WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.440
평균값의 정리에 관한 많은 강의가 있지만,

00:00:03.680 --> 00:00:06.962
이번에 다시 복습해서

00:00:06.962 --> 00:00:10.363
이 정리가 저희가 미분학에서 배운것과는

00:00:10.363 --> 00:00:13.566
어떻게 연관되는지 보려고 합니다

00:00:13.566 --> 00:00:15.970
그 정리가 정적분을 이용해 함수의

00:00:15.970 --> 00:00:18.357
평균을 구하는 것과 연관시켜봅시다

00:00:18.357 --> 00:00:22.116
평균값 정리는, f가 연속이고,

00:00:22.116 --> 00:00:28.630
닫힌 구간에서 연속인,

00:00:28.630 --> 00:00:31.731
a에서 b까지 끝점을 포함하는 구간을 말합니다

00:00:31.731 --> 00:00:35.296
그리고 미분가능한, 미분 가능한

00:00:35.296 --> 00:00:37.810
그러니까 도함수가 열린구간 a에서 b까지

00:00:37.810 --> 00:00:40.231
정의되어 있을때, 그러니까

00:00:40.231 --> 00:00:43.571
양 끝 구간에서는 정의되지 않아도 됩니다

00:00:43.571 --> 00:00:46.290
양 끝 점에서의 미분가능성은

00:00:46.290 --> 00:00:48.484
사이 구간에서 미분 가능하다면 상관 없습니다

00:00:48.484 --> 00:00:50.049
그렇다면

00:00:50.049 --> 00:00:53.625
어떤 값, 어떤 숫자가 존재하여,

00:00:53.625 --> 00:00:57.452
구간에 존재하는 숫자,

00:00:57.452 --> 00:01:06.382
이 구간에 존재하는c를

00:01:06.382 --> 00:01:11.927
저희는 잡을 수 있습니다

00:01:11.927 --> 00:01:17.199
a와 b 사이의 c를

00:01:17.199 --> 00:01:22.744
그리고, 이게 핵심입니다

00:01:22.744 --> 00:01:25.757
이 정리의 핵심은, 도함수가,

00:01:25.757 --> 00:01:28.311
점 c에서의 도함수가,

00:01:28.311 --> 00:01:31.434
여기서 c에서의 도함수를

00:01:31.434 --> 00:01:33.556
c에서의 접선의 기울기라고 할 수 있습니다

00:01:33.556 --> 00:01:36.943
접선의 기울기가 구간에서의

00:01:36.943 --> 00:01:39.903
평균 기울기와 같도록 c를 잡을 수 있다

00:01:39.903 --> 00:01:42.886
양 끝 점의 기울기라고도 볼 수 있습니다

00:01:42.886 --> 00:01:45.510
그러므로, 양 끝 점의 기울기는

00:01:45.510 --> 00:01:49.285
y의 값의 변화, 함수값의 변화인

00:01:49.285 --> 00:01:54.716
f(b) 빼기 f(a)를 b 빼기 a로 나눈 것입니다

00:01:54.716 --> 00:02:00.411
그리고 다시 깊이있게 본다면

00:02:00.411 --> 00:02:03.110
이것을 미분학의 첫시간에 했지만

00:02:03.110 --> 00:02:05.371
쉽게 보기 위해서 다시

00:02:05.371 --> 00:02:07.978
그림을 그려보겠습니다

00:02:07.978 --> 00:02:09.832
미분학에서 배운

00:02:09.832 --> 00:02:12.170
평균값 정리는 다음을 알려줍니다

00:02:12.170 --> 00:02:15.472
이게 a고, 이게 b일때,

00:02:15.472 --> 00:02:18.824
흥미로운 점이 있다

00:02:18.824 --> 00:02:23.373
이게 f(a), 이게 f(b)일때,

00:02:23.373 --> 00:02:25.718
이곳의 값

00:02:25.718 --> 00:02:27.971
함수값의 변화를 나누려면

00:02:27.971 --> 00:02:30.531
여기 이곳이 f(b)입니다

00:02:30.531 --> 00:02:33.806
f(b) 빼기 f(a)는 함수의 변화량, x축의 변화로 나누면

00:02:33.806 --> 00:02:38.614
y의 변화량 나누기 x의 변화량입니다

00:02:38.614 --> 00:02:42.676
이게 기울기, 여기 이것이 바로 기울기입니다

00:02:42.676 --> 00:02:47.884
이 두점을 잇는 선분의 기울기는

