0:00:00.000,0:00:00.950


0:00:00.950,0:00:03.790
Преди да приключим с метода[br]на неопределените коефициенти,

0:00:03.790,0:00:08.400
искам да ти покажа нещо интересно[br]и доста полезно.

0:00:08.400,0:00:11.170
Ако ми е дадено следното[br]нехомогенно

0:00:11.170,0:00:16.830
диференциално уравнение:[br]втората производна на Y

0:00:16.830,0:00:23.220
минус 3 по първата производна[br]минус 4Y равно на,

0:00:23.220,0:00:28.650
тук е интересната част,[br]на 3 по Е на степен 2Х

0:00:28.650,0:00:41.870
плюс 2 синус от Х[br]плюс...

0:00:41.870,0:00:43.780
нека са абсолютно същите,[br]които решихме в предните примери,

0:00:43.780,0:00:45.400
плюс 4 по Х на квадрат.

0:00:45.400,0:00:49.840


0:00:49.840,0:00:51.640
Може това да ти се стори

0:00:51.640,0:00:53.350
ужасно сложна задача.

0:00:53.350,0:00:56.730
Тук имаме 3 вида функции,[br]макар и познати вече,

0:00:56.730,0:00:59.180
те ще водят до толкова много[br]неопределени коефициенти,

0:00:59.180,0:01:01.020
че ще стане трудно за разплитане.

0:01:01.020,0:01:04.410
На този етап е нужно[br]да осъзнаеш нещо,

0:01:04.410,0:01:05.110
което ще опрости нещата.

0:01:05.110,0:01:09.400
Вече знаем трите конкретни решения[br]на следните диференциални уравнения:

0:01:09.410,0:01:13.870
Знаем решението на[br]втората производна

0:01:13.870,0:01:16.750
минус 3 по първата минус 4Y[br]равно на 0.

0:01:16.750,0:01:18.890
Това е хомогенното уравнение.

0:01:18.890,0:01:22.000
Знаем неговото решение:

0:01:22.000,0:01:28.865
вече го изведохме няколко пъти,[br]то е С1 по Е на степен 4Х

0:01:28.865,0:01:30.180
плюс С2 по Е на степен минус Х.

0:01:30.180,0:01:33.150
С друг цвят ще напиша[br]следващото, решено вече, уравнение:

0:01:33.150,0:01:39.820
Y секонд минус 3 по Y прайм[br]минус 4 Y равно

0:01:39.820,0:01:44.310
само на първия израз:[br]3 по Е на степен 2Х.

0:01:44.310,0:01:49.470
Видяхме, че конкретното решение[br]на това уравнение

0:01:49.470,0:01:53.920
е Y равно на[br]минус 1/2 по Е на степен 2Х.

0:01:53.920,0:01:56.600
Намерихме го по метода[br]на неопределените коефициенти

0:01:56.600,0:01:58.560
два-три урока по-рано.

0:01:58.560,0:02:03.070
Сега ще запиша тази част[br]още два пъти.

0:02:03.070,0:02:06.940
Знаем решението също[br]и на това уравнение:

0:02:06.940,0:02:09.130
конкретното му решение[br]също намерихме в един

0:02:09.130,0:02:11.160
от предишните уроци,[br]във втора част.

0:02:11.160,0:02:13.700
Тогава открихме, че[br]конкретното решение в този случай,

0:02:13.700,0:02:26.000
а намирането беше доста заплетено,[br]се оказа минус 5/17 Х плюс 3/17...

0:02:26.020,0:02:27.000
Моя грешка, изпуснах нещо.

0:02:27.000,0:02:37.250
Конкретното решение е[br]минус 5/17 по синус от Х

0:02:37.250,0:02:38.545
плюс 3/17 по косинус от Х.

0:02:38.545,0:02:43.910
И остана последното уравнение,[br]това с полинома.

0:02:43.910,0:02:46.430
Ето това е уравнението,

0:02:46.430,0:02:49.950


0:02:49.950,0:02:52.560
отдясно имаме само последния[br]израз.

0:02:52.560,0:02:56.040
Разбрахме, и това стана в предишното[br]видео,

0:02:56.040,0:02:58.460
че конкретното решение

0:02:58.460,0:03:08.240
в този случай е: -Х на квадрат плюс 3/2 Х[br]-13/8.

