Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami

tłumaczenie polskie: Agnieszka Ostrysz

W tym filmie pokażę więcej przykładów

na uproszczenie wyrażeń z pierwiastkami.

Tym razem jednak, uproszczenia będą polegać na dodawaniu i odejmowaniu

różnych wyrażeń z pierwiastkami.

Myślę, że jest to dobre narzędzie do trzymania w szafce z narzędziami

w przypadku gdy nigdy wcześniej nie miałeś z nimi do czynienia.

Więc przejdźmy do kilku przykładów.

Mamy 3 razy pierwiastek kwadratowy z 8

ostatnio mówiliśmy już, że tak właściwie

nazywamy to dodatnim pierwiastkiem z liczby 8, odjąć 6 razy

pierwiastek kwadratowy z 32.

Więc spójrzmy, co można zrobić, by to wyrażenie uprościć.

W pierwszej kolejności, możemy zapisać 8 jako 2 razy 4.

Gdzie 4 posiada pierwiastek całkowity,

co już mogłeś zauważyć.

Co możemy zapisać jako 2 razy 2.

Ale myślę, że jest to zbędne

Więc 3 pierwiastki z 8 możemy zapisać jako 3 razy

pierwiastek z 4 razy pierwiastek z 2

Co oznacza to samo co pierwiastek z liczby (4*2)

co z kolei jest równoznaczne z pierwiastkiem z 8.

Więc oba te zapisy są sobie równoważne.

A teraz spójrzmy na 32.

Chcemy spierwiastkować liczbę 32.

32 to 2 razy 16.

I znowu, 16 posiada swój pierwiastek całkowity,

co pozwala nam zatrzymać się w tym momencie.

Jeżeli nie zauważyłeś tego, możesz to zapisać jako

4 razy 4.

Teraz widzisz, że przemnożyliśmy czwórkę przez siebie.

Możemy pójść jeszcze dalej, czyli zapisać to jako 2*2,

ale na pewno już zauważyłeś, że 4 jest pierwiastkiem z 16,

co kończy nasze rozważania.

Więc to drugie wyrażenie możemy zapisać jako -6 razy

pierwiastek z 16 razy pierwiastek z 2.

To, co tutaj zapisałem-chciałbym, żeby to było jasne-to to samo,

co pierwiastek z 16 razy 2

Można to rozdzielać.

Pierwiastek z 16 razy 2 to to samo, co pierwiastek z 16

razy pierwiastek z 2.

Można to wywnioskować z praw działań na potęgach.

Do czego sprowadza się pierwsze wyrażenie?

Tutaj mamy oczywiście 3.

Tutaj otrzymujemy 2.

Więc mamy 3 razy 2 razy pierwiastek z 2.

Czyli 6 razy pierwiastek z 2.

Teraz będziemy odejmować.

Ile wynosi ten pierwiastek?

Tutaj mamy 4.

Więc 6 razy 4 to 24 i jeszcze pierwiastek z dwóch.

Jeszcze nie skończyliśmy.

Jeżeli mamy 6 lub inną liczbę i będziemy odejmować od niej

24 z tym samym pierwiastkiem, co wtedy mamy?

Mamy 6 pierwiastków z 2 i od tego będziemy odejmować

24 pierwiastków z 2, więc to będzie równe

6 odjąć 24, czyli -18 i dopisujemy pierwiastek z dwóch.

Mam nadzieję, że rozumiesz, dlaczego tak się stało.

Pamiętaj, jeśli mamy 6x odjąć 24x, to wynikiem będzie 18x

albo -18x.

A teraz zamiast x wstawmy pierwiastek z dwóch.

6 czegoś odjąć 24 czegoś da nam w wyniku

-18 czegoś.

Przejdźmy do następnego przykładu.

Więc mamy pierwiastek ze 180 dodać 6 razy

pierwiastek z 405.

To jest kolejne ćwiczenie na upraszczanie

pierwiastków, podobne do poprzedniego.

Ale im więcej przykładów zrobimy, tym lepiej będzie szło.

Zacznijmy od rozkładu na czynniki

pierwszego wyrażenia.

180 to inaczej 2 razy 90, natomiast 90 to 2 razy 45.

Co z kolei można zapisać jako 5 razy 9.

Liczbę 9 możemy rozłożyć na 3 razy 3 i wtedy widać,

że 3 jest pierwiastkiem 9, ale możemy też to tak zostawić.

Więc pierwsze wyrażenie możemy zapisać jako

pierwiastek z wyrażenia 2 razy 2 razy pierwiastek z pięciu razy

pierwiastek z dziewięciu.

