Laplace Transform 4

-

Tekrar hoşgeldiniz.

Sinüs a t'nin Laplace dönüşümünü yapıyorduk ki, zamanımız bitti.

-

Bu, sinüs a t'nin Laplace dönüşümünün tanımı.

-

Buna y demiştim.

Bu bizim için faydalı olacak, çünkü iki kere kısmi integral alacağım.

-

Burada ilk kısmi integrali aldım. Burada da ikinci kere aldım.

-

Size, şimdilik limitleri düşünmeyin, demiştim.

-

Sadece belirsiz integralle uğraşalım.

y'yi bulduktan sonra - diyelim ki, y bunun belirsiz hali - limitlerin değerini bulabiliriz.

-

-

Buraya kadar gelmiştik. İki kere kısmi integral formülünü uyguladıktan ve dikkat hatası yapmamak için çok uğraştıktan sonra, bunun orijinal y'miz olduğunu farketmiştik.

-

-

-

Buraya limitleri koyarsam, sinüs a t'nin Laplace dönüşümünü bulmuş olurum, öyle değil mi?

-

Bu, orijinal y'miz.

-

-

-

-

Bu, orijinal tanımımızdı.

Şimdi iki tarafa a kare bölü s kare y ekleyelim.

-

Bu eşittir, y artı - denklemin iki tarafını bu ifadeyle topluyorum - a kare bölü s kare y eşittir - bu terim gitti, onun için buna eşit.

-

-

-

Bakalım, sadeleştirebilecek miyiz.

e üzeri eksi s t'yi dışarı alalım. Veya, eksi e üzeri eksi s t'yi dışarı alalım. Buna göre, eksi e üzeri eksi s t çarpı sinüs - şuraya 1 bölü s, sinüs a t eksi 1 bölü s kare, kosinüs a t yazalım.

-

-

-

Umarım, dikkat hatası yapmadım.

Katsayıları toplayabiliriz.

1 artı a kare bölü s kare çarpı y elde ederiz.

Bu, s kare bölü s kare artı a kare bölü s kareyle aynı şey.

-

Yani, s kare artı a kare, bölü s kare,y eşittir, eksi e üzeri eksi s t çarpı bunun tamamı, sinüs a t eksi 1 bölü s kare, kosinüs a t.

-

-

Her şeyi t'ye göre yaptığım için, bu sadece bir sabit, öyle değil mi?

-

Sabit çarpı terstürev, buna eşit, diyebiliriz.

-

Şimdi limitlerin değerini bulalım. Tamam mı?

-

Burada bir t olsaydı, diğer tarafa almaya çalışacaktım.

-

Çünkü limitlerin değerini t ile buluyoruz.

-

Şimdi limitlerin değerini buluyoruz.

Limitleri çözüm boyunca taşıyabilirdik, öyle değil mi?

-

Bu terimi dışarı aldık.

Neyse.

Bunun 0'dan sonsuza değerini bulalım.

Sadeleşeceğini düşünüyorum.

Denklemin sağ tarafının sonsuzdaki değerini bulursak, e üzeri eksi sonsuz nedir?

-

0'dır.

Bunu birkaç kere söylemiştik.

0'a eksi taraftan yaklaştığımızda da, 0 olacak.

-

Sinüs sonsuz nedir?

Sinüs, eksi 1 ile artı 1 arasında gidip gelir. Kosinüs de aynı şekilde. Öyle değil mi?

-

-

Yani, bu, sınırlı.

Bu şey ağır basacaktır.

Merak ediyorsanız, grafiğini çizebilirsiniz.

Bu, dalgalanmaları kapatır.

Yani, bu sonsuza giderken, limit 0'a eşit olacak.

-

-

Bu mantıklı, öyle değil mi?

Bunlar artı 1 ve eksi 1 arasında sınırlı.

Ve bu, çabucak 0'a yaklaşıyor.

Yani, 0 çarpı, eksi 1 ile 1 arasında sınırlı bir şey.

-

Şöyle de düşünebiliriz: Bunun eşit olabileceği en büyük değer, 1 çarpı önündeki katsayı ve bu da 0'a gidiyor.

