vektör çözümü olur.

-

Bu iki doğruyu görsel olarak anlamak için, denklemleri, eğim-kesim noktası formuna çevirelim.

-

-

-

Burada, y neye eşit?

y eşittir eksi a bölü b x, artı e bölü b.

Bazı çözüm adımlarını atlıyorum.

İki taraftan a x'i çıkaralım.

Ve, iki tarafı da b'ye bölelim. Bu denklemi elde ederiz.

Şimdi, bu denklemi de aynı formda ifade etmek için, y'yi tek başına bırakalım.

-

y eşittir eksi c bölü d artı f bölü d.

Şimdi düşünelim.

Farklı bir renk kullanmalıyım.

Bu durum, bu iki denklem için ne anlama gelir?

-

-

Eğer bu doğruysa, determinantımız 0 demiştik.

Bu tekil bir matris olur ve tersi tanımsızdır.

Tersi olmadığından, matris denklemini çözemeyiz. Çünkü, denklemin iki tarafını matrisin tersiyle çarpmamız gerekiyordu.

-

-

Şimdi düşünelim.

Determinantın 0 olması, bu denklemler hakkında ne bildiriyor?

-

Eğer a bölü b, c bölü d'ye eşitse, bu iki doğrunun eğimi aynı olacaktır.

-

Eğimleri aynı olacaktır.

Şu iki ifade farklıysa, o zaman ne diyebiliriz?

-

İki doğrunun eğimi aynı, y kesenleri farklıysa, bu iki doğru paraleldir ve hiçbir zaman kesişmezler.

-

-

Şu yukarıdaki doğruyu çizeyim.

Sayılar pozitif olmak zorunda değil, ama burada eksi işareti olduğundan, eksi bir eğim çizeyim

-

Bu, birinci doğru ve y-keseni e bölü b.

-

-

Şuradaki doğru.

İkinci doğru - farklı bir renkte çizeyim - öteki doğrunun aşağısında mı, yukarısında mı bilmiyorum. Ama paralel olduklarını biliyorum.

-

-

Şöyle görünecek.

-

Bu doğrunun y-keseni de, f bölü d.

-

Eğer e bölü b ve f bölü d farklıysa, ama iki doğrunun eğimi aynıysa, doğrular paraleldir ve hiç kesişmezler.

-

-

Yani, çözüm kümesi boş olur.

Yerine koyma veya eliminasyon yöntemleri ile lineer denklemleri eskiden çözerken de, a bölü b, c bölü d'ye eşitse, çözüm bulamazdınız.

-

-

-

-

Dolayısıyla, tekil matrisi, paralel doğrularla özdeşleştirebiliriz.

-

Diyebilirsiniz ki, e bölü b, f bölü d'ye eşitse, doğrular kesişiyor.

-

y-kesenleri aynı olursa, bu iki doğru birbirinin aynıdır.

-

Sadece kesişmekle kalmazlar, sonsuz adet noktada kesişirler.

-

Ama yine de, tek bir çözümümüz olmaz.

Bir adet çözüm değil, doğrunun bütün x ve y değerleri çözüm kümesindedir.

-

Bu soruya matrisleri uyguladığımızda, tekil matris durumunda, paralel veya birbirinin aynı iki doğru gösterdiğimizi anlamışsınızdır.

-

-

-

-

Doğrular birbirine paralel ve hiç kesişmiyorlar.

Veya doğrular birbirinin aynı ve sonsuz sayıda noktada kesişiyorlar.

-

Dolayısıyla, A'nın tersinin tanımsız olması, mantıklı bir durum.

-

Şimdi, bu konuyu vektörlerin lineer birleşimi bağlamında düşünelim.

-

-

-

Vektörlerin lineer birleşimini şöyle değerlendirelim.

-

Bu lineer birleşim şununla aynı: a c vektörü çarpı x, artı b d vektörü çarpı y eşittir e f vektörü.

-

Şimdi durup düşünelim.

a c vektörü ile b d vektörünün, e f vektörüne eşit bir lineer birleşimi var mı, diye soruyoruz.

-

Ama, biraz önce ters matris tanımsız ve determinant 0, dedik.

-

Eğer determinant 0 ise, bu durumda a bölü c'nin b bölü d'ye eşit olduğunu biliyoruz.

-

Yani, a bölü c eşittir b bölü d.