00:02:47.884 --> 00:02:51.005
평균값정리에 의하면

00:02:51.005 --> 00:02:53.986
a와 b사이의 구간에 있는 점 c에서의

00:02:53.986 --> 00:02:56.951
기울기와 똑같다고 말할 수 있습니다

00:02:56.951 --> 00:03:00.924
적어도 한 점이 있으므로, 같은 기울기인 여기겠네요

00:03:00.924 --> 00:03:04.865
값 c가 존재하여, 접선의 기울기가 같을 것입니다

00:03:04.865 --> 00:03:07.949
c는 여기 있겠네요

00:03:07.949 --> 00:03:10.332
그리고 여러 개의 c가 존재할 수 있습니다

00:03:10.332 --> 00:03:12.224
여기 또다른 c 후보가 있습니다

00:03:12.224 --> 00:03:14.188
적어도 한 c가 존재하여, 접선의 기울기가

00:03:14.188 --> 00:03:17.658
구간 전체에서의 평균 기울기와 같음을 알 수 있습니다

00:03:17.658 --> 00:03:21.069
f가 연속이고, 미분가능할 때만 확신할 수 있습니다

00:03:21.069 --> 00:03:24.323
그리고, 평균값 정리와 비슷한 것을 봤다는

00:03:24.323 --> 00:03:27.588
생각이 들 것입니다

00:03:27.588 --> 00:03:30.803
바로 함수의 평균을 정의할 때일 것입니다

00:03:30.803 --> 00:03:34.116
기억할 것은, 함수의 평균을 정의할 때

00:03:34.116 --> 00:03:36.391
함수의 평균은 1/(b-a)

00:03:36.391 --> 00:03:43.573
1/(b-a)가 분모에 있고,

00:03:43.573 --> 00:03:48.692
곱하기 a에서 b까지 f(x)의 정적분입니다

00:03:48.692 --> 00:03:59.823
흥미롭게도, 여긴 도함수, 여긴 적분이 있습니다

00:03:59.823 --> 00:04:06.205
어쩌면 이 두 식을 연관지을 수 있을 것입니다

00:04:06.205 --> 00:04:10.272
한 가지 들 수 있는 생각은, 다시 쓰면

00:04:10.272 --> 00:04:16.679
분자를 이 형태로 다시 쓸 수 있습니다

00:04:16.679 --> 00:04:19.598
영상을 잠깐 멈추시고, 찾을 수 있다면,

00:04:19.598 --> 00:04:22.377
엄청난 힌트를 드리겠습니다

00:04:22.377 --> 00:04:25.848
f(x)대신, f'(x)가 여기 왔다면 어떻게 될까요?

00:04:25.848 --> 00:04:28.884
그러니, 다시 한 번 시도해보시길 바랍니다

00:04:28.884 --> 00:04:31.213
이 모든 것을 다시 써보겠습니다

00:04:31.213 --> 00:04:35.673
여기 이 식은 a부터 b까지의

00:04:35.673 --> 00:04:40.493
f'(x)의 정적분과 같을 것입니다

00:04:40.493 --> 00:04:41.289
생각해봅시다

00:04:41.289 --> 00:04:44.490
f'(x)의 원함수를 잡으면, f(x)가 되겠죠

00:04:44.490 --> 00:04:47.056
b에서의 값은, f(b)

00:04:47.056 --> 00:04:51.236
여기서 f(a)를 뺍니다

00:04:51.236 --> 00:04:53.251
이 두개가 동일합니다

00:04:53.251 --> 00:04:55.571
그리고, 이것을

00:04:55.571 --> 00:05:00.371
b-a로 나눕니다

00:05:00.371 --> 00:05:03.131
이제 조금 흥미로워졌습니다

00:05:03.131 --> 00:05:07.324
한가지로는, c가 무조건 있어야 합니다

00:05:07.324 --> 00:05:12.582
평균값을 가지는 c가 있어야 합니다

00:05:12.582 --> 00:05:16.537
c가 존재하여, c에서의 도함수를

00:05:16.537 --> 00:05:21.004
계산하면, 도함수의 평균 꼴이 나와야 합니다

00:05:21.004 --> 00:05:24.881
아니면, 직접 써보면

00:05:24.881 --> 00:05:31.131
g(x)를 f'(x)로 잡아보면

00:05:31.131 --> 00:05:34.870
여기 이 식과 매우 비슷한게 나옵니다

00:05:34.870 --> 00:05:40.524
이 값이 g(c)가 되고, f'(c)가 g(c)입니다,

00:05:40.524 --> 00:05:44.992
이는 1/(b-a)

