Linear Alg: Visualizing a projection onto a plane

Voy a hacer otro video donde comparamos definiciónes viejas y

nuevas de una proyección.

Nuestra definición vieja de una proyección a una línea, ele,

del vector, equis, es el vector en ele, o que es

un miembro del ele, tal que equis menos eso vector, menos la

proyección a ele de equis, es ortogonal a ele.

Entonces la visualización es, si ustedes tienen su línea así,

esa es su línea ele allí.

Y después tienen un otro vector equis que vamos a tomar la

proyección de ello a ele.

A fin de que es equis.

La proyección de equis a ele, esta cosa aquí,

va a ser un vector en ele.

Tal que cuando tomo la diferencia entre equis y eso vector,

va a ser ortogonal a ele.

Entonces vas a ser un vector en ele.

Esta cosa fue nuestra definición vieja cuando tomamos la proyección

a una línea.

Un vector en ele.

Quizás está allí.

Y si yo tomo la diferencia entre eso y eso,

este vector de diferenca va a ser ortogonal a

todo en ele.

Va a ser ortogonal a todo en ele.

Así.

Entonces, este vector aquí sería el vector de diferencia del vector.

Ello sería equis menos la proyección de equis a ele.

Y luego, por supesto, este vector aquí,

Este es el que estuvimos definiendo.

Eso fue la proyección a ele de equis.

Ahora, ¿qué es una manera diferente que

podríamos haber escrito este?

Podríamos haber escrito esta definición misma,

podriamos decir que es el vector en ele tal que --

voy a escribir en violeta

es el vector v en ele tal que v -- voy a escribirlo de esta manera

tal que x menos v, cierto?

x menos la projeccion de ele es ortogonal es igual a w,

que es ortogonal a todo en ele.

Ser ortogonal a ele literalmente significa

ser ortogonar a todo vector en l

asi que si reescribir en forma un poco diferente, en vez de

dejarlo como proyeccion de x en ele

dije hey, ese es un vector v, en ele tal que x

menos v es igual a otro vector, w que es ortogonal

a todo en el ele.

O puede reescribir esa afirmacion aqui como que x es

igual a v mas w.

Asi que puede decir que la proyeccion de x en ele es el

vector unico v en ele, tal que x es igual a v mas w,

donde w es un vector unico -- ele significa que va a ser

vector unico -- en el complemento orgonal de ele.

Correcto?

Este tiene que ser ortogonal a cualquier cosa en ele.

Por lo que va a ser un miembro de la ortogonal

complemento de ele.

Por lo que esta definición es en realidad completamente consistente con nuestra

definición del nuevo subespacio.

Y podemos sólo extenderlo a subespacios

arbitrarios, no sólo líneas.

Déjenme ayudarlos a visualizarlo.

Digamos que esatmos trabajando en R3 justo aquí.

Y tenemos algunos subespacios en R3.

Y digamos que los subespacios resultan ser un plano.

Voy a hacer un sólo un plano para que les quede claro

que no tenemos que tomar proyecciones sólo en las líneas.

Así que este es mi subespacio v justo acá.

Permítanme dibujar el complemento ortogonal.

Digamos que el complemento ortogonal se ve

algo como esto.

Digamos que es una línea.

Y luego va -- se intersercta justo allá.

Luego esta vueve.

Y, por su puesto. tiene que intersectar al vector 0.

Ese es el únoco lugar donde un subespacio y su complemento

ortogonal se superponen.

Y luego vienen por atrás y se ve denuevo.

Obviamente no podrán ser capaces denuevo, porque

este plano se extiende en todas las direcciones.

Pero ya tienen la idea.

Así que justo aquó esta el complemento

ortogonal de v, esa línea.

Ahora , acá podemos tener otro vercto arbitrario en R3.

Así que digamos que tenemos un vector que se ve de esta manera.

Digamos que ese es x.

Ahora nuestra nueva definición de una proyección de x en v es

igual a el único vertor v.

Este es un vector v.

Este es un subespacio v.

El único vector v, que es un miembro de v, tal como x es

igual a v más w, donde w es un único miembro de el

complemento ortogonal de v.

Esta es nuestra nueva definición.

Así que, si decimos x es igual a algún miembro de v y algún

miembro de su complemento ortogonal -- podemos visualizar

entenderlo acá.

Podemos decir, OK va a ser igual a , en v, va a ser

igual al vector de allí mismo.

Y entonces en el complemento ortogonal de v,

se lo añades.