Geometric series as a function | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
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0:01 - 0:02我们这里有一个函数，
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0:02 - 0:05它是无穷级数。
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0:05 - 0:07我在这个视频中想做的是
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0:07 - 0:10看一看我们能否用一个更传统的形式表达。
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0:10 - 0:12所以可能让你突然想到的是
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0:12 - 0:15如果它是几何级数，
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0:15 - 0:19我们知道怎么取无穷几何级数的和，
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0:19 - 0:22至少在x值上，这个东西
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0:22 - 0:23实际上会收敛。
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0:23 - 0:26那么让我们首先看看它是不是一个几何级数。
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0:26 - 0:29几何级数很明显的模式是
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0:29 - 0:31当你从一项到另一项时，
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0:31 - 0:33你乘的是一个共同的比例。
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0:33 - 0:34那么让我们看一看。
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0:34 - 0:36从2到-8x的平方，
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0:36 - 0:38你要乘以什么？
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0:38 - 0:43我们得乘以-4x的平方。
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0:43 - 0:46那么我们已经乘以-4x的平方。
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0:46 - 0:48现在，我们要乘以一样的
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0:48 - 0:50以得到32x的四次方吗？
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0:50 - 0:51当然。
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0:51 - 0:53-4x的平方乘以-8x的平方
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0:53 - 0:56等于正的32x的四次方。
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0:56 - 0:58再一次乘以-4x的平方，
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0:58 - 1:01你会得到-128x的6次方。
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1:01 - 1:02那么共同的比例是-4x平方，
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1:02 - 1:07我们第一个项是2，那么可以重写它。
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1:07 - 1:13我们可以把f(x)重写成等于从n=0
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1:13 - 1:17到无穷的和，
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1:17 - 1:24我们的第一项是2--2乘以-4x
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1:24 - 1:30平方的n平方。
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1:30 - 1:33这个是一个几何级数，
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1:33 - 1:36而它的共同比例是-4x的平方的n次方。
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1:36 - 1:39现在，这里的这个东西什么时候收敛？
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1:39 - 1:42我们知道如果几何级数
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1:42 - 1:46的共同比例的绝对值小于1，
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1:46 - 1:49那么它会收敛。
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1:49 - 1:50那么让我写下来。
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1:50 - 1:58那么如果-4x的平方的绝对值
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1:58 - 2:01小于1的话，会收敛。
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2:01 - 2:03那么，现在写它的方法
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2:03 - 2:05是一个负值。
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2:05 - 2:12所以它的绝对值等于4x平方。
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2:12 - 2:12对不对？
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2:17 - 2:21x的平方是非负的，
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2:21 - 2:23那么4x的平方是非负的。
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2:23 - 2:27-4x的平方非正。
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2:27 - 2:30那么如果你取的是一个非正的绝对值，
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2:30 - 2:33它和负的绝对值
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2:33 - 2:35是一样的。
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2:35 - 2:38那么它得小于1。
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2:38 - 2:40一样东西的绝对值，
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2:40 - 2:42是像这样的非负，
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2:42 - 2:45好的，它就等于4x的平方--
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2:45 - 2:46这两句话是一样的--
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2:46 - 2:49而它得小于1。
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2:49 - 2:55可以两边都除4，你得到x平方小于1/4。
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2:55 - 3:01那么我们可以说x的绝对值
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3:01 - 3:08得小于1/4，或者我们可以说-1/4
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3:08 - 3:12要小于x，也及时要小于1/4。
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3:12 - 3:14那么以这种方法表达，我们有了
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3:14 - 3:16收敛区间。
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3:16 - 3:19只要x在区间里面这个东西会收敛。
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3:19 - 3:21以这种方式表达，我们指的是
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3:21 - 3:22收敛的半径。
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3:22 - 3:25只要x比我们的收敛半径小，
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3:25 - 3:28它就会收敛。
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3:28 - 3:30只要x的绝对值
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3:30 - 3:34小于收敛半径，
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3:34 - 3:39只要x离0小于1/4。
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3:39 - 3:40为了让它更清楚，
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3:40 - 3:43你可以把它重新写成在x和0之间的距离，
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3:43 - 3:45只要这个--你可以把它看成
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3:45 - 3:46x和0之间的距离--
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3:46 - 3:49只要它保持小于1/4，
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3:49 - 3:50这个东西就会收敛。
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3:50 - 3:53那么这个是收敛区间，这个，
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3:53 - 3:54你可以把1/4看成
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3:54 - 3:56收敛半径。
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3:56 - 3:57现在随着那个，
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3:57 - 3:59我们已经思考过了它哪里收敛，
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3:59 - 4:01让我们想一想它收敛到什么。
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4:01 - 4:03那么，我们已经做了好几次。
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4:03 - 4:08它将会等于我们的第一项，2/1
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4:08 - 4:10减去我们的共同比例。
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4:14 - 4:18共同比例是-4x的平方。
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4:18 - 4:20那么这个会给我们--
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4:20 - 4:27我们值得一个击鼓--2/1加上4x的平方。
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4:27 - 4:30那么这个表达式等于它，
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4:30 - 4:36只要x在我们的收敛区间里。
- Title:
- Geometric series as a function | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 04:37
