카드 한벌로 얼마나 많은 패를 만들 수 있을까요? - 야나이 카이킨

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카드 한벌, 52장. 가능한 패는? 이렇게 한번 생각해 보죠: 매번 좋은 카드만 받을 수 있다면 처음 보거나 다시는 볼 수 없는 패를 가지게 될지도 모릅니다. 야나이 카이킨씨는 팩토리얼로 카드 패의 수를 우리가 어떻게 정확하게 알 수 있는지 말해 줍니다.

레슨: 야나이 카이킨 영상: The Movie Company 애니메이션 스튜디오

아무 카드나 한장만 집어 보세요

실제로 한 번에 다 집어서 펴 보세요.

이 기본 52장 한번 카드는 수세기 동안 사용되어 왔습니다

매일, 많은 사람들이 좋아하고

세계 카지노에서 사용하는데

순서는 매번 재정열됩니다

하지만, 이것처럼 매번 좋은 카드만

받을 수 있다면

지금껏

보지 못한

패를 갖게 될 겁니다.

어떻게 이런 일이 가능 할까요?

그답은 52장의 카드로 혹은 무슨 물건이든

그것으로 얼마나 많은 패를 만들 수 있냐에 있습니다.

지금은 52장이 많아보이진 않긴해도

좀 더 작은 숫자로 시작해 보죠.

네 사람이 네 개의 숫자가 각각 적힌 의자에

앉는다고 생각해보면

그들이 앉을 수 있는 경우의 수는 얼마나 될까요?

우선, 네 사람 중 누구라도

첫 번째 의자에 앉을 수 있습니다.

첫 번째 선택이 결정되면

세 사람만 서 있게 됩니다.

그 다음 사람이 앉으면

두사람만이 세번째 의자에 앉을 수 있는

후보자가 됩니다.

그 중 세번째 사람이 한 의자에 앉으면

서 있던 마지막 사람은

네번째 의자에 앉을 수 밖에 없게 됩니다.

직접 가능한 모든 배열이나

순열을 써보면

네 사람을 모두 의자에 앉힐 수 있는 방법은

모두 24가지라고 나옵니다.

물론 이것보다 큰 수를 다룬다면

시간이 좀 더 걸리겠지요.

그럼 다른 빠른 방법이 있는지 한번 보겠습니다.

처음으로 다시 돌아가서

첫번째 의자에 앉을 수 있는

각각 네 가지의 첫 선택은

두번째 의자에 앉을 수 있는 선택보다 세가지 경우가 더 많습니다.

그리고 이 선택들은

세번째 의자에 앉을 수 있는 경우의 수보다 두가지가 더 많습니다

그래서 마지막 경우를 일일이 다 셀 필요없이

각각의 의자에 대한 경우의 수를 모두 곱하면 됩니다

: 4 x 3 x 2 x 1

똑같이 24라는 결과가 나옵니다.

여기에서 재미있는 패턴이 나오는데요.

처음에 우리가 정한 물체의 숫자로 시작을 했죠

지금 이 경우엔 숫자 4가 되겠죠.

그리고 (1씩) 작은 정수를 연속해서 곱합니다

1이 나올때까지요.

매우 흥미로운 발견이죠.

이 발견이 굉장히 흥미로워서 수학자들은

흔히 팩토리얼이라고 알려진 이런 계산법을

느낌표를 사용해서

상징화했습니다.

일반적 규칙에 따라, 특정 양의 정수에 대한 팩토리얼은

그 양의 정수에서

1씩 줄여나가 1이 나올때까지의 곱으로 계산됩니다.

우리 예에서는

네사람 모두 의자에 앉을 수 있는

경우의 수를

4!로 표기 할 수 있는데

이 것은 24와 동일하죠.

자, 이제 다시 카드로 돌아가 보죠.

네사람이 모두 앉을 수 있는 경우의 수를

4!로 표기 했듯이

52장의 카드패를 배열한 경우의 수는

52!가 되겠군요.

다행이 일일이 계산할 필요가 없습니다.

그냥 계산기에 수식을 넣으세요

그러면 계산기는 가능한 배열수가

8.07 x 10^67,

즉 8 다음에 0이 거의 67개 붙는 것과 같다고 보여줄 겁니다.

정말 엄청난 숫자죠?

그리고 만약 52장 카드의 모든 가능한 배열을

매초마다 하나씩 써 내려왔다면

우주 대폭발이 발생되었다던

138억년 전부터 시작해서

지금까지도 쓰고 있을 것이고

앞으로 수백만년이 더 걸릴 것입니다.

사실상, 지구상에 존재하는 모든 원자들 보다

카드 한벌로 만들 수 있는 패의 수가 더 많습니다.

혹시 다음에 여러분이 카드를 돌릴 차례가 되면

여러분이 전엔 절대 볼 수 없었던

그리고 앞으로도 볼 수 없을 패를 쥐고 있다는 것을

기억하세요