Optimizacion Ejemplo 4

Minimizar el costo de material de una caja rectangular abierta.

Una contenedor de almacenamiento con la cara superior abierta debe tener un volumen de 10 m^3 lo longitud de la base y dos veces el ancho. El material para la base cuesta 10$ por metro cuadrado. El material para los lados cuesta 6$ por metro cuadrado. Encuentra el costo del material para el contenedor con el menor costo.

He recibido otro problema de maximizacion o minimizacion

y parece ser una variacion interesante sobre

lo que ya he hecho, entonces hagamos este problema.

Veamos.

Un contenedor rectangular con una la cara superior abierta tiene

un volumen de 10 metros cuadrados.

La longitud de la base es dos veces el ancho.

Dejame empezar por dibujar esta cosa.

Es un contenedor con la cara superior abierta

Entonces veamos, dejame hacerlo en otro color.

Ok, lo voy a hacer aqui.

Entonces esa es su base

Veamos.

La longitud de la base es el doble del ancho.

Entonces esta es la base, y si puede llamar esto el ancho, entonces

esto es x, la longitud es dos veces eso, es decir 2x

La longitud de su base es dos veces el ancho, correcto?

Entonces esta es la longitud de la base, este es el ancho

Ok?

El material y la altura por el momento, no es conocida.

Yo creo que debemos poder encontrar una restriccion,

por que sabemos cual debe ser el volumen, cierto?

Dice, que los materiales para los lados cuesta $6

por metro cuadrado.

Encontrar el costo del material para un contenedor tal que el costo sea el menor.

Ok, hagamos un par de cosas.

Primero, vamos a identificar la altura en terminos de x

y despues vamos a encontrar una ecuacion para el costo en terminos

de x, y despues vamos a tomar las derivadas, y encontrar el

minimo, etcetera, etcetera.

Entonces que sabemos sobre esto?

Cual es el volumen de la caja?

El volumen de esta caja es igual a, que dije

esta es la longitud, pero en realidad no importa.

La longitud multiplicada por el ancho por la altura.

Entonces es es 2x multiplcado por x, 2x al cuadrado multiplicado por h

Entonces es 2x al cuadrado multiplicado oir h, correcto?

La base por la altura por el ancho, lo que sea.

La longitud por el ancho por la altura.

Solo el volumen de un rectangulo.

Y nos dijeron que el volumen is 10 metros al cubo.

Entonces eso nos da una buena restriccion.

Entonces eso tiene que ser igual a 10.

Dividamos ambos lados por 2x, y que obtenemos?

Si tomamos la ecuacion, dividimos ambos lados por 2x

al cuadrado, obtenemos que h es igual a 10 sobre 2x al cuadrado, lo cual es

igual a, podemos decir, 5x elevado a la menos 2.

Entonces, podemos escribir esto como 5x

a la menos dos.

Eso es h

Acamabomos de resolver eso.

Podemos resolver eso por que nos dieron una restriccion

sobre el volumen de la caja.

Me parece justo.

Ahora veamos cual va a ser el costo del material, o mas bien

cual va a ser el costo total del material.

Eso lo voy a hacer en magenta.

El costo del material

Y aun mas, puedo decir que, como un funcion de x

es igual a que?

OK.

El material para los lados cuesta $6 por metro cuadrado.

Entonces, cual es el area de la superficie de los lados?

Oh, no, ellos dan el material para la base primero.

Entonces el material para la base cuesta $10 por metro cuadrado.

Entonces esta de aqui es la base, el material cuesta

$10 por metro cuadrado.

Entonces cual es el costo de la base?

Va a ser el area de la base multiplicado por 10.

Entonces es 10 veces el area de la base.

Cual es el area de la base?

Es 2x por x.

Entonces es 2 x al cuadrado.

Entonces este es el costo del material en la base.

y ahora necesitamos sumar el cost del material en los lados

Por lo tanto.

y aqui es donde se pone un poco interesante.

Tenemos dos lados que con x, este lado y este

lado son del mismo tamanio.

Correcto?

Y entonces que son?

Cuales son sus areas?

Entonces va a ser $6 por metro cuadrado para esos

dos lados, cierto?

Para el lado verde, y para el de atras, tambien.

No quiero hacer esto muy confuso.

Entonces $6

Y cual es el area?

y tenemos 2 de estos lados, entonces voy a

multiplicarlos por 2.

