我们这里有一个函数，
它是无穷级数。
我在这个视频中想做的是
看一看我们能否用一个更传统的形式表达。
所以可能让你突然想到的是
如果它是几何级数，
我们知道怎么取无穷几何级数的和，
至少在x值上，这个东西
实际上会收敛。
那么让我们首先看看它是不是一个几何级数。
几何级数很明显的模式是
当你从一项到另一项时，
你乘的是一个共同的比例。
那么让我们看一看。
从2到-8x的平方，
你要乘以什么？
我们得乘以-4x的平方。
那么我们已经乘以-4x的平方。
现在，我们要乘以一样的
以得到32x的四次方吗？
当然。
-4x的平方乘以-8x的平方
等于正的32x的四次方。
再一次乘以-4x的平方，
你会得到-128x的6次方。
那么共同的比例是-4x平方，
我们第一个项是2，那么可以重写它。
我们可以把f(x)重写成等于从n=0
到无穷的和，
我们的第一项是2--2乘以-4x
平方的n平方。
这个是一个几何级数，
而它的共同比例是-4x的平方的n次方。
现在，这里的这个东西什么时候收敛？
我们知道如果几何级数
的共同比例的绝对值小于1，
那么它会收敛。
那么让我写下来。
那么如果-4x的平方的绝对值
小于1的话，会收敛。
那么，现在写它的方法
是一个负值。
所以它的绝对值等于4x平方。
对不对？
x的平方是非负的，
那么4x的平方是非负的。
-4x的平方非正。
那么如果你取的是一个非正的绝对值，
它和负的绝对值
是一样的。
那么它得小于1。
一样东西的绝对值，
是像这样的非负，
好的，它就等于4x的平方--
这两句话是一样的--
而它得小于1。
可以两边都除4，你得到x平方小于1/4。
那么我们可以说x的绝对值
得小于1/4，或者我们可以说-1/4
要小于x，也及时要小于1/4。
那么以这种方法表达，我们有了
收敛区间。
只要x在区间里面这个东西会收敛。
以这种方式表达，我们指的是
收敛的半径。
只要x比我们的收敛半径小，
它就会收敛。
只要x的绝对值
小于收敛半径，
只要x离0小于1/4。
为了让它更清楚，
你可以把它重新写成在x和0之间的距离，
只要这个--你可以把它看成
x和0之间的距离--
只要它保持小于1/4，
这个东西就会收敛。
那么这个是收敛区间，这个，
你可以把1/4看成
收敛半径。
现在随着那个，
我们已经思考过了它哪里收敛，
让我们想一想它收敛到什么。
那么，我们已经做了好几次。
它将会等于我们的第一项，2/1
减去我们的共同比例。
共同比例是-4x的平方。
那么这个会给我们--
我们值得一个击鼓--2/1加上4x的平方。
那么这个表达式等于它，
只要x在我们的收敛区间里。