00:05:44.992 --> 00:05:53.999
1/(b-a), 그러니까 c가 존재하여, g(c)가 1/(b-a) 곱하기

00:05:53.999 --> 00:06:00.641
a에서 b까지 g(x)의 정적분을 만족합니다

00:06:00.641 --> 00:06:03.031
f'(x)이 g(x)입니다

00:06:03.031 --> 00:06:05.347
다른 방법으로 생각해보면, 이건 사실

00:06:05.347 --> 00:06:08.262
평균값 정리의 다른 형태인데, 적분을 이용한

00:06:08.262 --> 00:06:10.132
평균값 정리입니다

00:06:10.132 --> 00:06:11.993
적분을 이용한 평균값 정리

00:06:11.993 --> 00:06:15.570
이게 평균이고, 앞글자만 쓰겠습니다

00:06:15.570 --> 00:06:20.677
적분을 이용한 평균값 정리입니다

00:06:20.677 --> 00:06:25.546
그리고, 더 정형화된 꼴을 쓰자면,

00:06:25.546 --> 00:06:28.601
함수 g가 있을때

00:06:28.601 --> 00:06:33.319
만약 g가, 더 깊은 내용으로 들어가면

00:06:33.319 --> 00:06:38.270
g(x)가 연속, 닫힌 구간에서 연속이라면

00:06:38.270 --> 00:06:40.821
a에서 b까지의 구간, 그러면 c가 존재하여

00:06:40.821 --> 00:06:58.447
g(c)가, 뭐랑 같나요?

00:06:58.447 --> 00:07:02.160
함수의 평균과 같음을 만족합니다

00:07:02.160 --> 00:07:07.405
c가 존재하여 g(c)가 적분의

00:07:07.405 --> 00:07:11.461
평균과 같아집니다

00:07:11.461 --> 00:07:14.407
이게 함수의 평균값의 정의였습니다

00:07:14.407 --> 00:07:16.738
그러니까, 이 방법은

00:07:16.738 --> 00:07:19.685
적분을 이용한 평균값 정리를 알려주고

00:07:19.685 --> 00:07:22.291
다른 방법으로 표기하는 것과

00:07:22.291 --> 00:07:25.003
밀접한 관련이 있다는 것을 알려줍니다

00:07:25.003 --> 00:07:27.385
하지만 보통은, 결국엔 미분학에서 배운

00:07:27.385 --> 00:07:30.744
평균값 정리와 똑같은 개념입니다

00:07:30.744 --> 00:07:32.507
표기 방법이 다를 뿐입니다

00:07:32.507 --> 00:07:34.713
그리고 살짝 다르게 쓸 수도 있습니다

00:07:34.713 --> 00:07:38.095
미분학에서 생각하고 있었습니다

00:07:38.095 --> 00:07:40.848
어떤 점에서, 접선의 기울기가

00:07:40.848 --> 00:07:44.221
평균 증가량과 같을 때를 생각했었습니다

00:07:44.221 --> 00:07:46.888
여기서 미분적인 방법이었고, 저희는

00:07:46.888 --> 00:07:49.727
기울기와, 접선의 기울기에 집중했습니다

00:07:49.727 --> 00:07:53.670
이제 적분 방법은, 더 평균값과,

00:07:53.670 --> 00:07:56.530
함수의 평균값에 집중합니다

00:07:56.530 --> 00:07:59.008
어떤 c가 존재하여, c가 존재하여

00:07:59.008 --> 00:08:02.091
그 점에서의 함수값이 평균값과 같다

00:08:02.091 --> 00:08:05.625
다른 말로,

00:08:05.625 --> 00:08:07.920
만약 그려야 한다면,

00:08:07.920 --> 00:08:14.293
g(x)를 그려야 한다면,

00:08:14.293 --> 00:08:20.190
이게 x고, 이게 y축이 됩니다

00:08:20.190 --> 00:08:25.570
이것은 y는 g(x)의 그래프입니다

00:08:25.570 --> 00:08:27.701
이는 f'(x)와 같은 것이었죠

00:08:27.701 --> 00:08:32.150
방금 저희는

00:08:32.150 --> 00:08:34.766
평균값에 맞게 다시 썼습니다

00:08:34.766 --> 00:08:37.993
그리고 구간 a에서 b에서 말하고 있습니다

00:08:37.993 --> 00:08:40.213
평균값을 계산하는 방법은 이미 압니다

00:08:40.213 --> 00:08:43.654
이미 평균값을 계산하는 방법을 아므로, 아마도

00:08:43.654 --> 00:08:47.906
평균값은, 여기가 g의 평균일 것입니다

00:08:47.906 --> 00:08:49.207
따라서 평균값은 이것입니다

00:08:49.207 --> 00:08:52.003
적분을 이용한 평균값정리는 구간안에

00:08:52.003 --> 00:08:59.271
c가 존재하여 평균값과 똑같은

00:08:59.271 --> 00:09:06.062
함수값을 가져야 함을 말합니다