[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.80,0:00:02.32,Default,,0000,0000,0000,,我们这里有一个函数，
Dialogue: 0,0:00:02.32,0:00:05.07,Default,,0000,0000,0000,,它是无穷级数。
Dialogue: 0,0:00:05.07,0:00:06.82,Default,,0000,0000,0000,,我在这个视频中想做的是
Dialogue: 0,0:00:06.82,0:00:10.44,Default,,0000,0000,0000,,看一看我们能否用一个更传统的形式表达。
Dialogue: 0,0:00:10.44,0:00:12.23,Default,,0000,0000,0000,,所以可能让你突然想到的是
Dialogue: 0,0:00:12.23,0:00:15.13,Default,,0000,0000,0000,,如果它是几何级数，
Dialogue: 0,0:00:15.13,0:00:18.62,Default,,0000,0000,0000,,我们知道怎么取无穷几何级数的和，
Dialogue: 0,0:00:18.62,0:00:21.94,Default,,0000,0000,0000,,至少在x值上，这个东西
Dialogue: 0,0:00:21.94,0:00:22.71,Default,,0000,0000,0000,,实际上会收敛。
Dialogue: 0,0:00:22.71,0:00:26.08,Default,,0000,0000,0000,,那么让我们首先看看它是不是一个几何级数。
Dialogue: 0,0:00:26.08,0:00:29.25,Default,,0000,0000,0000,,几何级数很明显的模式是
Dialogue: 0,0:00:29.25,0:00:30.96,Default,,0000,0000,0000,,当你从一项到另一项时，
Dialogue: 0,0:00:30.96,0:00:33.16,Default,,0000,0000,0000,,你乘的是一个共同的比例。
Dialogue: 0,0:00:33.16,0:00:33.70,Default,,0000,0000,0000,,那么让我们看一看。
Dialogue: 0,0:00:33.70,0:00:36.30,Default,,0000,0000,0000,,从2到-8x的平方，
Dialogue: 0,0:00:36.30,0:00:37.90,Default,,0000,0000,0000,,你要乘以什么？
Dialogue: 0,0:00:37.90,0:00:42.89,Default,,0000,0000,0000,,我们得乘以-4x的平方。
Dialogue: 0,0:00:42.89,0:00:45.91,Default,,0000,0000,0000,,那么我们已经乘以-4x的平方。
Dialogue: 0,0:00:45.91,0:00:47.89,Default,,0000,0000,0000,,现在，我们要乘以一样的
Dialogue: 0,0:00:47.89,0:00:49.63,Default,,0000,0000,0000,,以得到32x的四次方吗？
Dialogue: 0,0:00:49.63,0:00:50.58,Default,,0000,0000,0000,,当然。
Dialogue: 0,0:00:50.58,0:00:52.95,Default,,0000,0000,0000,,-4x的平方乘以-8x的平方
Dialogue: 0,0:00:52.95,0:00:55.57,Default,,0000,0000,0000,,等于正的32x的四次方。
Dialogue: 0,0:00:55.57,0:00:57.67,Default,,0000,0000,0000,,再一次乘以-4x的平方，
Dialogue: 0,0:00:57.67,0:01:00.65,Default,,0000,0000,0000,,你会得到-128x的6次方。
Dialogue: 0,0:01:00.65,0:01:02.35,Default,,0000,0000,0000,,那么共同的比例是-4x平方，
Dialogue: 0,0:01:02.35,0:01:06.72,Default,,0000,0000,0000,,我们第一个项是2，那么可以重写它。
Dialogue: 0,0:01:06.72,0:01:12.69,Default,,0000,0000,0000,,我们可以把f(x)重写成等于从n=0
Dialogue: 0,0:01:12.69,0:01:16.65,Default,,0000,0000,0000,,到无穷的和，