Y entonces cual es el area de cada uno de estos lados?

Es x por 5x menos 2.

Lo cual es 5x menus 1.

Todo bien?

Entonces, ahora que determinar este lado aqui y

este otro lado aqui.

Y dejame hacerlo talvez en cafe.

Entonces, ahora nos interesa este lado de arriba al frente, y despues

el lado que esta aqui atras.

Pero eso va a costar %6, cierto?

Por lo tanto, mas $6 por metro cuadrado.

Y entonces tenemos dos lados, y entonces cual es?

Es 2x por 5x a la menos 2.

Entonces eso es 10. correcto, 2 por 5 es 10, x por x a la

menos 2, x a la menos 1

Simplifiquemos esto.

Entonces, tenemos el costo, y dice que la cara superior es abierto, por lo tanto

no necesitamos tela en la parte de arriba.

Entonces el costo de poner la tela, o el material, en

este rectangulo abierto es, veamos, 20x al cuadrado mas

que es esto, 12 veces 5 es 60x a la menos uno, mas

veamos, 12 veces 10, 120x a la menus uno, y entonces podemos

simplificar esto como 20 x al cuadrad mas 180 x

elevado a la menos 1.

Y ahora estamos listos para solo tomar la derivada y

encontrar cual es el punto minimo de esta curva.

Hagamos eso.

Entonces c prima de x, y esta es una derivada facil y divertida.

Entonces es 40, 2 por 20 x y luego menos 180

x a la menos 2.

Y el minimo o maximo punto va a esta donde

esto es igual a 0, entonces hagamoslo igual a 0.

Dejame limpiar un poco de spacio.

Creo que entiendes todo esto, entonces

lo voy a eliminar.

De hecho, me gusta el dibujo pero se va a tener que ir,

por que necesito el espacio.

Si necesitas revisarlo, solo regresa el video.

OK.

Queremos igualar la derivada, para encontrar el punto

maximo o minimo, en el punto maximo o minimo de la curva, la

pendiente es 0, por lo tanto la derivada es 0.

Vamos a determinar eso.

Entonces, 40 x menos 180 x a la menos 2 es igual a 0.

Y la primer cosa que yo haria seria solo, puedes dividir ambos

lados por 20 y obtienes 2x menos 9 x menos 2 es igual a

0 dividido por 20, lo cual es 0.

Y entonces, veamos que obtienes.

Si le sumas 9 x a la menos 2 a ambos lados, obtienes que 2 x es igual

a 9 x a la menos 2, o 9 sobre x al cuadrado, correcto?

Esto es lo mismo que 9 x a la menos 2.

Ahora, no see, multipliquemos ambos lados de esta

ecuacion por x al cuadrado, y obtienes 2 x a la tres es igual a

9, o x a la tres es igual a 9/2, o x es igual a

la raiz cubica, o podemos solo decir que 9/2 elevado a la 1/3.

lo que sea que eso sea.

4.5 elevado a la 1/3

y sabemos si este es el punto maximo o minimo?

Bueno, podriamos sacar la segunda derivada y luego

confirmar que es concava hacia arriba en este punto, y luego

sabriamos que estamos en el punto minimo, y que

este es el contenedor con el menor costo.

Pero te voy a decir un pequenio, tu sabes

si vez esto en una clase o talvez quieres probartelo a

a ti mismo en un examen, pero una forma de probar esto es solo,

probar otra x, cierto?

Tenemos la funcion de costo aqui.

Intenta otra x.

Y sabes que va a ser un maximo o

un minimo, o por lo menos un maximo o minimo local, o si quieres

intentar otra x y es mayor, entonces

tienes un minimo.

O la otra cosa, es bueno, tu sabes, si solo existe un

punto crito, y te piden encontrar el contenedor de menor

costo, el punto critico va a probablemente ser

el punto minimo.

Pero de cualquier forma.

Solo por diversion, vamos a determinar a

que es igual en realidad.

En realidad voy a a google.com y veamos.

Podemos decir que queremos 9/2 elevado a la 1/3

Entonces eso es 4.5 a la 1 dividido por la tercer potencia.

1.65

Entonces esa es nuestra respuesta.

Si la x es igual a 1.65, tu sabes, mas algunos otros puntos,

que entonces tenemos el contendor con el menor costo de produccion.

Es 1.65 algo algo.

Y ahi lo tienes.

Espero que encontraras esto por lo menos vagamente util.