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Geometric series as a function | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

  • 0:01 - 0:03
    무한급수로 이루어진
  • 0:03 - 0:05
    함수가 있습니다
  • 0:05 - 0:07
    이번 시간에 할 것은
  • 0:07 - 0:10
    좀 더 전통적인 형식으로
    나타낼 수 있는지 확인하는 것입니다
  • 0:10 - 0:12
    등비급수처럼
    생겼다는 것이
  • 0:12 - 0:15
    바로 떠오를 것입니다
  • 0:15 - 0:17
    수렴하게 되는
  • 0:17 - 0:20
    무한등비급수의 합을
  • 0:20 - 0:23
    어떻게 구하는지
    알고 있죠
  • 0:23 - 0:26
    먼저 이 등비급수를
    살펴봅시다
  • 0:26 - 0:29
    등비급수의
    뻔한 패턴은
  • 0:29 - 0:31
    이 항에서 다음 항으로
  • 0:31 - 0:33
    공비를 곱한다는 것입니다
  • 0:33 - 0:34
    확인해 봅시다
  • 0:34 - 0:36
    2에서 -8x²으로 가는데
  • 0:36 - 0:38
    무엇을 곱하나요?
  • 0:38 - 0:43
    -4x²을 곱합니다
  • 0:43 - 0:46
    -4x²을 곱합니다
  • 0:46 - 0:48
    같은 값을 곱하면
  • 0:48 - 0:50
    32x⁴이 나오나요?
  • 0:50 - 0:51
    물론이죠
  • 0:51 - 0:53
    -4x²과 -8x²의 곱은
  • 0:53 - 0:56
    +32x⁴ 입니다
  • 0:56 - 0:58
    -4x²을 곱하면
  • 0:58 - 1:01
    -128x^6 이 됩니다
  • 1:01 - 1:03
    따라서 공비는
    -4x² 입니다
  • 1:03 - 1:07
    첫 번째 항은 2로
    식을 다시 나타내 봅시다
  • 1:07 - 1:13
    f(x)는 n=0 부터 ∞까지의 합
  • 1:13 - 1:17
    f(x)는 n=0 부터 ∞까지의 합
  • 1:17 - 1:24
    2(-4x²)^n
  • 1:24 - 1:30
    2(-4x²)^n
  • 1:30 - 1:33
    이것은 공비가 -4x²인
    등비급수입니다
  • 1:33 - 1:36
    이것은 공비가 -4x²인
    등비급수입니다
  • 1:36 - 1:39
    이 식은 언제 수렴하나요?
  • 1:39 - 1:42
    공비의 절댓값이
    1보다 작으면
  • 1:42 - 1:46
    공비의 절댓값이
    1보다 작으면
  • 1:46 - 1:49
    등비급수가 수렴합니다
  • 1:49 - 1:50
    적어봅시다
  • 1:50 - 1:58
    |-4x²| < 1 일 때
    수렴합니다
  • 1:58 - 2:01
    |-4x²| < 1 일 때
    수렴합니다
  • 2:01 - 2:03
    이 식은 음수이므로
  • 2:03 - 2:05
    이 식은 음수이므로
  • 2:05 - 2:12
    |4x²|과 같습니다
  • 2:12 - 2:12
    맞죠?
  • 2:12 - 2:17
    x²은 음수가 아니므로
  • 2:17 - 2:21
    4x²은 음수가 아니므로
  • 2:21 - 2:23
    4x²도 음수가 아닙니다
  • 2:23 - 2:27
    -4x²은 양수가 아니므로
  • 2:27 - 2:30
    그 값에 절댓값을 취하면
  • 2:30 - 2:33
    절댓값 안의 식이 음수라도
  • 2:33 - 2:35
    이와 동일합니다
  • 2:35 - 2:38
    이 식은 1보다 작아야겠죠
  • 2:38 - 2:40
    이처럼 음수가 아닌
  • 2:40 - 2:42
    어떤 값의 절댓값은
  • 2:42 - 2:45
    4x²이고
  • 2:45 - 2:46
    두 식이 동일하므로
  • 2:46 - 2:49
    이 식은 1보다 작게 됩니다
  • 2:49 - 2:55
    양변을 4로 나누면
    x² < 1/4 이 됩니다
  • 2:55 - 3:01
    따라서 x의 절댓값은
  • 3:01 - 3:08
    1/4보다 작아야 하고
  • 3:08 - 3:12
    즉, -1/4 < x <1/4 입니다
  • 3:12 - 3:14
    이렇게 나타내면
  • 3:14 - 3:16
    수렴구간을 알 수 있습니다
  • 3:16 - 3:19
    x가 이 구간 내에 있다면
    수렴할 것입니다
  • 3:19 - 3:21
    이렇게 나타내는 방식은
  • 3:21 - 3:22
    수렴의 반지름이라고 부릅니다
  • 3:22 - 3:25
    x가 수렴의 반지름보다 작다면
  • 3:25 - 3:28
    x가 수렴의 반지름보다 작다면
  • 3:28 - 3:30
    x의 절댓값이
  • 3:30 - 3:34
    수렴의 반지름보다 작는 한
  • 3:34 - 3:39
    즉 x가 0으로부터 1/4보다
    작은 값만큼 떨어져 있다면 말이죠
  • 3:39 - 3:40
    확실하게 하기 위해
  • 3:40 - 3:43
    이 식을 x와 0 사이의 거리로
    나타낼 수 있으므로
  • 3:43 - 3:45
    x와 0 사이의 거리가
  • 3:45 - 3:46
    1/4보다 작다면
  • 3:46 - 3:49
    1/4보다 작다면
  • 3:49 - 3:50
    이 식은 수렴하게 됩니다
  • 3:50 - 3:53
    따라서 이는 수렴구간이고
  • 3:53 - 3:54
    1/4은 수렴 반지름입니다
  • 3:54 - 3:56
    1/4은 수렴 반지름입니다
  • 3:56 - 3:57
    이 식이 어느 구간에서
    수렴하는지 알아보았고
  • 3:57 - 3:59
    이 식이 어느 구간에서
    수렴하는지 알아보았고
  • 3:59 - 4:01
    어떤 값으로 수렴하는지
    알아봅시다
  • 4:01 - 4:03
    여러 번 했죠
  • 4:03 - 4:08
    분자는
    첫 번째 항인 2이고
  • 4:08 - 4:10
    분모는
    1 - 공비입니다
  • 4:10 - 4:14
    분모는
    1 - 공비입니다
  • 4:14 - 4:18
    공비는 -4x²이므로
  • 4:18 - 4:20
    정리하면
  • 4:20 - 4:21
    두구두구두구
  • 4:21 - 4:27
    2/(1+4x²) 입니다
  • 4:27 - 4:30
    따라서 이 식은
    이 식으로 수렴합니다
  • 4:30 - 4:36
    x가 수렴구간 내에
    있는 한 말이죠
Title:
Geometric series as a function | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Description:

Power series of the form _k(x-a)_ (where k is constant) are a geometric series with initial term k and common ratio (x-a). Since we have an expression for the sum of a geometric series, we can rewrite such power series as a finite expression. Created by Sal Khan.

Practice this lesson yourself on KhanAcademy.org right now: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/e/creating-power-series-from-geometric-series-using-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/rep-function-with-geometric-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Missed the previous lesson? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/function-as-a-geometric-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
04:37

Korean subtitles

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