Singular Matrices

Chyba ciekwaszym problemem niż znajdowanie odwrotności macierzy,

jest ustalanie, kiedy odwrotność macierzy

nie istnieje. Kiedy jest nieokreślona.

Macierz kwadratowa dla której nie istnieje odwrotność,

której odwrotność jest nieokreślona nazywa się macierzą osobliwą.

Zastanówmy się jak macierz osobliwa wygląda,

i jak to się ma do różnych problemów

które rozwiązujemy za pomocą macierzy.

Czyli jeżeli mam macierz 2 na 2, bo to jest

najprostszy przykład.

Ale przenosi się na macierz kwadratową dowolnego wymiaru.

Czyli weźmy naszą macierz 2 na 2.

Jej elementy oznaczam a, b, c i d.

Jaki jest wzór na macierz odwrotną?

Mam nadzieję, że to weszło już wam w krew.

To jest 1 przez wyznacznik A, razy macierz dołączona.

A w tym przypadku, po prostu zamieniamy te dwa elementy.

Czyli mamy d i a.

A tym elementom zmieniamy znak.

Czyli mamy minus c i minus b.

Mam do was takie pytanie, co mogło by spawić,

żeby to całe wyrażenie było nieokreślone?

No, nie ma znaczenia jakie mamy liczby. Jak tutaj

mam liczby które określają A, to oczywiście

mogę je zamieniać miejscami i zmieniać im znaki

i to nie zaburzy tej części wyrażenia.

Ale to co może być źródłem problemu, to próba

dzielenia przez 0 tutaj.

Jeżeli wyznacznik macierzy A byłby równy 0.

Czyli odwrotność A jest nieokreślona, wtedy i tylko wtedy gdy -- i w matematyce

czasami pisze się to przez dwa 'f' (ang. 'iff') --

wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik A jest równy 0.

Inaczej można to sformułować tak, że jeżeli wyznacznik

macierzy jest równy 0, to macierz jest osobliwa

i nie ma odwrotności, albo odwrotność jest nieokreślona.

Warto zastanowić się w terminach pojęciowych, przynajmniej w przypadku

dwóch zadań, które rozwiązywaliśmy, co znaczy

wyznacznik równy 0 i czy możemy zdobyć trochę intuicji

dlaczego odwrotność nie istnieje.

Czyli co znaczy wyznacznik równy 0?

W tym przypadku, co znaczy wyznacznik równy zero dla macierzy 2 na 2?

No cóż, wyznacznik A jest równy czemu?

Jest równy ad odjąć bc.

Czyli ta macierz jest osobliwa, nieodwracalna, jeżeli

to wyrażenie jest równe 0.

Napiszę to tu.

Czyli jeżeli ad jest równe bc -- albo możemy trochę tym pomanipulować

i możemy powiedzieć, jeżeli a/b równa się c/d -- po prostu

podzieliłem obie strony przez b i podzieliłem obie strony przez d -- czyli jeżeli

stosunek a do b jest taki sam jak stosunek c do d, to

ta macierz jest nieodwracalna.

Albo inaczej możemy zapisać to wyrażenie, jeżeli a/c --

jeżeli podzielę obie strony przez c i podziele obie strony przez d --

równa się b/d.

Czyli inną sytuacją kiedy to byłoby osobliwe jets --

i to jest właściwie to samo.

Jeżeli to jest prawda, to też to jest prawda.

To jest to samo.

Trochę przekształceń algebraicznych.

Ale jeżeli storunek a do c jets równy stosunkowi b do d,

to możecie się zastanowić dlaczego to jest to samo.

Stosunek a do b będący równy

stosunkowi c do d.

W każdym razie, nie chcę wam namieszać.

Ale zastanówmy się jak to się tłumaczy

na problemy, którym się przyglądaliśmy.

Powiedzmy, że chcieliśmy popatrzeć na problem --

powiedzmy że ta macierz miała reprezentować

układ równań liniowych.

Właściwie to byłby każdy z nich

Czyli mam a, b, c, d razy x, y równa się

dwóm innym liczbom, nie użyłem jeszcze e i f.

Czyli jeżeli mamy to równanie macierzowe reprezentujące

układ równań liniowych, to układ równań

wyglądałby tak: a razy x dodać b razy y równa się e.

Oraz c razy x dodać d razy y równa się f.

I chcielibyśmy zobaczyć gdzie te dwie proste się przecinają.

To byłoby rozwiązanie,

rozwiązanie wektorowe tego równania.

I żeby mieć wyobrażenie graficzne

jak te linie wyglądają, przekszałćmy to

do postaci funkcyjnej.

Co się stanie z tym?

