W tym filmie pokażę więcej przykładów
na uproszczenie wyrażeń z pierwiastkami.
Tym razem jednak, uproszczenia będą polegać na dodawaniu i odejmowaniu
różnych wyrażeń z pierwiastkami.
Myślę, że jest to dobre narzędzie do trzymania w szafce z narzędziami
w przypadku gdy nigdy wcześniej nie miałeś z nimi do czynienia.
Więc przejdźmy do kilku przykładów.
Mamy 3 razy pierwiastek kwadratowy z 8
ostatnio mówiliśmy już, że tak właściwie
nazywamy to dodatnim pierwiastkiem z liczby 8, odjąć 6 razy
pierwiastek kwadratowy z 32.
Więc spójrzmy, co można zrobić, by to wyrażenie uprościć.
W pierwszej kolejności, możemy zapisać 8 jako 2 razy 4.
Gdzie 4 posiada pierwiastek całkowity,
co już mogłeś zauważyć.
Co możemy zapisać jako 2 razy 2.
Ale myślę, że jest to zbędne
Więc 3 pierwiastki z 8 możemy zapisać jako 3 razy
pierwiastek z 4 razy pierwiastek z 2
Co oznacza to samo co pierwiastek z liczby (4*2)
co z kolei jest równoznaczne z pierwiastkiem z 8.
Więc oba te zapisy są sobie równoważne.
A teraz spójrzmy na 32.
Chcemy spierwiastkować liczbę 32.
32 to 2 razy 16.
I znowu, 16 posiada swój pierwiastek całkowity,
co pozwala nam zatrzymać się w tym momencie.
Jeżeli nie zauważyłeś tego, możesz to zapisać jako
4 razy 4.
Teraz widzisz, że przemnożyliśmy czwórkę przez siebie.
Możemy pójść jeszcze dalej, czyli zapisać to jako 2*2,
ale na pewno już zauważyłeś, że 4 jest pierwiastkiem z 16,
co kończy nasze rozważania.
Więc to drugie wyrażenie możemy zapisać jako -6 razy
pierwiastek z 16 razy pierwiastek z 2.
To, co tutaj zapisałem-chciałbym, żeby to było jasne-to to samo,
co pierwiastek z 16 razy 2
Można to rozdzielać.
Pierwiastek z 16 razy 2 to to samo, co pierwiastek z 16
razy pierwiastek z 2.
Można to wywnioskować z praw działań na potęgach.
Do czego sprowadza się pierwsze wyrażenie?
Tutaj mamy oczywiście 3.
Tutaj otrzymujemy 2.
Więc mamy 3 razy 2 razy pierwiastek z 2.
Czyli 6 razy pierwiastek z 2.
Teraz będziemy odejmować.
Ile wynosi ten pierwiastek?
Tutaj mamy 4.
Więc 6 razy 4 to 24 i jeszcze pierwiastek z dwóch.
Jeszcze nie skończyliśmy.
Jeżeli mamy 6 lub inną liczbę i będziemy odejmować od niej
24 z tym samym pierwiastkiem, co wtedy mamy?
Mamy 6 pierwiastków z 2 i od tego będziemy odejmować
24 pierwiastków z 2, więc to będzie równe
6 odjąć 24, czyli -18 i dopisujemy pierwiastek z dwóch.
Mam nadzieję, że rozumiesz, dlaczego tak się stało.
Pamiętaj, jeśli mamy 6x odjąć 24x, to wynikiem będzie 18x
albo -18x.
A teraz zamiast x wstawmy pierwiastek z dwóch.
6 czegoś odjąć 24 czegoś da nam w wyniku
-18 czegoś.
Przejdźmy do następnego przykładu.
Więc mamy pierwiastek ze 180 dodać 6 razy
pierwiastek z 405.
To jest kolejne ćwiczenie na upraszczanie
pierwiastków, podobne do poprzedniego.
Ale im więcej przykładów zrobimy, tym lepiej będzie szło.
Zacznijmy od rozkładu na czynniki
pierwszego wyrażenia.
180 to inaczej 2 razy 90, natomiast 90 to 2 razy 45.
Co z kolei można zapisać jako 5 razy 9.
Liczbę 9 możemy rozłożyć na 3 razy 3 i wtedy widać,
że 3 jest pierwiastkiem 9, ale możemy też to tak zostawić.
Więc pierwsze wyrażenie możemy zapisać jako
pierwiastek z wyrażenia 2 razy 2 razy pierwiastek z pięciu razy
pierwiastek z dziewięciu.
