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Inradius Perimeter and Area

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    我們已經知道三角形ABC的周長爲p 內徑爲r
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    利用p和r我們需要求出ABC的面積
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    我們知道周長就是三角形各邊之和
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    或者說是沿著三角形轉一圈的長度
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    我們來回顧一下內徑是什麽
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    我們取這些頂點的角平分線
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    取這些角
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    那是角平分線
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    那也是角平分線
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    這個角與那個角相等
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    這個角與那個角相等
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    這個角也與那個角相等
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    這些角平分線相交的點
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    就是內切圓心
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    它到三邊的距離相等
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    這個距離就是內徑
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    我來畫一下內徑
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    當你想知道這個點與這條線的距離時
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    就畫一條垂直線
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    那麽這個長度就是內徑
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    這個長度也是內徑
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    這個長度還是內徑
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    還可以畫一個內切圓 它的圓心就在內切圓心上
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    半徑爲r 畫起來就像是這樣
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    解題時 我們不一定要把它畫出來
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    畫出來就像是這樣
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    我們叫它內切圓
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    我們來想想怎麽求出面積
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    特別是在給定了內徑大小的情況下
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    內徑其實還挺有意思的 它看起來像是一條高
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    這個就像是這個三角形的高
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    三角形A 我們取內切圓心爲I
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    所以說這個r是三角形AIC的高
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    這個r是三角形AIC的高
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    這個我們還沒有標上去的r
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    就是三角形AIC的高
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    我們就可以根據r和相應的底邊來求出每一個三角形的面積
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    也許當我們把所有三角形的面積相加
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    根據周長和內徑 就可以得到一些東西
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    我們來試試看
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    所以整個三角形ABC的面積等於
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    我用顏色標記一下
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    面積等於AIC的面積
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    也就是我塗了紫紅色陰影的部分 面積等於AIC的面積
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    加上BIC的面積 就是這個三角形
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    我用另外一個顏色好了 已經用了藍色
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    那麽我用橙色好了
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    加上BIC的面積 就是這部分面積
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    加上BIC的面積之後 還要加上一塊面積
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    我用粉色好了
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    加上AIB的面積 這是AIB的面積
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    把這三個三角形的面積相加
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    就得到大三角形的面積了
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    現在我們看AIC的面積 它等於二分之一的底乘以高
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    也就是二分之一乘以底的長度 就是AC 也就是二分之一的AC
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    再乘以這條高
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    也就是r 就是再乘以r
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    這就是AIC的面積
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    BIC的面積是二分之一的底 也就是BC
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    乘以高 也就是r
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    再加上AIB的面積
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    也就是二分之一的底 就是AB邊的長度
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    AB乘以高 同樣也是r
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    這裡我們可以提出二分之一的r
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    就得到二分之一的AC BC與AB之和
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    接下來應該很明白了
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    加上AB 我們用不同的粉色標記
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    現在我們看 AC加BC加AB得到什麽呢
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    得到的是三角形的周長 求出所有的邊長總和
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    得到的就是周長p 到此爲止 問題基本上是解決了
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    三角形ABC的面積等於二分之一的r乘以周長
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    答案看起來很簡單吧
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    二分之一乘以內徑乘以三角形的周長
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    有時候也寫成這樣 面積等於r乘以p除以s
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    不好意思 應該是p除以2
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    p除以2的部分
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    也叫半周長 通常用s表示
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    所以有時候面積也等於r乘以s
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    此時s表示半周長 就是周長除以2
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    我比較偏向於這種表達式
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    因爲p是周長的首字母 就代表周長
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    這很有用 顯然 已知內徑和周長的大小
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    你就可以求出三角形的面積
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    或者 有人告訴你三角形的面積以及周長大小
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    你就可以求出內徑的大小
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    在這些變量中任取兩個就可以得出第三個量
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    舉個例子好了 如果有人 假設這裡有個三角形
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    是最著名的直角三角形
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    假設長度是3 4 5
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    我們知道這是一個直角三角形
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    這可以用勾股定理來驗證
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    如果想要求這個三角形的內徑
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    首先面積倒是很好求的
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    我們知道這是一個直角三角形 3的平方加上4的平方等於5的平方
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    所以面積就是3乘以4乘以二分之一
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    3乘以4乘以二分之一等於6
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    周長爲3加4 等於7 再加上5 等於12
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    那現在我們知道了面積 寫下來
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    面積等於二分之一乘以內徑乘以周長
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    也就是12等於二分之一乘以內徑乘以周長
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    也就是 噢不好意思 這是6 改一下
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    面積爲6 6等於二分之一乘以內徑乘以12
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    此時我們看 二分之一乘以12等於6
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    6等於6r 兩邊同時除以6 得出r等於1
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    接下來畫出內徑 這倒是很簡單的
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    畫一些角平分線
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    這個3-4-5型直角三角形的內徑爲1
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    那麽這段距離與這段距離相等 也與這段距離相等
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    都等於1 答案很簡單吧
Title:
Inradius Perimeter and Area
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:29

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

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