Pierwiastek z 9 zapiszę na samym początku.

Czyli pierwiastek z 2 razy 2 pomnożone przez pierwiastek z 5

razy pierwiastek z 9.

Teraz zajmiemy się drugim pierwiastkiem.

Musimy go uprościć.

405.

To jest 5 razy chyba 81.

Sprawdźmy to, 405, liczba 4 nie jest wielokrotnością 5, więc

spróbujmy z 40.

w 40 liczba 5 zmieści się osiem razy.

8 razy 5 to 40.

Odejmijmy.

Otrzymujemy zero.

Spisujemy 5.

5 podzielić na 5 to jeden.

Czyli zgadza się, 81 razy.

81 to 9 razy 9.

Możemy to jeszcze rozłożyć, jeśli byśmy chcieli otrzymać

pierwiastek czwartego stopnia, ale my potrzebujemy

pierwiastka kwadratowego.

A tutaj mamy 9 razy 9, więc nie musimy tego już upraszczać.

Więc nasze drugie wyrażenie sprowadza się do plus 6 razy

pierwiastek z 9 razy 9 razy pierwiastek z 5.

Co otrzymujemy?

Tutaj mamy 3.

A tutaj 2.

Inaczej pierwiastek kwadratowy z 4.

Mamy 3 razy 2, czyli 6.

Więc otrzymujemy 6 pierwiastków z 5.

Dodać to, co otrzymamy w drugim wyrażeniu.

Mamy pierwiastek z 9 razy 9, czyli pierwiastek z 81.

Czyli 9.

6 razy 9 to 54, więc mamy 54 pierwiastki z 5.

Co teraz nam pozostało do zrobienia?

Mamy 6 czegoś dodać 54 czegoś.

To będzie równe 60 czegoś

czyli w naszym przypadku będzie to 60 pierwiastków z 5.

Przejdźmy do następnego przykładu, gdzie będziemy mieli

do czynienia z trochę innymi wartościami.

Będą to zmienne.

Ten przykład ma zobrazować, że

ze zmiennymi postępujemy tak samo.

Powiedzmy, że mamy pierwiastek kwadratowy

z liczby 48a.

I do tego dodamy pierwiastek kwadratowy z liczby 27a.

Zacznijmy od uproszczenia tego pierwiastka,

a ten drugi zostawimy na później.

48 to inaczej 2 razy 24, co z kolei można rozpisać jako 2 razy 12.

2 razy 12, co możemy rozłożyć na 3 razy 4.

Pierwsze wyrażenie możemy rozpisać jako

pierwiastek z 2 razy 2 razy pierwiastek z 4 razy

pierwiastek z 3.

Można też zrobić to szybciej.

Mogliśmy rozłożyć to na 3 oraz 16,

wtedy od razu widać, że 16 posiada pierwiastek całkowity.

Ale, jakby się uprzeć, można zrobić też w ten sposób.

Oba sposoby doprowadzą do tej samej odpowiedzi.

Oczywiście nie możemy zapomnieć, że oprócz pierwiastka z 3

mamy tu także pierwiastek z liczby a.

Więc musimy tutaj dopisać a.

Mogliśmy też wpisać liczbę a pod osobny pierwiastek, ale

ani 3 ani liczba a nie posiadają pierwiastków całkowitych,

więc zapisałem je pod jednym pierwiastkiem.

27 to to samo co 3 razy 9.

9 posiada pierwiastek całkowity, więc możemy się tu zatrzymać.

Drugie wyrażenie możemy więc zapisać jako

pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 3a.

W obu przypadkach możesz zauważyć,

że omijam pośredni krok.

Mówiąc poprzedni krok mam na myśli, że mogłem zapisać to jako

pierwiastek z 9 razy 3a,

a dopiero później zapisać to tak jak tutaj.

Ale myślę, że już nauczyliśmy się, że

liczba 9 razy 3a do potęgi 1/2 albo spierwiastkowana

da nam ten sam wynik

jak pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 3a.

Dlatego też pominąłem ten krok.

Mam nadzieję, że rozumiesz o czym mówię.

Więc to wyrażenie tutaj będzie wynosić 2.

To wyrażenie również da wynik 2.

Więc mamy 4 razy pierwiastek z 3a.

Natomiast to wyrażenie jest równe 3.

Będziemy więc mieli plus 3 razy pierwiastek z 3a.

4 razy coś dodać 3 razy coś będzie się równało

7 razy coś.

Mam nadzieję, że było to dla Ciebie przydatne.