0:03:08.240,0:03:11.650
И така, знаем конкретните решения,[br]когато отдясно имаме:

0:03:11.650,0:03:12.240
само нула;

0:03:12.240,0:03:16.230
експоненциалния израз[br]3 по Е на степен 2Х;

0:03:16.230,0:03:18.820
тригонометричния[br]2 по синус от Х;

0:03:18.820,0:03:22.700
и когато отдясно е полиномът[br]4 Х на квадрат.

0:03:22.790,0:03:24.650
Най напред да видим,[br]че за конкретното решение

0:03:24.650,0:03:28.540
на нашето нехомогенно уравнение[br]можем да вземем сбора

0:03:28.540,0:03:30.330
от трите конкретни решения.

0:03:30.330,0:03:31.800
Това е логично, нали?

0:03:31.800,0:03:34.235
Защото, когато заместиш[br]лявата страна

0:03:34.235,0:03:35.710
с едно от тези конкретни решения,

0:03:35.710,0:03:37.480
тя ще е равна на един от изразите[br]отдясно.

0:03:37.480,0:03:39.640
Ако сложиш отляво[br]конкретното решение в зелено,

0:03:39.640,0:03:41.230
то ще е равно на този член,[br]2 по синус Х.

0:03:41.230,0:03:43.760
И накрая, за това конкретно решение

0:03:43.760,0:03:46.670
ще получиш 4 Х на квадрат.

0:03:46.670,0:03:50.250
Можем накрая да добавим[br]и решението на хомогенното уравнение.

0:03:50.250,0:03:53.020
Като го сложим от тази страна,[br]отдясно ще получим 0.

0:03:53.020,0:03:55.160
То няма да промени стойността[br]отдясно.

0:03:55.160,0:03:57.900
И така ще получим възможно[br]най-общото решение,

0:03:57.900,0:04:00.260
тъй като то съдържа[br]тези две константи,

0:04:00.260,0:04:02.180
които да решим[br]според началните условия.

0:04:02.180,0:04:08.890
И така, решението на това наглед сложно[br]диференциално уравнение

0:04:08.890,0:04:13.980
е просто сборът от тези[br]четири решения.

0:04:13.980,0:04:17.209
Ще разчистя малко място,

0:04:17.209,0:04:20.410
за да събера цялото решение.

0:04:20.410,0:04:28.400
Оставям само намерените решения[br]за справка.

0:04:28.480,0:04:30.680


0:04:30.680,0:04:33.210
Ще използвам светлосин цвят.

0:04:33.210,0:04:39.400
Решението на хомогенното уравнение:[br]С1 по Е на степен 4Х

0:04:39.400,0:04:47.580
плюс С2 по Е на степен -Х,[br]после добавям -1/2 Е на степен 2Х,

0:04:47.580,0:04:49.220
ще продължа на нов ред със зеленото,

0:04:49.220,0:05:01.670
минус 5/17 синус Х плюс 3/17 косинус Х,

0:05:01.670,0:05:08.030
накрая минус Х квадрат плюс 3/2 Х[br]минус 13/8.

0:05:08.030,0:05:09.140
Това изглежда страшно.

0:05:09.140,0:05:11.170
Вероятно така ти се е сторило[br]на пръв поглед.

0:05:11.170,0:05:13.030
Ако в началото ти бях казал,[br]че това е решението

0:05:13.030,0:05:15.400
и не то беше известен методът[br]на неопределените коефициенти,

0:05:15.400,0:05:16.740
можеше да си помислиш,[br]че никога няма да успееш

0:05:16.740,0:05:17.690
да стигнеш до такова решение.

0:05:17.690,0:05:20.930
Но важното е да осъзнаеш,[br]че просто трябва да намериш

0:05:20.930,0:05:24.420
конкретните решения[br]за всеки от тези членове

0:05:24.420,0:05:25.170
и да ги събереш.

0:05:25.170,0:05:27.170
След това да добавиш[br]общото решение

0:05:27.170,0:05:29.255
на хомогенното уравнение,[br]това е, когато отдясно

0:05:29.255,0:05:30.130
има нула.

0:05:30.130,0:05:35.410
Тогава ще имаш общото решение[br]на това доста заплашително изглеждащо

0:05:35.410,0:05:42.860
линейно нехомогенно[br]диференциално уравнение

0:05:42.860,0:05:46.940
от втори ред[br]с константни коефициенти.

0:05:46.940,0:05:49.610
Ще се видим в следващия урок,[br]където ще се запознаем

0:05:49.610,0:05:53.460
с още един метод за решаване[br]на нехомогенни уравнения.

0:05:53.460,0:05:53.900