Linear Alg: Visualizing a projection onto a plane

Ma teen veel ühe video kus võrdleme

vana ja uuemat projektsiooni definitsiooni.

Vana definitsioon projektsioon vektorist x sirgele L,

on vektor sirgel L, või

osa sirgest L, nagu näiteks x - see vektor,

miinus projektsioon x-ist sirgele L ja see on risti L suhtes.

Kujutis selles, kui meil on sirge L -

see on sirge L.

Ja siis on meil vektor x ja me projekteermime selle

sirgele L.

See on vektor x.

Projektsioon vektorist x sirgel L, mis on see siin,

on mingi vektor sirgel L.

Kui võtame erinevuse vektori x-i ja

selle vektori vahel, siis see on risti L suhtes.

See on mingi vektor L.

See on vanem definitsioon kui projekteerisime

vektorit sirgele.

Vektor L

võibolla on see seal.

Ja kui võtame erinevuse vektori x ja sirge L vahel,

siis vahevektor on risti kõige

suhtes, mis asub sirgel L.

Täpselt nii.

See on vahevektor.

Ja see on x - (projektsioon vektorist x sirgel L)

Ja muidugi see vektor siin.

Seda vektorit me defineerime.

See on vektori x projektsioon sirgel L.

Milline on alternatiivne meetod selle kirjapanekuks?

Milline on alternatiivne meetod selle kirjapanekuks?

Me võiksime kirjutada täpselt sama definitsiooni.

Me võiksime öelda, et see on vektor sirgel L

Seega võime öelda - las ma kirjutan selle teise värviga..

- et vektor v sirgel L sellisel viisil, et

see on x - v, õigus?

x - (projektsion sirgel L) on võrdne vektor W-ga ja

see on eraldiseisev kõigest sirgel L.

Sõna-sõnalt tähendab see, et

see on risti iga vektoriga, mis asub sirgel L.

Kirjutasin selle natukene erinevalt, selleasemel, et

jätta alles "projektsioon vektorist x sirgel L."

Ma ütlesin, et see on mingi vektor v sirgel L,

selliselt, et x - v on võrdne teise vektori w-ga, mis on omakorda

risti kõigega sirgel L.

Seda võib ka kirjutada nii, et

x = v + w.

Võime lihtsalt öelda, et vektori x projektsioon sirgel L on

unikaalne vektor sirgel L, nagu x = v + w,

kus w on unikaalne vektor - tähendab, saab olema

unikaalne vektor sirge L risttäiendist.

Õigus?

See on risti kõigega sirgel L.

See on L-i risttäiendi element.

See on L-i risttäiendi element.

See definitsioon sobib täielikult kokku meie

uue definitsiooniga.

Ja me võime seda laiendada eraldiseisva

ruumi suhtes, mitte lihtsalt sirgetel.

Las ma aitan seda ette kujutada.

Ütleme, et meil on tegemist R^3.

Ja R^3 sisaldab mingit ala.

ütleme, et see ala on tasapind.

Ma teen tasapinna, et oleks selge, et

me ei pea projekteerima lihtsalt sirgetele.

See on osaruum v.

Joonistan ristuva täiendi ka sellele.

Ütleme, et see näeb välja midagi sellelaadset.

Ütleme, et see näeb välja midagi sellelaadset.

Ütleme, et see on sirge.

Ja see ristub seal.

ja siis tuleb tagasi.

Ja loomulikult peab see ristuma 0-vektoriga.

See on ainus koht, kus ruum ja

ristuv täiend kattuvad.

Ja siis läheb selle alla ja sa pärast näed seda jälle.

Reaalselt ei oleks võimalik seda näha, sest

tasapind ulatub lõpmatusse igas suunas.

Aga loodan, et saite ideest aru.

See siin on v ristuv täiend, see sirge.

See siin on v ristuv täiend, see sirge.

Joonistame veel ühe eraldiseisva vektori selles punktist siin.

Ütleme, et meil on vektor, mis näeb välja selline.

Nimetame selle vektoriks x.

Meie uus definitsioon on, et x-i projektsioon osaruumil v on

võrdne unikaalse vektori v-ga.

See on vektor v.

See on osaruum v.

See unikaalne vektor v, on v liige, nii et x = v + w, kus

w on v risttäiendi unikaalne liige.

w on v risttäiendi unikaalne liige.

See on meie uus definitsioon.

Kui ütleme,et x on võrdne mõne v liikmega ja mõne

oma täiendi liikmetega - siis saame visuaalselt

seda siit lugeda ja aru saada.

Me võiks öelda, et see võrdub

selle vektoriga siin.

ja v täiendis

lisad selle talle juurde.

Ja kui nihitame selle siia, siis saame

siia selle vektori.

See siin on vektor v.

See siin on vektor v.

Ja see vektor, mis läheb tasapinnast välja,

on risti tasapinnaga, on vektor w.

Te näete, et kui võtame v + w, siis saame x.

Ja me näeme, et vektor v on osaruumi projektsioon..

See on vektor v, mis on vektori x

projektsioon osaruumile(tähistame seda suure V-ga)

Analoog varjudega kehtib siin.

Kujutame ette valgust tulemas ülevalt alla

otse osaruumi peale, peaegu ristuvalt meie alamruumiga,

siis projektsioon selle osaruumile on nagu

vari vektorist x.

Loodetavasti see aitab veidi paremini mõista seda.

Aga me üldistame seda.

Eelnevalt videos näitasin teile sirget.

See on tasapind.

Aga me üldistame selle ruumi osaks.

See on R3.

Võime üldistada seda iga R korral.

Ja see on kogu asja tuum.

Lihtne on kujutada seda ette siin, aga kui

dimensioonid kasvavad, siis pole see enam nii lihtne.

Veel üks asi-

Ma näitan teile, et uus definitsioon on

peaaegu et identne sellega, mida me tegime sirgete puhul.

See on identne sellepoolest, et projektsioon ruumiosast x,

on võrdne mõne unikaalse vektoriga V, niimoodi, et

x - (x-i projektsioon v-l) on risti

iga V liikmega.

See lause siin, ütleb et iga

vektor, mis on risti iga v liikme suhtes, kuulub v täiendisse.

vektor, mis on risti iga v liikme suhtes, kuulub v täiendisse.

Selle lause võib kirja panna kujul

x - (x-i porjeksioon v-l) kuulub v täiendisse.

x - (x-i porjeksioon v-l) kuulub v täiendisse.

Või võime võtta w.

Kui nimetame seda v-ks, ja seda

kõike w-ks, siis saame täpselt sama definitsiooni siin.

see oleks w = x - v.

viime w ja v ühele poole ja saame, et

w + v = x

Me defineerisime v kui x-i projektsioon v-l

Me defineerisime v kui x-i projektsioon v-l.

w kuulub risttäiendisse.

Ma ei soovi segadusse ajada teid.

Vektor v on ristprojektsion vektorist x alamruumile V.

Vektor v on ristprojektsion vektorist x alamruumile V.

Ilmselt peaksin kasutama erinevaid tähti selleasemel,

et kasutada suur- ja väiketähti,

sest praegu on võibolla keerulisem järge pidada.

Selles videos soovisin ma näidata teile

projekteerimist sirgetest

erinevatele ruumiosadele.

Ja veel soovisin teile näidata, et vanem definitsioon,

projektsiooniga sirgel, mis oli lineaarne teisendus.

On põhimõtteliselt võrdeline selle uue definitsiooniga.

Järgmises videos näitan teile, et

iga alamruum on, tõepoolest, lineaarne teisendus.