-

-

0 çarpı 1 gibi.

Neyse, bu konuya çok zaman harcamak istemiyorum.

İsterseniz, daha bakabilirsiniz.

Eksi bunun tamamının 0'daki değeri.

Peki, e üzeri 0 nedir?

e üzeri 0 eşittir 1. Öyle değil mi?

-

e üzeri 0.

Eksi 1'imiz var, artı 1 olur - sinüs 0 eşittir 0.

-

Eksi 1 bölü s kare, kosinüs 0.

-

Bakalım.

Kosinüs 0 eşittir 1 ve eksi 1 bölü s kare var. Eksi 1 bölü s kare, çarpı 1.

-

Bu da eşittir, eksi 1 bölü s kare.

Sanıyorum bir hata yaptım, çünkü burada negatif bir sayı olmamalıydı.

-

Adımlarımıza bakalım.

Belki bu negatif değildi?

Sonsuz, öyle değil mi?

Bunun tamamı 0.

Buraya 0 koyarsak, bu eksi 1 olur.

Evet.

Yani, ya bu artı, ya da şu.

Bakalım, hatayı nerede yaptım.

Tamam, hatanın nerede olduğunu gördüm.

Tam şurada.

Eksi e üzeri eksi s t'yi dışarı aldığımda, öyle değil mi?

Peki.

Burası, 1 bölü s, sinüs a t oluyor.

Fakat, eksi e üzeri eksi s t'yi dışarı alırsam, bu, artı olur, öyle değil mi?

-

Burası eksi idi, ama eksi e üzeri eksi s t'yi dışarı alıyorum.

-

Yani, bu artı.

Bu artı.

Hatayı kolayca bulabildiğime çok sevindim.

O zaman, bu artı olur.

Bu da artı olur.

Şükürler olsun.

Eğer iki videonun sonunda bir negatif sayı elde etseydim, çok üzücü olurdu.

-

Neyse.

Şimdi, s kare artı a kare bölü s kare çarpı y eşittir bu.

-

İki tarafı, s kare bölü s kare artı a kare ile çarpalım.

-

İki tarafı buna bölerseniz, y eşittir 1 bölü s kare - bir dakika, bunun doğru olduğundan emin olayım.

-

1 bölü s kare.

y eşittir 1 bölü s kare, çarpı s kare, bölü s kare artı a kare.

-

Bunlar sadeleşir.

Başka bir dikkat hatası yapmadığıma emin olayım.

-

Çünkü yapmış olduğumu hissediyorum. Evet.

-

Burada.

Hatayı görüyorum.

Bu terim hatalı.

Umarım hatalarımdan rahatsız olmuyorsunuz. Bu soruları gerçek zamanda çözdüğümü görmenizi istiyorum ve ben de insanım.

-

-

Neyse, yine aynı hatayı yaptım.

e üzeri eksi s t'yi dışarı aldım, yani bu artı.

Ama, a bölü s kareydi.

Yani, bu a.

Bu a.

Ve, bu a.

Yani, bu a.

Bu a.

Öyle değil mi?

Bu a idi.

Doğru cevap, bu.

a bölü s kare artı a kare.

Umarım, bu dikkat hataları sizi sorudan uzaklaştırmamıştır.

-

Birkaç değişkenle iki kere kısmi integral aldığımız zaman, böyle şeyler olur.

-

Neyse, şimdi Laplace dönüşümü tablomuza önemli bir ekleme yapabiliriz.

-

-

-

-

Sinüs a t'nin Laplace dönüşümü eşittir a bölü s kare artı a kare.

-

Bu, önemli bir şey.

Pratik yapmak isterseniz, iki kere kısmi integral almanın ne kadar eğlenceli olduğunu görmek için, kosinüs a t'nin Laplace dönüşümünü bulabilirsiniz.

-

-

Size bir ipucu vereyim. S bölü s kare artı a kare.

-

Dönüşümlerdeki simetri çok güzel.

Neyse, zamanım doldu.

-

Bir sonraki videoda görüşürüz.

-