Bu bize neyi belirtir?

Çizeyim.

Sayı kullanmak faydalı olurdu. Ama, anlayacağınızı düşünüyorum.

-

Birinci çeyrek düzlemde çiziyorum.

İki vektöründe bu çeyrek düzlemde olduğunu varsayıyorum.

Çizeyim.

-

a c vektörü.

Bu a diyelim.

Farklı bir renk kullanayım.

a c vektörünü çiziyorum.

Bu a, bu da c ise, a c vektörü buna benzer.

-

Çizeyim.

Düzgün görünsün istiyorum.

a c vektörü bu şekilde

Ve, işte oku.

b d vektörü nasıl görünür?

-

b d vektörünü herhangi bir yere çizebilirim.

-

Ama, determinantın 0 olduğunu varsayıyoruz.

-

-

-

Matrisin determinantının 0 olduğunu varsayıyoruz.

-

Eğer determinant 0 ise, a bölü c'nin b bölü d'ye eşit olduğunu biliyoruz.

-

Veya, c bölü d eşittir a bölü b de diyebiliriz.

Bu da bize, bu iki vektörün eğimlerinin aynı olduğunu söyler.

-

İkisi de 0 noktasını başlangıç olarak alırsa, aynı doğrultuda uzanırlar.

-

Uzunlukları farklı olabilir, ama doğrultuları aynıdır.

-

Bu b koordinatı, bu da d koordinatı ise, b d vektörü şurada olacaktır.

-

Bu mantıklı gelmiyorsa, niye aynı doğrultuda olacaklarını düşünmeye çalışın.

-

-

Bu vektör diğeriyle üstüste gelecek, ama farklı bir uzunluğu olacak..

-

-

Uzunluğu aynı da olabilir.

Peki, e f vektörünün nerede olduğunu bilmiyoruz.

-

Herhangi bir nokta alalım.

Diyelim ki, bu e, bu da f.

Yani, e f vektörü şurada.

Farklı bir renkte çizeyim.

Diyelim ki, e f vektörü burada.

-

Size sorum şu: Bu iki vektörün doğrultusu aynıysa - uzunlukları belki farklı-

-

-

bu iki vektörün lineer birleşimi ile şu vektörü elde edebilir misiniz?

-

Bu vektörlerin uzunluklarını değiştirip toplayabilirsiniz, ama elde edeceğiniz tek sonuç, bu doğru üzerinde hareket etmek olur.

-

Bu vektörlerin katları olan vektörlere ulaşabilirsiniz.

-

Ama, bu iki vektörden farklı bir yöndeki bir vektöre ulaşamazsınız.

-

Dolayısıyla, bu vektör farklı bir yöndeyse, burada çözüm kümesi boştur.

-

Eğer bu vektör, şuradakiyle aynı doğrultudaysa, o zaman uzunluk değiştirerek çözebiliriz.

-

-

Aslında sonsuz sayıda x, y çözümü olur.

-

Ama, vektör, yönü açısından biraz farklı olsa, çözüm olmaz.

-

Bu vektörün ve şu vektörün hiçbir lineer birleşimi, bu vektörü vermez.

-

Bunu biraz düşünmenizi istiyorum.

Size aşikar gelmiş olabilir.

Şöyle de düşünülebilir: farklı yönde bir vektöre ulaşmak için, biraz bu yönde, biraz başka yönde vektörlerin toplamını almak gerekiyor.

-

-

-

-

İki vektörünüzün de doğrultusu aynıysa, farklı bir doğrultuya ulaşamazsınız.

-

Neyse, sanıyorum anlattıklarım dolambaçlı olmaya başladı.

-

Umarım, yine de, tekil matrisin anlamını anlamaya başlamışsınızdır.

-

Tekil matris, tersi tanımsız olan matris idi.

Determinant 0 ise, matrisin tersini bulamıyorduk.

-

Ve umarım, bunun nedenini anlamışsınızdır. Bu videonun en canalıcı kısmı buydu.

-

Vektör sorusuna bakarsak, ya hiç, ya da sonsuz lineer birleşim bulabiliyorduk.

-

-

-

Aynı durum, iki doğrunun kesişimi için de geçerliydi.

-

Determinant 0 ise, doğrular ya paralel, ya da aynıydı..

-

Neyse, bir sonraki videoda görüşürüz.

-