Pierwiastek z 9 zapiszę na samym początku.
Czyli pierwiastek z 2 razy 2 pomnożone przez pierwiastek z 5
razy pierwiastek z 9.
Teraz zajmiemy się drugim pierwiastkiem.
Musimy go uprościć.
405.
To jest 5 razy chyba 81.
Sprawdźmy to, 405, liczba 4 nie jest wielokrotnością 5, więc
spróbujmy z 40.
w 40 liczba 5 zmieści się osiem razy.
8 razy 5 to 40.
Odejmijmy.
Otrzymujemy zero.
Spisujemy 5.
5 podzielić na 5 to jeden.
Czyli zgadza się, 81 razy.
81 to 9 razy 9.
Możemy to jeszcze rozłożyć, jeśli byśmy chcieli otrzymać
pierwiastek czwartego stopnia, ale my potrzebujemy
pierwiastka kwadratowego.
A tutaj mamy 9 razy 9, więc nie musimy tego już upraszczać.
Więc nasze drugie wyrażenie sprowadza się do plus 6 razy
pierwiastek z 9 razy 9 razy pierwiastek z 5.
Co otrzymujemy?
Tutaj mamy 3.
A tutaj 2.
Inaczej pierwiastek kwadratowy z 4.
Mamy 3 razy 2, czyli 6.
Więc otrzymujemy 6 pierwiastków z 5.
Dodać to, co otrzymamy w drugim wyrażeniu.
Mamy pierwiastek z 9 razy 9, czyli pierwiastek z 81.
Czyli 9.
6 razy 9 to 54, więc mamy 54 pierwiastki z 5.
Co teraz nam pozostało do zrobienia?
Mamy 6 czegoś dodać 54 czegoś.
To będzie równe 60 czegoś
czyli w naszym przypadku będzie to 60 pierwiastków z 5.
Przejdźmy do następnego przykładu, gdzie będziemy mieli
do czynienia z trochę innymi wartościami.
Będą to zmienne.
Ten przykład ma zobrazować, że
ze zmiennymi postępujemy tak samo.
Powiedzmy, że mamy pierwiastek kwadratowy
z liczby 48a.
I do tego dodamy pierwiastek kwadratowy z liczby 27a.
Zacznijmy od uproszczenia tego pierwiastka,
a ten drugi zostawimy na później.
48 to inaczej 2 razy 24, co z kolei można rozpisać jako 2 razy 12.
2 razy 12, co możemy rozłożyć na 3 razy 4.
Pierwsze wyrażenie możemy rozpisać jako
pierwiastek z 2 razy 2 razy pierwiastek z 4 razy
pierwiastek z 3.
Można też zrobić to szybciej.
Mogliśmy rozłożyć to na 3 oraz 16,
wtedy od razu widać, że 16 posiada pierwiastek całkowity.
Ale, jakby się uprzeć, można zrobić też w ten sposób.
Oba sposoby doprowadzą do tej samej odpowiedzi.
Oczywiście nie możemy zapomnieć, że oprócz pierwiastka z 3
mamy tu także pierwiastek z liczby a.
Więc musimy tutaj dopisać a.
Mogliśmy też wpisać liczbę a pod osobny pierwiastek, ale
ani 3 ani liczba a nie posiadają pierwiastków całkowitych,
więc zapisałem je pod jednym pierwiastkiem.
27 to to samo co 3 razy 9.
9 posiada pierwiastek całkowity, więc możemy się tu zatrzymać.
Drugie wyrażenie możemy więc zapisać jako
pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 3a.
W obu przypadkach możesz zauważyć,
że omijam pośredni krok.
Mówiąc poprzedni krok mam na myśli, że mogłem zapisać to jako
pierwiastek z 9 razy 3a,
a dopiero później zapisać to tak jak tutaj.
Ale myślę, że już nauczyliśmy się, że
liczba 9 razy 3a do potęgi 1/2 albo spierwiastkowana
da nam ten sam wynik
jak pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 3a.
Dlatego też pominąłem ten krok.
Mam nadzieję, że rozumiesz o czym mówię.
Więc to wyrażenie tutaj będzie wynosić 2.
To wyrażenie również da wynik 2.
Więc mamy 4 razy pierwiastek z 3a.
Natomiast to wyrażenie jest równe 3.
Będziemy więc mieli plus 3 razy pierwiastek z 3a.
4 razy coś dodać 3 razy coś będzie się równało
7 razy coś.
Mam nadzieję, że było to dla Ciebie przydatne.