W tym wypadku, y jest róne czemu?

y równa się minus a/b razy x dodać e/b.

Pomijam pewne kroki.

Ale odjemujemy ax do obu stron.

A potem dzielimy obie strony przez b i dostajemy to.

A potem to równanie, jeżeli zapiszemy je w tej samej postaci,

czyli rozwiążęmy ze względu na y.

Dostaniemy y równa się minus c/d razy x dodać f/y.

Zastanówmy się nad tym.

Mógłbym chyba zmienić kolory, bo to wydląda za bardzo --

Zastanówmy się nad tym jak te równania będą wyglądały,

jeżeli to jets spełnione.

Powiedzieliśmy, że jeżeli to jest spełnione, to wyznacznik jest 0

i to staję się macierzą osobliwą i nie ma odwrotności.

A ponieważ nie ma odwrotności, nie możemy rozwiązać tego równania

mnożąc obie strony przez odwrotność, ponieważ

odwrotność nie istnieje.

Zastanówmy się nad tym.

Jeżeli to jest prawde, jeżeli wyznacznik jest 0, ale co

to intuicyjnie znaczy dla tych równań?

Cóż jeżeli a/b jest równe c/d to te dwie linie będą

miały takie samo nachylenie.

Będą miały takie samo nachylenie.

Czyli jeżeli te wyrażenia są inne,

to co o nich wiemy?

Jeżeli mamy dwie proste, które mają to samo nachylenie,

ale inne przecięcie z osią y, to one są równoległe do siebie

i nigdy się nie przetną.

Pozwólcie, że to narysuję, żebyście zrozumieli -- ta górna prosta --

To nie muszą być liczby dodatnie, ale ponieważ to ma minus a,

narysuję ujemne nachylenie.

A więc to jest pierwsza prosta.

I jej przecięcie z osią y jest równe e/b.

To jest ta prosta tutaj.

A teraz druga prosta -- zrobię to innym kolorem --

Nie wiem czy to będzie nad czy pod tamtą prostą,

ale będzie równoległa.

Wygląda to mniej więcej tak.

Czyli to jest jej przecięcie z osią y -- czyli to jest ta linia --

jej przecięcie z osią y jest równe f/y.

Czyli jeżeli e/b i f/y nie są równe, ale obie linie

mają ten sam współczynnik kierunkowy, to są równoległe

i nigdy się nie przetną.

Czyli nie będzie rozwiązania.

Jeżeli ktoś by wam powiedział -- po prostu w zwykły sposób

byście to zrobili, albo przez podstawienie, albo

przez dodawanie lub odejmowanie równań --

nie bylibyście w stanie znaleźć rozwiązania, gdzie te

dwie proste się przecinają, jeżeli a/b jest równe c/d.

Czyli jeden ze sposobów patrzenia na macierz osobliwą

jest taki, że mamy równoległe proste.

Ale wtedy moglibyście powiedzieć, hej Sal, te proste przecięłyby się

gdyby e/b równało się f/y.

Jeżeli to i to było by takie samo, to wtedy

byłyby to właściwie identyczne linie.

I nie tylko by się przecinały, ale

przecinałyby się w nieskończonej liczbie miejsc.

Ale nadal nie mielibyśmy jednoznacznego rozwiązania.

Nie mielibyśmy rozwiązania tego równania.

Było by ono prawdziwe dla nieskończnie wielu x i y.

Czyli możecie to zobaczyć stosując macierze

do tego zadania.

Macierz jest osobliwa, jeżeli te dwie linie które ona reprezentuje

są równoległe, albo są

dokładnie takie same.

One są równoległę i nie przecinają się wogóle.

Albo są dokładnie takie same i przecinają się

w nieskończenie wielu punktach.

I to w jakimś sensie ma sens, że

odwrotność A nie istnieje.

A więc zastanówmy się nad tym w kontekście

kombinacji liniowych wektorów.

To nie jest coś czego chciałem użyć do wymazywania.

Czyli kiedy myślimy o tym problemie w kontekście

kombinacji współczynników, możemy o tym myśleć tak.

To jest to samo co wektor a c razy x

dodać wektor b d razy y, równa się wektorowi e f.

Zastanówmy się więc nad tym trochę.

Pytamy, czy istnieje kombinacja wektora a c

i wektora b d która będzie równa wektorowi e f.

Ale właśnie powiedzieliśmy, że jeżeli nie mamy odwrotności tutaj, wiemy to

bo wyznacznik jest 0.

A jeżeli wyznacznik jest 0, to wiemy że w tej sytuacji

a/c musi być równe b/d.

Czyli a/c jest równe b/d.

To co to nam mówi?

Cóż, pozwólcie że to narysuję.

I może liczby byłyby tu bardziej pomocne.

