Mean value theorem for integrals

평균값의 정리에 관한 많은 강의가 있지만,

이번에 다시 복습해서

이 정리가 저희가 미분학에서 배운것과는

어떻게 연관되는지 보려고 합니다

그 정리가 정적분을 이용해 함수의

평균을 구하는 것과 연관시켜봅시다

평균값 정리는, f가 연속이고,

닫힌 구간에서 연속인,

a에서 b까지 끝점을 포함하는 구간을 말합니다

그리고 미분가능한, 미분 가능한

그러니까 도함수가 열린구간 a에서 b까지

정의되어 있을때, 그러니까

양 끝 구간에서는 정의되지 않아도 됩니다

양 끝 점에서의 미분가능성은

사이 구간에서 미분 가능하다면 상관 없습니다

그렇다면

어떤 값, 어떤 숫자가 존재하여,

구간에 존재하는 숫자,

이 구간에 존재하는c를

저희는 잡을 수 있습니다

a와 b 사이의 c를

그리고, 이게 핵심입니다

이 정리의 핵심은, 도함수가,

점 c에서의 도함수가,

여기서 c에서의 도함수를

c에서의 접선의 기울기라고 할 수 있습니다

접선의 기울기가 구간에서의

평균 기울기와 같도록 c를 잡을 수 있다

양 끝 점의 기울기라고도 볼 수 있습니다

그러므로, 양 끝 점의 기울기는

y의 값의 변화, 함수값의 변화인

f(b) 빼기 f(a)를 b 빼기 a로 나눈 것입니다

그리고 다시 깊이있게 본다면

이것을 미분학의 첫시간에 했지만

쉽게 보기 위해서 다시

그림을 그려보겠습니다

미분학에서 배운

평균값 정리는 다음을 알려줍니다

이게 a고, 이게 b일때,

흥미로운 점이 있다

이게 f(a), 이게 f(b)일때,

이곳의 값

함수값의 변화를 나누려면

여기 이곳이 f(b)입니다

f(b) 빼기 f(a)는 함수의 변화량, x축의 변화로 나누면

y의 변화량 나누기 x의 변화량입니다

이게 기울기, 여기 이것이 바로 기울기입니다

이 두점을 잇는 선분의 기울기는

평균값정리에 의하면

a와 b사이의 구간에 있는 점 c에서의

기울기와 똑같다고 말할 수 있습니다

적어도 한 점이 있으므로, 같은 기울기인 여기겠네요

값 c가 존재하여, 접선의 기울기가 같을 것입니다

c는 여기 있겠네요

그리고 여러 개의 c가 존재할 수 있습니다

여기 또다른 c 후보가 있습니다

적어도 한 c가 존재하여, 접선의 기울기가

구간 전체에서의 평균 기울기와 같음을 알 수 있습니다

f가 연속이고, 미분가능할 때만 확신할 수 있습니다

그리고, 평균값 정리와 비슷한 것을 봤다는

생각이 들 것입니다

바로 함수의 평균을 정의할 때일 것입니다

기억할 것은, 함수의 평균을 정의할 때

함수의 평균은 1/(b-a)

1/(b-a)가 분모에 있고,

곱하기 a에서 b까지 f(x)의 정적분입니다

흥미롭게도, 여긴 도함수, 여긴 적분이 있습니다

어쩌면 이 두 식을 연관지을 수 있을 것입니다

한 가지 들 수 있는 생각은, 다시 쓰면

분자를 이 형태로 다시 쓸 수 있습니다

영상을 잠깐 멈추시고, 찾을 수 있다면,

엄청난 힌트를 드리겠습니다

f(x)대신, f'(x)가 여기 왔다면 어떻게 될까요?

그러니, 다시 한 번 시도해보시길 바랍니다

이 모든 것을 다시 써보겠습니다

여기 이 식은 a부터 b까지의

f'(x)의 정적분과 같을 것입니다

생각해봅시다

f'(x)의 원함수를 잡으면, f(x)가 되겠죠

b에서의 값은, f(b)

여기서 f(a)를 뺍니다

이 두개가 동일합니다

그리고, 이것을

b-a로 나눕니다

이제 조금 흥미로워졌습니다

한가지로는, c가 무조건 있어야 합니다

평균값을 가지는 c가 있어야 합니다

c가 존재하여, c에서의 도함수를

계산하면, 도함수의 평균 꼴이 나와야 합니다

아니면, 직접 써보면

g(x)를 f'(x)로 잡아보면

여기 이 식과 매우 비슷한게 나옵니다

이 값이 g(c)가 되고, f'(c)가 g(c)입니다,

이는 1/(b-a)

1/(b-a), 그러니까 c가 존재하여, g(c)가 1/(b-a) 곱하기

a에서 b까지 g(x)의 정적분을 만족합니다

f'(x)이 g(x)입니다

다른 방법으로 생각해보면, 이건 사실

평균값 정리의 다른 형태인데, 적분을 이용한

평균값 정리입니다

적분을 이용한 평균값 정리

이게 평균이고, 앞글자만 쓰겠습니다

적분을 이용한 평균값 정리입니다

그리고, 더 정형화된 꼴을 쓰자면,

함수 g가 있을때

만약 g가, 더 깊은 내용으로 들어가면

g(x)가 연속, 닫힌 구간에서 연속이라면

a에서 b까지의 구간, 그러면 c가 존재하여

g(c)가, 뭐랑 같나요?

함수의 평균과 같음을 만족합니다

c가 존재하여 g(c)가 적분의

평균과 같아집니다

이게 함수의 평균값의 정의였습니다

그러니까, 이 방법은

적분을 이용한 평균값 정리를 알려주고

다른 방법으로 표기하는 것과

밀접한 관련이 있다는 것을 알려줍니다

하지만 보통은, 결국엔 미분학에서 배운

평균값 정리와 똑같은 개념입니다

표기 방법이 다를 뿐입니다

그리고 살짝 다르게 쓸 수도 있습니다

미분학에서 생각하고 있었습니다

어떤 점에서, 접선의 기울기가

평균 증가량과 같을 때를 생각했었습니다

여기서 미분적인 방법이었고, 저희는

기울기와, 접선의 기울기에 집중했습니다

이제 적분 방법은, 더 평균값과,

함수의 평균값에 집중합니다

어떤 c가 존재하여, c가 존재하여

그 점에서의 함수값이 평균값과 같다

다른 말로,

만약 그려야 한다면,

g(x)를 그려야 한다면,

이게 x고, 이게 y축이 됩니다

이것은 y는 g(x)의 그래프입니다

이는 f'(x)와 같은 것이었죠

방금 저희는

평균값에 맞게 다시 썼습니다

그리고 구간 a에서 b에서 말하고 있습니다

평균값을 계산하는 방법은 이미 압니다

이미 평균값을 계산하는 방법을 아므로, 아마도

평균값은, 여기가 g의 평균일 것입니다

따라서 평균값은 이것입니다

적분을 이용한 평균값정리는 구간안에

c가 존재하여 평균값과 똑같은

함수값을 가져야 함을 말합니다