Dialogue: 0,0:01:16.65,0:01:23.89,Default,,0000,0000,0000,,我们的第一项是2--2乘以-4x
Dialogue: 0,0:01:23.89,0:01:29.62,Default,,0000,0000,0000,,平方的n平方。
Dialogue: 0,0:01:29.62,0:01:33.42,Default,,0000,0000,0000,,这个是一个几何级数，
Dialogue: 0,0:01:33.42,0:01:35.63,Default,,0000,0000,0000,,而它的共同比例是-4x的平方的n次方。
Dialogue: 0,0:01:35.63,0:01:39.35,Default,,0000,0000,0000,,现在，这里的这个东西什么时候收敛？
Dialogue: 0,0:01:39.35,0:01:41.64,Default,,0000,0000,0000,,我们知道如果几何级数
Dialogue: 0,0:01:41.64,0:01:46.02,Default,,0000,0000,0000,,的共同比例的绝对值小于1，
Dialogue: 0,0:01:46.02,0:01:48.76,Default,,0000,0000,0000,,那么它会收敛。
Dialogue: 0,0:01:48.76,0:01:50.47,Default,,0000,0000,0000,,那么让我写下来。
Dialogue: 0,0:01:50.47,0:01:57.73,Default,,0000,0000,0000,,那么如果-4x的平方的绝对值
Dialogue: 0,0:01:57.73,0:02:00.88,Default,,0000,0000,0000,,小于1的话，会收敛。
Dialogue: 0,0:02:00.88,0:02:02.75,Default,,0000,0000,0000,,那么，现在写它的方法
Dialogue: 0,0:02:02.75,0:02:04.94,Default,,0000,0000,0000,,是一个负值。
Dialogue: 0,0:02:04.94,0:02:11.92,Default,,0000,0000,0000,,所以它的绝对值等于4x平方。
Dialogue: 0,0:02:11.92,0:02:12.42,Default,,0000,0000,0000,,对不对？
Dialogue: 0,0:02:17.29,0:02:20.58,Default,,0000,0000,0000,,x的平方是非负的，
Dialogue: 0,0:02:20.58,0:02:22.89,Default,,0000,0000,0000,,那么4x的平方是非负的。
Dialogue: 0,0:02:22.89,0:02:26.57,Default,,0000,0000,0000,,-4x的平方非正。
Dialogue: 0,0:02:26.57,0:02:29.96,Default,,0000,0000,0000,,那么如果你取的是一个非正的绝对值，
Dialogue: 0,0:02:29.96,0:02:33.14,Default,,0000,0000,0000,,它和负的绝对值
Dialogue: 0,0:02:33.14,0:02:35.21,Default,,0000,0000,0000,,是一样的。
Dialogue: 0,0:02:35.21,0:02:38.20,Default,,0000,0000,0000,,那么它得小于1。
Dialogue: 0,0:02:38.20,0:02:39.66,Default,,0000,0000,0000,,一样东西的绝对值，
Dialogue: 0,0:02:39.66,0:02:41.70,Default,,0000,0000,0000,,是像这样的非负，
Dialogue: 0,0:02:41.70,0:02:44.55,Default,,0000,0000,0000,,好的，它就等于4x的平方--
Dialogue: 0,0:02:44.55,0:02:46.35,Default,,0000,0000,0000,,这两句话是一样的--
Dialogue: 0,0:02:46.35,0:02:49.29,Default,,0000,0000,0000,,而它得小于1。
Dialogue: 0,0:02:49.29,0:02:55.06,Default,,0000,0000,0000,,可以两边都除4，你得到x平方小于1/4。
Dialogue: 0,0:02:55.06,0:03:00.79,Default,,0000,0000,0000,,那么我们可以说x的绝对值
Dialogue: 0,0:03:00.79,0:03:07.72,Default,,0000,0000,0000,,得小于1/4，或者我们可以说-1/4
Dialogue: 0,0:03:07.72,0:03:12.46,Default,,0000,0000,0000,,要小于x，也及时要小于1/4。
