Решаване на нехомогенни диференциални уравнения: Метод на неопределените коефициенти (част 4)

Преди да приключим с метода
на неопределените коефициенти,

искам да ти покажа нещо интересно
и доста полезно.

Ако ми е дадено следното
нехомогенно

диференциално уравнение:
втората производна на Y

минус 3 по първата производна
минус 4Y равно на,

тук е интересната част,
на 3 по Е на степен 2Х

плюс 2 синус от Х
плюс...

нека са абсолютно същите,
които решихме в предните примери,

плюс 4 по Х на квадрат.

Може това да ти се стори

ужасно сложна задача.

Тук имаме 3 вида функции,
макар и познати вече,

те ще водят до толкова много
неопределени коефициенти,

че ще стане трудно за разплитане.

На този етап е нужно
да осъзнаеш нещо,

което ще опрости нещата.

Вече знаем трите конкретни решения
на следните диференциални уравнения:

Знаем решението на
втората производна

минус 3 по първата минус 4Y
равно на 0.

Това е хомогенното уравнение.

Знаем неговото решение:

вече го изведохме няколко пъти,
то е С1 по Е на степен 4Х

плюс С2 по Е на степен минус Х.

С друг цвят ще напиша
следващото, решено вече, уравнение:

Y секонд минус 3 по Y прайм
минус 4 Y равно

само на първия израз:
3 по Е на степен 2Х.

Видяхме, че конкретното решение
на това уравнение

е Y равно на
минус 1/2 по Е на степен 2Х.

Намерихме го по метода
на неопределените коефициенти

два-три урока по-рано.

Сега ще запиша тази част
още два пъти.

Знаем решението също
и на това уравнение:

конкретното му решение
също намерихме в един

от предишните уроци,
във втора част.

Тогава открихме, че
конкретното решение в този случай,

а намирането беше доста заплетено,
се оказа минус 5/17 Х плюс 3/17...

Моя грешка, изпуснах нещо.

Конкретното решение е
минус 5/17 по синус от Х

плюс 3/17 по косинус от Х.

И остана последното уравнение,
това с полинома.

Ето това е уравнението,

отдясно имаме само последния
израз.

Разбрахме, и това стана в предишното
видео,

че конкретното решение

в този случай е: -Х на квадрат плюс 3/2 Х
-13/8.

И така, знаем конкретните решения,
когато отдясно имаме:

само нула;

експоненциалния израз
3 по Е на степен 2Х;

тригонометричния
2 по синус от Х;

и когато отдясно е полиномът
4 Х на квадрат.

Най напред да видим,
че за конкретното решение

на нашето нехомогенно уравнение
можем да вземем сбора

от трите конкретни решения.

Това е логично, нали?

Защото, когато заместиш
лявата страна

с едно от тези конкретни решения,

тя ще е равна на един от изразите
отдясно.

Ако сложиш отляво
конкретното решение в зелено,

то ще е равно на този член,
2 по синус Х.

И накрая, за това конкретно решение

ще получиш 4 Х на квадрат.

Можем накрая да добавим
и решението на хомогенното уравнение.

Като го сложим от тази страна,
отдясно ще получим 0.

То няма да промени стойността
отдясно.

И така ще получим възможно
най-общото решение,

тъй като то съдържа
тези две константи,

които да решим
според началните условия.

И така, решението на това наглед сложно
диференциално уравнение

е просто сборът от тези
четири решения.

Ще разчистя малко място,

за да събера цялото решение.

Оставям само намерените решения
за справка.

Ще използвам светлосин цвят.

Решението на хомогенното уравнение:
С1 по Е на степен 4Х

плюс С2 по Е на степен -Х,
после добавям -1/2 Е на степен 2Х,

ще продължа на нов ред със зеленото,

минус 5/17 синус Х плюс 3/17 косинус Х,

накрая минус Х квадрат плюс 3/2 Х
минус 13/8.

Това изглежда страшно.

Вероятно така ти се е сторило
на пръв поглед.

Ако в началото ти бях казал,
че това е решението

и не то беше известен методът
на неопределените коефициенти,

можеше да си помислиш,
че никога няма да успееш

да стигнеш до такова решение.

Но важното е да осъзнаеш,
че просто трябва да намериш

конкретните решения
за всеки от тези членове

и да ги събереш.

След това да добавиш
общото решение

на хомогенното уравнение,
това е, когато отдясно

има нула.

Тогава ще имаш общото решение
на това доста заплашително изглеждащо

линейно нехомогенно
диференциално уравнение

от втори ред
с константни коефициенти.

Ще се видим в следващия урок,
където ще се запознаем

с още един метод за решаване
на нехомогенни уравнения.