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이번 수업은
예전에 배운 정사영과
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지금 배울 새로운 정사영의
개념을 비교해볼 거에요
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먼저 전에 배웠던
직선 l에 대한 벡터 x의 정사영은
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직선 l에 속한 어떤 벡터인데
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이 때 이 벡터를
x에서 빼서 나온 벡터는
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직선 l과 직교합니다
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이 상황을 그림으로 그려보면
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직선 l은 이렇고요
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여기에 투영할 벡터 x를 그릴게요
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여기에 투영할 벡터 x를 그릴게요
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이게 x에요
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직선 l에 대한 x의 정사영은
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l 위에 있는 어떤 벡터이고
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이 때 x에서 이 벡터를 뻬서
나온 벡터는
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직선 l과 직교합니다
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직선 l에 있는
어떤 벡터입니다
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참고로 이건 이전에 배운
직선에 대한 정사영의 정의에요
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참고로 이건 이전에 배운
직선에 대한 정사영의 정의에요
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l 위의 어떤 벡터
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여기있다고 합시다
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x에서 이것을 빼면
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그 벡터는 l 위의 모든 벡터와
직교할 겁니다
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그 벡터는 l 위의 모든 벡터와
직교할 겁니다
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그 벡터는 l 위의 모든 벡터와
직교할 겁니다
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바로 이렇게 말이에요
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이 노란색 선이
바로 그 벡터에요
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x - (직선 l에 대한 x의 정사영) 입니다
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그리고 여기 있는 벡터를 봅시다
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지금 정의한 벡터죠
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바로 x의 l에 대한 정사영입니다
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이것을 어떻게 다르게
나타낼 수 있을까요?
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이것을 어떻게 다르게
나타낼 수 있을까요?
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똑같은 의미의 정의를
다르게 나타내보면
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l 위에 있는 벡터이고
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보라색으로 다시 쓸게요
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l 위에 있는 벡터 v이고
이 때
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x - v
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x - l에 대한 정사영 = w 이고
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w는 l에 있는 모든 벡터와 직교한다
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l에 직교한다는 건
l위에 있는 모든 벡터와 직교한다는 뜻이에요
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l에 직교한다는 건
l위에 있는 모든 벡터와 직교한다는 뜻이에요
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정의를 살짝 바꿨어요
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x의 l에 대한
정사영이라고 하기보다
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직선 l 위에 있는 어떤 벡터 v이고
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x - v는 다른 어떤 벡터 w와 같고
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이 때 w는 l 위의 모든 벡터와 직교한다
라고 바꿨어요
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또 다르게 나타낼 수도 있어요
예를 들면
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x = v + w
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x의 l에 대한 정사영은
l에 있는 고유 벡터 v이고
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이 때 x = v + w 이고
w는 l의 직교여공간 위의 고유 벡터입니다
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이 때 x = v + w 이고
w는 l의 직교여공간 위의 고유 벡터입니다
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이 때 x = v + w 이고
w는 l의 직교여공간 위의 고유 벡터입니다
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맞죠?
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w는 l에 있는
모든 벡터와 직교해야 합니다
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따라서 w는 l의
직교여공간에 속해있습니다
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따라서 w는 l의
직교여공간에 속해있습니다
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이 정의는 사실
오늘 새로 배울
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부분공간의 정의와
완전히 일치합니다
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이 정의는 직선뿐만 아니라
임의의 부분공간에 적용할 수 있습니다
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이 정의는 직선뿐만 아니라
임의의 부분공간에 적용할 수 있습니다
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함께 그림으로 그려봅시다
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어떤 벡터공간 R3이 있다고 합시다
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어떤 벡터공간 R3이 있다고 합시다
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R3에 어떤 부분공간이 있습니다
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이 부분공간은 평면입니다
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평면인 부분공간을 만들어서
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정사영은 직선에만
하는게 아니란걸 보여줄게요
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이 사각형은 부분공간 V에요
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이 부분공간의
직교여공간을 그려볼게요
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이렇게 생겼다고 합시다
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이렇게 생겼다고 합시다
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직선입니다
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평면 V와 여기서 만납니다
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그리고 통과합니다
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둘은 당연히 영벡터 만날겁니다
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부분공간과 그 직교여공간이
만나는 유일한 지점이니까요
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직선은 평면을 통과해서
뒤로 나와 있어요
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이 평면은 모든 방향으로
무한히 뻗어 있기 때문에
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뒤로 통과한 직선은
안 그리는게 옳지만
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어떤 개념인지는 알겠죠?
