1
00:00:00,800 --> 00:00:02,320
我们这里有一个函数，

2
00:00:02,320 --> 00:00:05,070
它是无穷级数。

3
00:00:05,070 --> 00:00:06,820
我在这个视频中想做的是

4
00:00:06,820 --> 00:00:10,439
看一看我们能否用一个更传统的形式表达。

5
00:00:10,439 --> 00:00:12,230
所以可能让你突然想到的是

6
00:00:12,230 --> 00:00:15,130
如果它是几何级数，

7
00:00:15,130 --> 00:00:18,620
我们知道怎么取无穷几何级数的和，

8
00:00:18,620 --> 00:00:21,940
至少在x值上，这个东西

9
00:00:21,940 --> 00:00:22,710
实际上会收敛。

10
00:00:22,710 --> 00:00:26,080
那么让我们首先看看它是不是一个几何级数。

11
00:00:26,080 --> 00:00:29,252
几何级数很明显的模式是

12
00:00:29,252 --> 00:00:30,960
当你从一项到另一项时，

13
00:00:30,960 --> 00:00:33,159
你乘的是一个共同的比例。

14
00:00:33,159 --> 00:00:33,700
那么让我们看一看。

15
00:00:33,700 --> 00:00:36,300
从2到-8x的平方，

16
00:00:36,300 --> 00:00:37,900
你要乘以什么？

17
00:00:37,900 --> 00:00:42,890
我们得乘以-4x的平方。

18
00:00:42,890 --> 00:00:45,910
那么我们已经乘以-4x的平方。

19
00:00:45,910 --> 00:00:47,890
现在，我们要乘以一样的

20
00:00:47,890 --> 00:00:49,630
以得到32x的四次方吗？

21
00:00:49,630 --> 00:00:50,580
当然。

22
00:00:50,580 --> 00:00:52,950
-4x的平方乘以-8x的平方

23
00:00:52,950 --> 00:00:55,570
等于正的32x的四次方。

24
00:00:55,570 --> 00:00:57,670
再一次乘以-4x的平方，

25
00:00:57,670 --> 00:01:00,650
你会得到-128x的6次方。

26
00:01:00,650 --> 00:01:02,350
那么共同的比例是-4x平方，

27
00:01:02,350 --> 00:01:06,720
我们第一个项是2，那么可以重写它。

28
00:01:06,720 --> 00:01:12,690
我们可以把f(x)重写成等于从n=0

29
00:01:12,690 --> 00:01:16,650
到无穷的和，

30
00:01:16,650 --> 00:01:23,890
我们的第一项是2--2乘以-4x

31
00:01:23,890 --> 00:01:29,620
平方的n平方。

32
00:01:29,620 --> 00:01:33,420
这个是一个几何级数，

33
00:01:33,420 --> 00:01:35,630
而它的共同比例是-4x的平方的n次方。

34
00:01:35,630 --> 00:01:39,350
现在，这里的这个东西什么时候收敛？

35
00:01:39,350 --> 00:01:41,640
我们知道如果几何级数

36
00:01:41,640 --> 00:01:46,020
的共同比例的绝对值小于1，

37
00:01:46,020 --> 00:01:48,760
那么它会收敛。

38
00:01:48,760 --> 00:01:50,470
那么让我写下来。

39
00:01:50,470 --> 00:01:57,730
那么如果-4x的平方的绝对值

40
00:01:57,730 --> 00:02:00,875
小于1的话，会收敛。

41
00:02:00,875 --> 00:02:02,750
那么，现在写它的方法

42
00:02:02,750 --> 00:02:04,940
是一个负值。

43
00:02:04,940 --> 00:02:11,920
所以它的绝对值等于4x平方。

44
00:02:11,920 --> 00:02:12,420
对不对？

45
00:02:17,290 --> 00:02:20,580
x的平方是非负的，

46
00:02:20,580 --> 00:02:22,890
那么4x的平方是非负的。

47
00:02:22,890 --> 00:02:26,570
-4x的平方非正。

48
00:02:26,570 --> 00:02:29,960
那么如果你取的是一个非正的绝对值，

49
00:02:29,960 --> 00:02:33,140
它和负的绝对值

50
00:02:33,140 --> 00:02:35,210
是一样的。

51
00:02:35,210 --> 00:02:38,202
那么它得小于1。

52
00:02:38,202 --> 00:02:39,660
一样东西的绝对值，

53
00:02:39,660 --> 00:02:41,700
是像这样的非负，

54
00:02:41,700 --> 00:02:44,550
好的，它就等于4x的平方--

55
00:02:44,550 --> 00:02:46,350
这两句话是一样的--

56
00:02:46,350 --> 00:02:49,290
而它得小于1。

57
00:02:49,290 --> 00:02:55,060
可以两边都除4，你得到x平方小于1/4。

58
00:02:55,060 --> 00:03:00,790
那么我们可以说x的绝对值

59
00:03:00,790 --> 00:03:07,720
得小于1/4，或者我们可以说-1/4

60
00:03:07,720 --> 00:03:12,460
要小于x，也及时要小于1/4。

61
00:03:12,460 --> 00:03:14,050
那么以这种方法表达，我们有了

62
00:03:14,050 --> 00:03:16,150
收敛区间。

63
00:03:16,150 --> 00:03:18,920
只要x在区间里面这个东西会收敛。

64
00:03:18,920 --> 00:03:20,770
以这种方式表达，我们指的是

65
00:03:20,770 --> 00:03:22,110
收敛的半径。

66
00:03:22,110 --> 00:03:24,510
只要x比我们的收敛半径小，

67
00:03:24,510 --> 00:03:27,740
它就会收敛。

68
00:03:27,740 --> 00:03:29,650
只要x的绝对值

69
00:03:29,650 --> 00:03:34,480
小于收敛半径，

70
00:03:34,480 --> 00:03:38,621
只要x离0小于1/4。

71
00:03:38,621 --> 00:03:40,120
为了让它更清楚，

72
00:03:40,120 --> 00:03:43,160
你可以把它重新写成在x和0之间的距离，

73
00:03:43,160 --> 00:03:44,910
只要这个--你可以把它看成

74
00:03:44,910 --> 00:03:46,380
x和0之间的距离--

75
00:03:46,380 --> 00:03:48,820
只要它保持小于1/4，

76
00:03:48,820 --> 00:03:50,400
这个东西就会收敛。

77
00:03:50,400 --> 00:03:52,510
那么这个是收敛区间，这个，

78
00:03:52,510 --> 00:03:54,110
你可以把1/4看成

79
00:03:54,110 --> 00:03:55,522
收敛半径。

80
00:03:55,522 --> 00:03:56,980
现在随着那个，

81
00:03:56,980 --> 00:03:58,688
我们已经思考过了它哪里收敛，

82
00:03:58,688 --> 00:04:00,740
让我们想一想它收敛到什么。

83
00:04:00,740 --> 00:04:02,740
那么，我们已经做了好几次。

84
00:04:02,740 --> 00:04:08,250
它将会等于我们的第一项，2/1

85
00:04:08,250 --> 00:04:09,560
减去我们的共同比例。

86
00:04:13,940 --> 00:04:17,810
共同比例是-4x的平方。

87
00:04:17,810 --> 00:04:19,950
那么这个会给我们--

88
00:04:19,950 --> 00:04:26,820
我们值得一个击鼓--2/1加上4x的平方。

89
00:04:26,820 --> 00:04:30,430
那么这个表达式等于它，

90
00:04:30,430 --> 00:04:35,880
只要x在我们的收敛区间里。