Dialogue: 0,0:03:12.46,0:03:14.05,Default,,0000,0000,0000,,那么以这种方法表达，我们有了
Dialogue: 0,0:03:14.05,0:03:16.15,Default,,0000,0000,0000,,收敛区间。
Dialogue: 0,0:03:16.15,0:03:18.92,Default,,0000,0000,0000,,只要x在区间里面这个东西会收敛。
Dialogue: 0,0:03:18.92,0:03:20.77,Default,,0000,0000,0000,,以这种方式表达，我们指的是
Dialogue: 0,0:03:20.77,0:03:22.11,Default,,0000,0000,0000,,收敛的半径。
Dialogue: 0,0:03:22.11,0:03:24.51,Default,,0000,0000,0000,,只要x比我们的收敛半径小，
Dialogue: 0,0:03:24.51,0:03:27.74,Default,,0000,0000,0000,,它就会收敛。
Dialogue: 0,0:03:27.74,0:03:29.65,Default,,0000,0000,0000,,只要x的绝对值
Dialogue: 0,0:03:29.65,0:03:34.48,Default,,0000,0000,0000,,小于收敛半径，
Dialogue: 0,0:03:34.48,0:03:38.62,Default,,0000,0000,0000,,只要x离0小于1/4。
Dialogue: 0,0:03:38.62,0:03:40.12,Default,,0000,0000,0000,,为了让它更清楚，
Dialogue: 0,0:03:40.12,0:03:43.16,Default,,0000,0000,0000,,你可以把它重新写成在x和0之间的距离，
Dialogue: 0,0:03:43.16,0:03:44.91,Default,,0000,0000,0000,,只要这个--你可以把它看成
Dialogue: 0,0:03:44.91,0:03:46.38,Default,,0000,0000,0000,,x和0之间的距离--
Dialogue: 0,0:03:46.38,0:03:48.82,Default,,0000,0000,0000,,只要它保持小于1/4，
Dialogue: 0,0:03:48.82,0:03:50.40,Default,,0000,0000,0000,,这个东西就会收敛。
Dialogue: 0,0:03:50.40,0:03:52.51,Default,,0000,0000,0000,,那么这个是收敛区间，这个，
Dialogue: 0,0:03:52.51,0:03:54.11,Default,,0000,0000,0000,,你可以把1/4看成
Dialogue: 0,0:03:54.11,0:03:55.52,Default,,0000,0000,0000,,收敛半径。
Dialogue: 0,0:03:55.52,0:03:56.98,Default,,0000,0000,0000,,现在随着那个，
Dialogue: 0,0:03:56.98,0:03:58.69,Default,,0000,0000,0000,,我们已经思考过了它哪里收敛，
Dialogue: 0,0:03:58.69,0:04:00.74,Default,,0000,0000,0000,,让我们想一想它收敛到什么。
Dialogue: 0,0:04:00.74,0:04:02.74,Default,,0000,0000,0000,,那么，我们已经做了好几次。
Dialogue: 0,0:04:02.74,0:04:08.25,Default,,0000,0000,0000,,它将会等于我们的第一项，2/1
Dialogue: 0,0:04:08.25,0:04:09.56,Default,,0000,0000,0000,,减去我们的共同比例。
Dialogue: 0,0:04:13.94,0:04:17.81,Default,,0000,0000,0000,,共同比例是-4x的平方。
Dialogue: 0,0:04:17.81,0:04:19.95,Default,,0000,0000,0000,,那么这个会给我们--
Dialogue: 0,0:04:19.95,0:04:26.82,Default,,0000,0000,0000,,我们值得一个击鼓--2/1加上4x的平方。
Dialogue: 0,0:04:26.82,0:04:30.43,Default,,0000,0000,0000,,那么这个表达式等于它，
Dialogue: 0,0:04:30.43,0:04:35.88,Default,,0000,0000,0000,,只要x在我们的收敛区间里。