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이 직선이 바로
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V의 직교여공간입니다
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이제 R3에 어떤
임의의 벡터를 그려봅시다
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이제 R3에 어떤
임의의 벡터를 그려봅시다
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이 벡터를 x라고 합시다
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이 x의 V에 대한 정사영은
새로운 정의에 의하면
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고유 벡터 v와 같습니다
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이것이 벡터 v입니다
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부분공간 v이지요
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고유 벡터 v는 V에 속해있고
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이 때 x = v + w이고
w는 V의 직교여공간의 고유 벡터입니다
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이 때 x = v + w이고
w는 V의 직교여공간의 고유 벡터입니다
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이것이 바로 새로운 정의에요
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x가 V와 V┴의 고유 벡터의
합으로 이루어져 있다고 정의하면
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그림으로 더 직관적으로
알아볼 수 있어요
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그럼 V에서는
이 벡터를 v라고 하고
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V┴에서는
이 벡터가 w입니다
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V┴에서는
이 벡터가 w입니다
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수직 벡터를 이동시키면
이 쪽에 옵니다
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수직 벡터를 이동시키면
이 쪽에 옵니다
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여기가 바로 v입니다
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여기가 바로 v입니다
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그리고 평면을 뚫고
수직 방향으로 올라가는 벡터가 w입니다
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그리고 평면을 뚫고
수직 방향으로 올라가는 벡터가 w입니다
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그림을 통해 v + w = x임을
알 수 있습니다
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또 v는 x를 V에 대해 투영한
벡터임을 알 수 있습니다
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또 v는 x를 V에 대해 투영한
벡터임을 알 수 있습니다
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또 v는 x를 V에 대해 투영한
벡터임을 알 수 있습니다
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여기서도 정사영을
그림자에 빗댈 수 있어요
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빛을 부분공간을
향해 수직으로 쏴주면
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빛을 부분공간을
향해 수직으로 쏴주면
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이 때 생기는 그림자를
정사영이라고 생각해도 돼요
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이렇게 생각하니까 좀 쉽죠?
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이제는 범위를 넓혀서
정의를 일반화 할 겁니다
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앞에서 직선의
정사영을 했고
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방금 평면을 했어요
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임의의 부분공간에
대해서 구할 수 있어요
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이 그림은 R3이지만
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이제 Rn 또는 R100으로
넓힐 수 있어요
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먼저 그림으로 그려보는 건
이래서 매우 유용해요
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이렇게 평면일 때
머릿속에 떠올리기는 쉽지만
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차원이 높아질수록
점점 어려워집니다
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넘어가기 전에
하나 짚고 가죠
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이 새로운 정의가
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직선을 예로 든 정의와
거의 똑같다는 걸 보여줄게요
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이 위의 정의는
곧 다음과 같아요
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x의 V에 대한 정사영은
V에 있는 어떤 고유 벡터이고
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x - x의 V에 대한 정사영은
V에 있는 모든 벡터와 직교합니다
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이 밑줄 친
문장은 이런 뜻이에요
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V에 속한 모든 벡터와
직교한다는 것은
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V의 직교여공간에 속한
벡터라는 것과 똑같아요
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따라서 이 문장은
이렇게 나타낼 수 있어요
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x - x의 V에 대한 정사영 ∈ V┴
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곧 w와 같죠
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이 부분을 v라고 하고
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이 모든 부분을 w라고 한다면
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위의 이 정의와
완전히 똑같습니다
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파란색을 다시 쓰면
w = x - v
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그리고 양변에 v를 더하면
w + v = x
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그리고 양변에 v를 더하면
w + v = x
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v는 x를 V에 대해
투영한 벡터라고 정의했습니다
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v는 x를 V에 대해
투영한 벡터라고 정의했습니다
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w는 V의 직교여공간에
속한 벡터입니다
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여기서 헷갈리지 마세요
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벡터 v는 부분공간 V에 대한
벡터 x의 정사영입니다
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벡터 v는 부분공간 V에 대한
벡터 x의 정사영입니다
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다음에는 소문자 v
대문자 V 대신
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다른 알파벳을 써야겠어요
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비슷해서 헷갈리네요
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이번 수업에서는 직선 대신에
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다른 부분공간에 대한 정사영을
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그림으로 그려서
알아보았어요
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그리고 이전에 배운
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직선에 대한 정사영
즉 일차변환의 정의가
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방금 본 새로운 정의와
같다는 걸 배웠어요
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다음 수업에서는
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모든 임의의 부분공간에 대한 정사영이
일차변환이라는 걸 증명할 겁니다
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