Ale myślę, że złapiecie o co chodzi.

Narysuję tylko pierwszą ćwiartkę.

Założę po prosu, że obie składowe są w pierwszej ćwiartce.

Rysuję.

Wektor a c.

powiedzmy, że to jest a.

Zrobię to innym kolorem.

Czyli rysuję wektor a c.

Czyli jeżeli to jest a a to jest c,

to wektor a c wydląda tak.

Narysuję go.

Chcę to zrobić ładnie.

Wektor ac wydląda tak.

I potem mamy strzałkę.

A jak będzie wyglądał wektor b d?

No cóż, wektor b d -- i mógłbym go

gdzieś dowolnei narysować.

Ale zakładamy, że wyznacznik,

że wyznacznik jest równy zero.

Mam nadzieję, że używałem właściwego słowa

cały czas.

Czyli zakładamy, że wyznacznik

macierzy znika.

A jeżeli wyznacznik znika, to wiemy

że a/c jest równe b/d.

Albo, równoważnie, że c/d jest równe d/b.

To znaczy, że oba te wektory

mają to samo nachylenie.

Czyli jeżeli oba są zaczepione w 0, to idą

w tym samym kierunku.

Moga mieć inną długość, ale pokazują

ten sam kierunek.

Czyli jeżeli to jest b, a to jest d, to wektor b d

idzie tu.

A jeżeli to nie jest dla was oczywiste, zastanówcie się

dlaczego te dwa wektory, jeżeli to jest spełnione,

pokazują ten sam kierunek.

Czyli ten wektor właściwie będzie się pokrywał.

Będzie miał ten sam kierunek, jak ten wektor,

ale będzie miał inną długość.

Może mieć tę samą długość.

Mam do was pytanie, wektor e f, nie wiemy

gdzie jest wektor e f.

Cóż wybierzmy jakiś dowolny punkt.

Powiedzmy, że to jest e, a to jest f.

Czyli to jest wektor e f tutaj.

Zrobię to innym kolorem.

Powiedzmy, że wektor e f jest tutaj.

A więc moje pytanie do was brzmi: jeżeli te dwa wektory

mają ten sam kierunek,

być może inną długość,

czy istnieje sposób dodania albo odjęcia wielokrotności

tych wektorów dający w wyniku ten wektor?

Otóż nie, możemy skalować te wektory i dodawać je.

Ale to wszystko sprowadzi się do poruszania się po tej liniii.

Możemy dostać dowolny wektor,

który jest wielokrotnością jednego z tych wektorów.

Ponieważ jednak te wektory mają ten sam kierunek,

nie możemy dostać wektora w innym kierunku.

Czyli jeżeli ten wektor ma inny kierunek, to

nie ma tu rozwiązania.

Jeżeli by się tak zdarzyło, że ten wektor miamby ten sam kierunek

jak ten, to wtedy byłoby rozwiązanie, w którym

skalowalibyśmy te.

Właściwie byłoby nieskończenie wiele rozwiązań

ze względu na x i y.

Ale jeżeli ten wektor jest troche inny, w sensie

kierunku, to nie ma rozwiązania.

Nie istnieje kombinacja tego i tego wektora,

która daje w wyniku ten wektor.

I to jest coś nad czym powinniście się trochę zastanowić.

To może być dla was oczywiste.

Inaczej można na to spojrzeć w ten sposób, kiedy próbujecie

wziąć sumę wektorów, mamy jakiś inny wektor

w tym kierunku, potrzebujemy mieć odrobinę

jednego kierunku i odrobinę drugiego kierunku, żeby

dostać dowolny inny wektor.

A jeżeli oba nasze składowe wektory mają ten sam

kierunek, to nie ma możliwości otrzymania innego kierunku.

W każdym razie, chyba kręcę się w kółko

w swoich wyjaśnieniach.

Ale mam nadzieję, że to wam dało odrobinę intuicji

o tym, co to jest macierz osobliwa.

Czyli taka, dla której nie da się znaleźć odwrotności.

Czyli taka, której wyznacznik jest 0, czyli

nie obliczycie odwrotności.

I mam nadzieję -- a to był główny cel tego filmu --

zrozumieliście dlaczego tak jest.

Ponieważ jak patrzycie na zadanie z wektorami, to

nie ma sposobu -- nie ma rozwiązania

problemu znalezienia kombinacji wektorów, któraa

da nam ten wektor, albo jest ich nieskończnie wiele.

I to samo jest prawdą w przypadku szukania

przecięcia dwóch prostych.

Albo są równoległe, albo się pokrywają,

jeżeli wyznacznik jest równy 0.

W każdym razie, do zobaczenia w następnym filmie.