Divergence of telescoping series

우리한테 합 S가 있다고 가정합시다.

1 마이너스 1 플러스 1 마이너스 1 플러스 1 그리고 계속 하세요.

그렇게 영원히 계속하다보면 우리는 시그마 기호를 쓸 수 있습니다.

이것은 n이 1일 때 무한대로 가는 것의 합이 될 수 있습니다.

우리는 무한대라는 것을 가지고 있지만, 처음 숫자를 보면

양수가 되고 우리는 계속 부호를 바꿉니다.

그래서 우리는 -1이 n-1제곱이 된다고 할 수 있습니다.

일단 그렇게 된다고 확인합시다.

n이 1일 될때는 -1의 0제곱이 되고

n이 2가 되면 이것은 1제곱이 되고

이것은 두번째 것과 같게 됩니다.

그래서 이것이 이 계산을 쓰는 방법입니다.

이제 이 계산이 유한대로 수렴하는 지를 생각하고 싶습니다.

아니면, 이것을 다르게 말한다면, 합이 무엇입니까?

여기 있는 값과 같게 수렴합니까

아니면, 이 계산이 발산입니까?

그래서 우리가 생각할 수 있는 방법은

이것의 부분합입니다. 일단 적어보겠습니다.

이 값들을요

그리고 우리가 이 부분합를 정의할 방법은, 일단 지수를 놓겠습니다.

그래서 SN은

N이 무한대가 아닌 N으로 갈 때 n이 1일 때의 합이 됩니다.

-1의 n-1제곱이 되고

명확하게 하자면 이것은, S는

S1은 n이 1이 되고, N이 1이 되므로

여기 있는 이 숫자가 됩니다.

그래서 1이 될것입니다.

S2는 1-1이 될 것입니다.

그래서 이것은 첫째와 둘째번 숫자가 됩니다.

S3는 1 마이너스 1 플러스 1이 됩니다.

이것은 첫째번에서 셋째번 숫자가 되는데

이것은 물론 1이 됩니다.

이것은 0이 되고요.

S4는 계속하자면

1 마이너스 1 플러스 1 마이너스로 다시 0이 됩니다.

그래서 한 번 더, 이 합이 유한대로 수렴합니까?

이 비디오를 멈추고 당신이 생각해봤으면 좋겠습니다.

여기 주어진 부분합을 봅시다.

그래서, 이것이 수렴하기 위해, 그 말은 수렴하기 위한 무한대인

리미트가

이게 수렴한다면

이것은

리미트 N이 무한대로 갈때 우리의 SN이

유한대가 된다는 것입니다.

그러면 이렇게 써보죠. 이것이 유한대와 같습니다.

그래서, limit가 무엇이 될까요?

그러면, 우리가 이것을 이렇게 쓸 수 있다면,

이것은, SN을 보면,

이것을 일반적인 용어로 쓰고 싶다면,

N이 홀수이면, 1이 되고

N이 짝수이면, 0이 됩니다.

그래서, 우리는 SN을 이렇게 쓸 수 있습니다.

SN은 N이 홀수이면 1이되고

N이 짝수이면 0이 되죠.

그래서 SN이 무한대로 갈때 리미트값은 무엇이 될까요

N이 무한대로 가면 SN은

무한대값이 존재하지 않습니다.

이것은 계속 이 두개가 진동이 되죠.

하나를 더하면, 1에서 0이 되고

또 하나를 더하면 0에서 1이 됩니다.

그래서 이것은 유한대로 다다르지 않습니다.

그러므로 이 값은 존재하지 않습니다.

이것은 1과 0사이에서 진동하기 때문에

값이 존재할 것 같지만

n이 무한대로 갈때 특정한 값이 나오지 않습니다.

그래서 우리는 합 S가 발산이라고 할 수 있습니다.

합 S는 발산입니다.