De quantos modos diferentes você pode dispor um baralho com 52 cartas? – Yannay Khaikin

Assista à aula completa: http://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-can-you-arrange-a-deck-of-cards-yannay-khaikin

Um baralho. Cinquenta e duas cartas. Quantos arranjos? Vamos colocar desta forma: toda vez que você escolhe um conjunto completo de cartas, bem embaralhado, você com certeza estará segurando um arranjo de cartas que nunca antes existiu e que poderá nunca mais se repetir. Yan Khaikin explica como os fatoriais nos permitem calcular com precisão o número exato (enorme) de permutações em um baralho de cartas padrão.

Aula por Yannay Khaikin, animação por The Moving Company Animation Studio.

Escolha uma carta, qualquer carta.

Ou então pegue todas elas e examine-as.

O baralho com 52 cartas
é usado há séculos.

Todos os dias, milhares
de baralhos iguais a este

são embaralhados em cassinos
do mundo inteiro

e toda vez a ordem se modifica.

No entanto, sempre que você usa
um conjunto de cartas bem embaralhado,

como este,

quase certamente terá em mãos

um arranjo de cartas

que nunca existiu.

Como é possível?

A resposta está no número
de arranjos diferentes possíveis

de 52 cartas, ou quaisquer objetos.

52 pode não parecer
um número muito grande.

Mesmo assim, comecemos
com um número menor.

Digamos que quatro pessoas
tentem sentar

em quatro cadeiras numeradas.

De quantos modos diferentes
elas podem se acomodar?

Para começar, qualquer uma
das quatro pessoas pode se sentar

na primeira cadeira.

Feita esta escolha,

restam apenas três pessoas em pé.

Depois que a segunda pessoa se sentar,

sobram somente dois candidatos

à terceira cadeira.

Depois que a terceira pessoa
tiver se sentado,

a última pessoa não tem escolha

e terá que se sentar na quarta cadeira.

Se escrevermos todos
os possíveis arranjos,

ou permutações,

resultam 24 modos

de quatro pessoas se sentarem
em quatro cadeiras,

mas quando lidamos
com números maiores,

isto pode ser demorado.

Então, vejamos se há
um meio mais rápido.

Começando de novo,

você pode notar que cada uma
das quatro escolhas iniciais

para a primeira cadeira

leva a três novas possibilidades
de escolha para a segunda cadeira,

e cada um destas escolhas

cria mais duas
para a terceira cadeira.

Em vez de contar cada
cenário final individualmente,

podemos multiplicar o número
de escolhas para cada cadeira:

quatro vezes três vezes dois vezes um

para chegar ao mesmo resultado de 24.

Surge um padrão interessante.

Começamos com o número
de objetos que devem ser arranjados,

quatro, neste caso,

e o multiplicamos por números inteiros
consecutivamente menores

até chegarmos ao um.

Esta é uma descoberta notável,

tão excitante
que os matemáticos escolheram

simbolizar este tipo de cálculo,

conhecido como fatorial,

com um ponto de exclamação.

Como regra geral, o fatorial
de qualquer número inteiro e positivo

é calculado como o produto

daquele mesmo número inteiro

por todos os números inteiros
menores até o número um.

Em nosso exemplo,

o numero de modos em que quatro pessoas

podem ser acomodadas nas cadeiras

é indicado por quatro fatorial,

que é igual a 24.

Voltemos ao baralho completo.

Assim como há
quatro fatorial modos

de dispor quatro pessoas,

Há 52 fatorial maneiras

de ordenar 52 cartas.

Felizmente, não precisamos
fazer este cálculo manualmente.

Use a função fatorial em uma calculadora,

e ela mostrará que aquele número

de arranjos possíveis

é 8,07 x 10^67,

ou aproximadamente oito
seguido de 67 zeros.

Qual o tamanho deste número?

Bem, se uma nova permutação
das 52 cartas de baralho

fosse escrita a cada segundo,

começando há 13,8 bilhões de anos,

quando se supõe que ocorreu o Big Bang,

esta tarefa ainda estaria sendo feita

e continuaria por milhões
de anos no futuro.

De fato, existem mais modos possíveis

de ordenar este simples
conjunto de cartas de baralho

do que o número de átomos
que existem na Terra.

Então, quando for sua vez
de embaralhar as cartas,

pare para pensar

que você tem nas mãos algo

que pode nunca ter existido

e pode nunca existir novamente.