Arean av ett parallellogram

Visar att arean av ett parallellogram är basen gånger höjden

Vi vet att fyrhörningen ABCD här

är ett parallellogram

Och vad jag vill prata om i den här videon är

en generell metod för att hitta arean av ett parallellogram

I förra videon pratade vi om ett särskilt sätt att hitta

arean av en romb

Du kunde ta halva produkten av diagonalerna

En romb är ett parallellogram

Men du kan inte bara generellt ta

hälften av produkten av diagonalerna för alla parallellogram

Det fungerar bara för en romb

Så nu ska vi prata om parallellogram

Vad vet vi om parallellogram?

Vi vet att motstående sidor är parallella

Den sidan är parallell med den här

Och den här sidan är parallell med den sidan

Och vi vet också att motstående sidor är kongruenta

Så den här längden är samma som den här längden

Och den här längden är lika med den här längden

Om vi ritar en diagonal

Jag ritar diagonalen AC

Vi kan dela vårt parallellogram i två trianglar

Och vi har visat flera gånger att dessa två trianglar är kongruenta

Men vi kan göra det ganska enkelt

AD är uppenbarligen lika med BD

DC är lika med AB

Och båda trianglarna delar den tredje sidan här

De delar båda på AC

Så vi kan säga att triangeln

(Låt mig skriva det i gult)

Vi kan säga att triangeln ADC

ADC är kongruent med triangeln

(Låt mig göra det rätt)

Den kommer att vara kongruent med triangeln

Så det är ADC

Så jag gick längs med den här dubbel-lila sidan

sedan den rosa

och sedan gick jag längs den sista

Så jag tänker säga CBA

För jag gick längs den dubbel-lila, sedan den rosa, sedan den sista

Triangel CBA

Och detta är sida-sida-sida-kongruens

Alla tre sidor

De har tre motsvarande sidor som är kongruenta med varandra

Så trianglarna är kongruenta med varandra

Och vad det säger oss

är att areorna av de här två trianglarna

kommer att vara lika

Så om jag vill hitta arean

Arean av [ABCD], hela parallellogrammet

Den kommer att vara lika med arean av

(låt mig skriva det här)

Den är lika med arean av [ADC]

plus arean av [CBA]

Men arean av [CBA] är samma sak som arean av [ADC]

För att de är kongruenta

med sida-sida-sida

Så det här kommer att vara 2 gånger arean av triangeln [ADC]

Vilket är praktiskt för oss för vi vet hur man hittar arean av en triangel

Arean av en triangel är hälften av basen gånger höjden

Så det är hälften av basen gånger höjden av den här trianglen

Och vi har basen av ADC

Det är den här längden

Det är DC

Du kan se det som basen av hela parallellogrammet

Och om vi vill räkna ut höjden kan vi rita en höjd så här

Den här är rätvinklig

Vi kan kalla den för höjden

Så om du vill ha totala arean av parallellogram [ABCD]

är den lika med 2 gånger hälften av basen gånger höjden

2 gånger hälften är 1

Så du har bara kvar basen gånger höjden

Så vi kan kalla den här för b

Så det är b gånger den här höjden

Basen gånger höjden

Så det är ett trevligt resultat

Och du kanske hade gissat att det skulle bli så

Men om du vill hitta arean av ett parallellogram

och om du kan lista ut höjden

Så behöver du bara ta en av baserna

(för båda baserna är lika)

(motstående sidor är lika)

(så det kan vara antingen den sidan eller den här)

gånger höjden

Så det är ett sätt du kan hitta arean

Eller så kan du tänka på det som

Om jag vänder på parallellogrammet så det ser ut så här

Om jag roterar det så här

och ställer det på den här sidan

Så det här är hörnet

(Låt mig rita hörnen)

Det här är hörn A

Det här är hörn D

Det här är hörn C

Det här är hörn B

Du kan också göra på det här sättet

Du kan säga att det är

(inte en halv, det skulle vara för en triangel)

Arean av det här skulle vara basen gånger höjden

Så då kan säga att det är h gånger DC

Du kan säga att det är lika med h gånger längden DC

Det är ett sätt att göra det

Det är den här basen gånger den här höjden

Eller så kan du säga att

Det är lika med AD gånger

(jag kallar den här höjden för h2)

gånger h2

Kanske jag ska kalla den här för h1

h1 och h2

Så du kan ta den här basen gånger den här höjden

Eller så kan du ta den här basen gånger den här höjden

Det här är h2

I vilket fall

Om någon skulle ge dig ett parallellogram

(bara för att förtydliga)

Du behöver något sätt att lista ut höjden

Så någon ger dig ett sådant här parallellogram

och de säger att det är ett parallellogram

Om de säger att den här längden är 5

Och att det här avståndet är 6

så skulle arean av det här parallellogrammet vara 5 gånger 6

Jag ritade höjden utanför parallellogrammet

Jag hade lika gärna kunnat rita den här

Det skulle också vara 6

Så arean av det här parallellogrammet skulle vara 30