Inradius Perimeter and Area

Казано ни е, че триъгълник ABC
има обиколка p

и радиус r на вписаната
в него окръжност.

Трябва да изразим лицето на
ABC чрез p и r.

Знаем, че обиколката е просто сборът от
дължините на страните на триъгълника

или колко ще бъде дължината, ако
обиколим триъгълника.

Нека само да си припомним какво е
радиус на вписаната окръжност.

Ако вземем ъглополовящите на
на всеки от трите ъгли на триъгълника,

на всеки от тези ъгли тук,

значи ъглополовящата на този ъгъл,

и след това ъглополовящата
на ето този ъгъл.

Този ъгъл ще бъде
равен на този ъгъл,

този ъгъл ще бъде
равен на този ъгъл

и след това този ъгъл
ще бъде равен на този ъгъл там.

И точката, в която тези
ъглополовящи се пресичат,

тази ето тук, е център
на вписаната в триъгълника окръжност.

Тя е на равно разстояние
от всичките три страни

и разстоянието до тези страни е радиусът
на вписаната окръжност.

Нека начертая радиуса на вписаната
окръжност.

Когато търсиш разстоянието между
точка и права,

ще спуснеш перпендикуляр.

Така че тази дължина ето тук е
дължината на радиуса на вписаната окръжност.

Тази дължина тук е радиус на
вписаната окръжност.

И тази дължина тук е радиус
на вписаната окръжност.

Ако искаш, можеш да начертаеш вписаната
окръжност с център в тази точка

и с радиус r, и тази окръжност ще изглежда
по следния начин.

Всъщност няма нужда да чертаем
за тази задача.

Така че можеш да начертаеш окръжност, която
изглежда по следния начин.

Това е окръжността,
вписана в този триъгълник.

Нека помислим как можем
да намерим лицето тук,

като използваме този
радиус на вписаната окръжност.

Интересното нещо за радиуса на вписаната
окръжност е, че изглежда като височина.

Това изглежда като височина за този
триъгълник тук.

Триъгълник A, нека означа центъра,
нека го нарека I за център на вписаната окръжност.

Това r ето тук, е височината
на триъгълник AIC.

Това r е височината
на триъгълник BIC.

А това r, което не сме означили,

това r ето тук е височината на
триъгълник AIB.

Можем да намерим лицето на всеки от тези
триъгълници чрез двете r и техните основи.

Може би, ако съберем лицата на
всички тези триъгълници,

ще получим връзка с обиколката
и радиуса на вписаната окръжност.

Нека просто опитаме да го направим.

Лицето на целият триъгълник, лицето на ABC
ще бъде равно на –

ще означа цветово това –

това ще бъде равно
на лицето на AIC.

Това, което щриховам тук в лилаво,
ще бъде равно на лицето на AIC

плюс лицето на BIC, което е
този триъгълник ето тук.

Ще ти покажа това в различен цвят.
Вече използвах синьо.

Така че ще направя това
в оранжево.

Плюс лицето на BIC,
ето това лице тук,

плюс лицето на BIC и след това накрая
плюс лицето...

ще направя това в... да видим, ще
използвам този розов цвят –

плюс лицето на AIB, това е
лицето на AIB.

Вземаме сбора от лицата на
тези три триъгълника.

Получавате лицето на
големия триъгълник.

Лицето на AIC ще бъде
равно на 1/2 от основата по височината.

Това ще бъде 1/2 от основата, от дължината
на AC, 1/2 AC,

по височината тук,

което просто ще бъде r, по r.

Това е лицето на AIC.

И след това лицето на BIC ще бъде 1/2 от
основата, която е BC,

по височината, която е r.

И след това плюс лицето на AIB.
Това тук ще бъде

1/2 от основата, която е дължината
на страна AB.

AB по височината,
която е отново r.

Тук можем да изнесем отвън 1/2r от
всички тези членове

и получаваме 1/2r, по AC
плюс BC, плюс AB.

Мисля, че виждаш накъде
отива това.

Плюс – това е друг нюанс на розовото –
плюс AB.

Сега, колко е AC
плюс BC, плюс AB?

Това е бъде обиколката p, ако
просто вземем сумата на страните.

Това е обиколката p и изглежда,
че сме готови.

Лицето на триъгълника ABC е равно на
1/2r по обиколката,

което е в известна степен
ясен резултат.

1/2 по радиуса на вписаната окръжност, по
обиколката на триъгълника.

Понякога ще го виждаш написано, че
това е равно на r по p, върху s.

О, извинявам се, p върху 2.

И този член тук, обиколката,
разделена на 2,

понякога се нарича полу-обиколка
и понякога се означава с 's'.

Така че понякога ще срещаш,
че лицето е равно r по s,

където s е полу-обиколката, то е обиколката,
разделена на 2.

Аз поначало харесвам
този начин малко повече,

защото помня, че p е обиколката.

Това е полезно, защото, ако някой ти даде

радиуса на вписаната окръжност
и обиколката на триъгълника,

можеш да намериш
лицето на триъгълник.

Или ако някой ти даде лицето
на триъгълника и обиколката,

можеш да получиш радиуса на
вписаната окръжност.

Ако са ни дадени които и да е две от тези
променливи, винаги можеш да получиш третата.

Например, ако някой...
ако това тук е триъгълник,

който е най-известният
правоъгълен триъгълник.

Ако имам триъгълник, който има
дължини на страните 3, 4 и 5,

знаем, че това е правоъгълен
триъгълник.

Можеш да провериш това
чрез питагоровата теорема.

И ако някой попита колко е радиусът на
вписаната окръжност на този триъгълник тук?

Можем да намерим
лицето много лесно.

Знаем, че това е
правоъгълен триъгълник.

3 на квадрат плюс 4 на квадрат
е равно на 5 на квадрат.

Лицето ще бъде равно на
3 по 4, по 1/2.

3 по 4 по 1/2 е 6.

Обиколката тук ще бъде равна на 3 плюс 4,
което е 7, плюс 5 е 12.

Имаме лицето, така че
нека го напишем.

Лицето е равно на 1/2 по радиуса
на вписаната окръжност, по обиколката.

И така, тук имаме 12 е равно на 1/2, по
радиуса на вписаната окръжност, по обиколката.

Имаме, о извинявам се, имаме
6, нека го напиша.

Лицето е 6. 6 е равно на 1/2 по
радиуса на вписаната окръжност, по 12.

Така че в тази ситуация
1/2 по 12 е 6.

6 е равно на 6r. Разделяме двете страни
на 6. Получаваме r е равно на 1.

Ако искаме да начертаем радиуса на вписаната
окръжност, който е един вид чист резултат...

Нека начертая няколко
ъглополовящи тук.

Този правоъгълен триъгълник 3-4-5
има радиус на вписаната окръжност 1.

Това разстояние е равно на това разстояние, което
е равно на това разстояние,

което е равно на 1, просто един
чист резултат.