-
교대급수판정법을 소개한 영상에서 사실
-
Σ(시그마) n=1 부터 무한대로 증가할 때
-
n 분의 (-1) 의 n+1 승이라는 무한급수를 사용하였습니다
-
교대급수판정법을 적용하기 위해
이 식을 예시로 사용하였고
-
이 식이 수렴한다는 것을 증명할 수 있었습니다
-
이 급수는
-
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4...로 무한히 이어집니다
-
그 영상에서 교대급수판정법을 사용하여
-
이 급수가 수렴한다는 것을 증명했었습니다
-
이 급수는 수렴하고요
-
교대급수판정법에 의해 수렴한다는 것을 알 수 있습니다
-
(깔끔하지 않아서 다시 쓰겠습니다)
-
교대급수판정법에 의해 수렴한다는 것을 알 수 있습니다
-
복습해보고 싶으면
교대급수판정법 영상을 다시 보시길 바랍니다
-
그러면 이번에는,
각 항에 절댓값을 취하면 어떻게 될지 생각해봅시다
-
각 항에 절댓값을 취한다면
-
Σ(시그마) n=1 부터 무한대로 증가할 때
-
n 분의 (-1) 의 n+1 승의 절댓값은
-
어떤 값이 될까요?
-
분자는 1 혹은 (-1) 이기 때문에 절댓값은 1이 될 것입니다
-
그리고 n=1 부터 무한대로 증가하기 때문에
분모는 항상 양의 값을 가지므로
-
이 무한급수는
-
Σ(시그마) n=1 부터 무한대로 증가할 때
-
1/n 의 값과 같은 값을 가지게 됩니다
-
이는 곧 조화급수에 해당합니다
-
조화급수는 발산하게 되는데, 제 말을 못 믿으시겠다면
-
칸 아카데미에서 그 증명 영상을 찾아 보시기 바랍니다
-
조화급수는
-
1 + 1/2 + 1/3 로 무한히 이어져 발산하게 됩니다
-
이렇게 급수가 수렴하지만
-
각 항에 절댓값을 취했을 때 그 값이 발산한다면
-
이 급수를 조건부로 수렴한다고 할 수 있습니다
-
이 식이 수렴한다고 할 수 있겠지만
-
조건부로 수렴한다고도 할 수 있습니다
-
그러면 이 조건은
-
각 항에 절댓값을 취하지 않는 것이라고 할 수 있겠죠
-
만약 절댓값을 취한 값도 수렴한다면
-
그 식은 절대적으로 수렴하는 것입니다
-
그러면 그러한 예시를 살펴봅시다
-
등비급수로 예를 들어 봅시다
-
(이 색을 너무 많이 사용한 것 같아서)
-
(다른 색을 사용하겠습니다)
-
예를 들어
-
Σ(시그마) n=1 에서 무한대로 증가할 때
-
(-1/2) 의 n+1 제곱인 무한급수라고 합시다
-
등비급수의 공비의 절댓값이 1 보다 작을 경우
-
그 급수는 수렴한다는 것을 알 수 있습니다
-
그러면 만약 각 항에 절댓값을 취한다고 한다면
-
(색깔을 골고루 사용하기 위해 색을 바꾸겠습니다)
-
만약 각 항에 절댓값을 취한다고 하면,
-
(-1/2) 의 n+1 제곱의 절댓값을 취한다면
-
이 식은 Σ(시그마) n=1 부터 무한대로 증가할 때
-
1/2의 n+1 제곱의 값과 같을 것입니다
-
이 급수 또한 공비의 절댓값이 1보다 작으므로
-
이전에 등비급수에서 배웠듯이
-
이 또한 수렴하게 됩니다
-
그러므로 각 항에 절댓값을 취했음에도 불구하고
-
여전히 수렴하게 되었습니다
-
즉 이 무한급수는 절대적으로 수렴한다고 할 수 있습니다
-
이미 수렴과 발산에 대해서는 많이 살펴 보았고
-
모두 참 좋았습니다
-
이 영상에서는 수렴 사이에서 존재하는
미묘한 차이를 보여주려고 하는 것입니다
-
즉 수렴할 수 있지만
-
각 항에 절댓값을 취했을 때에도 수렴할지
살펴 본 것입니다
-
만약 급수 자체는 수렴하지만
절댓값을 취했을 때 수렴하지 않는다면
-
조건부로 수렴한다고 할 수 있습니다
-
반면 급수 자체가 수렴하고
절댓값을 취했을 때에도 수렴한다면
-
절대적으로 수렴한다고 할 수 있습니다
-
왜냐하면 각 항에 절댓값을 취하게 되더라도
-
수렴하기 때문입니다
-
이 사실을 흥미롭게 생각하신다면 좋겠습니다
Khan Academy
