Combien y a-t-il de façons de prouver le théorème de Pythagore ? - Betty Fei

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Qu'est-ce qu'Euclide, Einstein quand il avait 12 ans, et le président américain James Garfield ont en commun ? Ils ont tous trouvé des preuves élégantes du célèbre théorème de Pythagore, l'une des règles de géométrie les plus fondamentales et la base d'applications pratiques comme la construction de bâtiments stables et la triangulation des coordonnées GPS. Betty Fei détaille ces trois preuves célèbres.

Leçon de Betty Fei, animation de Nick Hilditch.

Qu'est-ce que Euclide,

Einstein quand il avait 12 ans,

et le président américain James Garfield
ont en commun ?

Ils ont tous trouvé des preuves élégantes
du célèbre théorème de Pythagore,

la règle qui dit
que pour un triangle rectangle,

le carré d'un côté plus
le carré de l'autre côté

est égal au carré de l'hypoténuse.

En d'autres termes, a² + b² = c².

Cette affirmation est l'une des règles
les plus fondamentales de la géométrie

et la base d'applications pratiques,

comme la construction de bâtiments stables
et la triangulation des coordonnées GPS.

Le théorème porte le nom de Pythagore,

un philosophe et mathématicien grec
du 6ème siècle avant J.C.

mais il fut connu plus d'un millier
d'années plus tôt.

Une tablette babylonienne d'environ
1800 av. J.-C.

énumère 15 ensembles de nombres
qui répondent au théorème.

Certains historiens spéculent que
les géomètres de l’Égypte ancienne

utilisaient un ensemble similaire
de chiffres, 3, 4, 5,

pour faire des coins carrés.

La théorie est que les arpenteurs
pouvaient étirer

une corde à nœuds de 12 segments égaux

pour former un triangle
avec des côtés de longueur 3, 4 et 5.

Selon l'inverse du théorème de Pythagore,

cela doit faire un triangle rectangle

et donc un coin carré.

Et les textes mathématiques
indiens les plus anciens connus

écrits entre 800 et 600 av. J.-C

affirme qu'une corde étirée
sur la diagonale d'un carré

produit un carré deux fois plus grand
que celui d'origine.

Cette relation peut être dérivée
du théorème de Pythagore.

Mais comment savons-nous
que le théorème est vrai

pour chaque triangle rectangle,

pas seulement ceux que ces mathématiciens
et arpenteurs connaissaient ?

Parce qu'on peut le prouver :
les preuves s'appuient

sur les règles mathématiques
existantes et la logique pour démontrer

qu'un théorème
doit être vrai tout le temps.

Une preuve classique souvent attribuée
à Pythagore lui-même

utilise une stratégie appelée
la preuve par transposition.

Prenez quatre triangles droits identiques
avec des longueurs latérales a et b

et une longueur d'hypoténuse c.

Disposez-les pour que leurs hypoténuses
forment un carré incliné.

La surface de ce carré est c².

Maintenant, réarrangez les triangles
en deux rectangles,

laissant des carrés plus petits
de chaque côté.

Les surfaces de ces carrés sont a² et b².

Voici la clé.

La surface totale
de la figure n'a pas changé,

et les surfaces des triangles
n'ont pas changé.

Donc, l'espace vide dans l'un, c²

doit être égal
à l'espace vide dans l'autre,

a² + b².

Une autre preuve vient d'un autre
mathématicien grec, Euclide

et a aussi été découverte fortuitement
près de 2 000 ans plus tard

par Einstein, alors âgé de 12 ans.

Cette preuve divise un triangle droit
en deux autres

et utilise le principe stipulant

que si les angles correspondants
de deux triangles sont identiques,

le ratio de leurs côtés
est également le même.

Donc, pour ces trois triangles semblables,

vous pouvez écrire ces expressions
pour leurs côtés.

Ensuite, réorganisez les termes.

Enfin, ajoutez les équations,
et de simplifier pour obtenir

ab²+ac²=bc²,

ou a²+b²=c².

En voici un qui utilise le pavage,

un motif géométrique répétitif
pour une preuve plus visuelle.

Pouvez-vous voir comment ça marche ?

Mettez la vidéo en pause si vous souhaitez
réfléchir à ce sujet.

Voici la réponse.

Le carré gris foncé est a²

et le gris clair est b².

Celui au contour bleu est c².

Chaque carré au contour bleu contient
exactement les morceaux

d'un carré gris clair
et un carré gris foncé

prouvant à nouveau le théorème
de Pythagore.

Si vous souhaitez vraiment
être convaincu,

vous pourriez construire
un plateau tournant

avec trois cases carrées
de profondeur égale

reliées entre elles autour
d'un triangle rectangle.

Si vous remplissez d'eau le carré
le plus grand

et faites tourner le plateau,
l'eau du grand carré

remplira parfaitement
les deux plus petits.

Le théorème de Pythagore
a plus de 350 preuves, voire plus,

qui vont du brillant à l'obscur.

Pouvez-vous ajouter la vôtre ?