Сколькими способами можно доказать теорему Пифагора? — Бетти Фей

Посмотреть урок полностью: https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei

Что общего у Евклида, двенадцатилетнего Эйнштейна и президента США Джеймса Гарфилда? Все они придумали красивые способы доказательства теоремы Пифагора, одного из основных правил в геометрии, имеющих практическое использование, такие как постройка устойчивых зданий и определение координат GPS. Бетти Фей представляет три известных способа доказать теорему Пифагора.

Урок — Бетти Фей, анимация — Ник Хилдич.

Огромное спасибо всем патронам за вашу поддержку! Без вас этого видео бы не было.
Steph, Jack Ta, Jose Fernandez-Calvo, PnDAA , Marcel Trompeter-Petrovic, Radoslava Vasileva, Sandra Tersluisen, Fabian Amels, Sammie Goh, Mattia Veltri, Quentin Le Menez, Sarabeth Knobel, Yuh Saito, Joris Debonnet, Martin Lõhmus, Patrick leaming, Heather Slater, Muhamad Saiful Hakimi bin Daud, Dr Luca Carpinelli, Janie Jackson, Jeff Hanevich, Christophe Dessalles, Arturo De Leon, Delene McCoy, Eduardo Briceño, Bill Feaver, Ricardo Paredes, Joshua Downing, Jonathan Reshef, David Douglass, Grant Albert, Paul Coupe.

[Бессмертен один лишь разум,
остальное смертно. — Пифагор]

Что общего у Евклида,

двенадцатилетнего Эйнштейна

и президента США Джеймса Гарфилда?

Все они придумали красивые
способы доказать теорему Пифагора,

согласно которой
в прямоугольном треугольнике

сумма квадратов длин катетов

равна квадрату длины гипотенузы.

Другими словами, a²+b²=c².

Данное утверждение —
одно из основных правил в геометрии,

имеющих практическое использование,

как постройка устойчивых зданий
и определение координат GPS.

Теорема названа в честь Пифагора,

древнегреческого философа и математика,
жившего в VI веке до н. э.,

она была известна ещё
за более тысячи лет до того.

Вавилонская глиняная табличка,
датированная 1800 г. до н. э.,

описывает 15 наборов чисел,
удовлетворяющих условиям этой теоремы.

Некоторые историки утверждают,
что древнеегипетские геодезисты

использовали набор цифр 3, 4 и 5
для создания квадратных углов.

Считается, что геодезисты использовали
верёвку, разделённую на 12 равных частей,

из которой можно было сформировать
треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Согласно теореме Пифагора,

так должен построиться прямой треугольник

и в результате прямой угол.

Первые известные индийские записи,

датированные между 800 и 600 гг. до н. э.,

утверждают, что длина верёвки,
растянутой по диагонали квадрата,

может послужить новой стороной
для квадрата в два раза больше.

Это соотношение можно получить
из теоремы Пифагора.

Но откуда нам знать,
что эта теорема выполняется

для каждого прямоугольного
треугольника на плоскости,

не только тех, о которых знали
математики и геодезисты?

Это можно доказать.

Доказательства основываются
на математических законах и логике,

подтверждающих, что теорема
истинна для любых чисел.

Классическое доказательство теоремы,
часто приписывающееся самому Пифагору,

использует метод перестановки.

Возьмём четыре прямоугольных
треугольника с катетами a и b

и гипотенузой c.

Расположим их так,
чтобы гипотенузы образовали квадрат.

Площадь такого квадрата равна c².

Теперь сделаем из треугольников
два прямоугольника,

направив меньшие катеты друг к другу.

Площади этих квадратов равны a² и b².

Вот ключ к решению.

Общая площадь фигур не изменилась,

как и площади треугольников.

Значит, пустая область c²

равна пустой области в правом квадрате,

a² + b².

Греческий математик Евклид является
автором другого доказательства,

на которое почти 2000 лет спустя

наткнулся 12-летний Эйнштейн.

Здесь один прямоугольный треугольник
делится на два других.

Используется принцип,

что если соответственные
углы треугольников равны,

то соотношение их сторон также равно.

Поэтому для трёх подобных треугольников

можно написать соотношение их сторон.

Теперь переставим буквы местами.

Наконец, сложим два уравнения
и упростим, чтобы получить

ab² + ac² = bc²,

или a² + b² = c².

Это доказательство с помощью тесселяции,

повтора геометрического рисунка
для наглядного визуального доказательства.

Видите, как это работает?

Приостановите видео,
если хотите разобраться в этом сами.

Вот ответ.

Тёмно-серый квадрат — это a²,

светло-серый — это b².

Квадрат, выделенный синим цветом, — c².

Каждый синий квадрат содержит в себе
кусочки ровно одного тёмно-

и одного светло-серого квадрата,

в очередной раз
доказывая теорему Пифагора.

Если вы хотите убедить себя ещё более,

соорудите вращающийся механизм

с тремя одинаково глубокими
квадратными ёмкостями,

соединёнными друг с другом
вокруг прямого треугольника.

Если заполнить самый большой квадрат водой
и начать вращать механизм,

вода из большого квадрата идеально
заполнит две меньшие квадратные ёмкости.

Теорема Пифагора насчитывает
более 350 доказательств,

от самых гениальных до простых.

Сможете ли вы добавить
своё доказательство?