1
00:00:00,000 --> 00:00:00,650


2
00:00:00,650 --> 00:00:02,900
W tym filmie pokażę więcej przykładów

3
00:00:02,900 --> 00:00:04,880
na uproszczenie wyrażeń z pierwiastkami.

4
00:00:04,880 --> 00:00:06,990
Tym razem jednak, uproszczenia będą polegać na dodawaniu i odejmowaniu

5
00:00:06,990 --> 00:00:08,200
różnych wyrażeń z pierwiastkami.

6
00:00:08,200 --> 00:00:10,850
Myślę, że jest to dobre narzędzie do trzymania w szafce z narzędziami

7
00:00:10,850 --> 00:00:12,080
w przypadku gdy nigdy wcześniej nie miałeś z nimi do czynienia.

8
00:00:12,080 --> 00:00:13,520
Więc przejdźmy do kilku przykładów.

9
00:00:13,520 --> 00:00:17,710
Mamy 3 razy pierwiastek kwadratowy z 8

10
00:00:17,710 --> 00:00:19,836
ostatnio mówiliśmy już, że tak właściwie

11
00:00:19,836 --> 00:00:24,010
nazywamy to dodatnim pierwiastkiem z liczby 8, odjąć 6 razy

12
00:00:24,010 --> 00:00:27,025
pierwiastek kwadratowy z 32.

13
00:00:27,025 --> 00:00:29,950
Więc spójrzmy, co można zrobić, by to wyrażenie uprościć.

14
00:00:29,950 --> 00:00:35,110
W pierwszej kolejności, możemy zapisać 8 jako 2 razy 4.

15
00:00:35,110 --> 00:00:36,605
Gdzie 4 posiada pierwiastek całkowity,

16
00:00:36,605 --> 00:00:37,400
co już mogłeś zauważyć.

17
00:00:37,400 --> 00:00:39,990
Co możemy zapisać jako 2 razy 2.

18
00:00:39,990 --> 00:00:40,940
Ale myślę, że jest to zbędne

19
00:00:40,940 --> 00:00:45,770
Więc 3 pierwiastki z 8 możemy zapisać jako 3 razy

20
00:00:45,770 --> 00:00:50,430
pierwiastek z 4 razy pierwiastek z 2

21
00:00:50,430 --> 00:00:52,830
Co oznacza to samo co pierwiastek z liczby (4*2)

22
00:00:52,830 --> 00:00:54,490
co z kolei jest równoznaczne z pierwiastkiem z 8.

23
00:00:54,490 --> 00:00:57,220
Więc oba te zapisy są sobie równoważne.

24
00:00:57,220 --> 00:00:58,890
A teraz spójrzmy na 32.

25
00:00:58,890 --> 00:01:01,050
Chcemy spierwiastkować liczbę 32.

26
00:01:01,050 --> 00:01:04,650
32 to 2 razy 16.

27
00:01:04,650 --> 00:01:06,660
I znowu, 16 posiada swój pierwiastek całkowity,

28
00:01:06,660 --> 00:01:08,490
co pozwala nam zatrzymać się w tym momencie.

29
00:01:08,490 --> 00:01:10,160
Jeżeli nie zauważyłeś tego, możesz to zapisać jako

30
00:01:10,160 --> 00:01:11,230
4 razy 4.

31
00:01:11,230 --> 00:01:12,260
Teraz widzisz, że przemnożyliśmy czwórkę przez siebie.

32
00:01:12,260 --> 00:01:14,980
Możemy pójść jeszcze dalej, czyli zapisać to jako 2*2,

33
00:01:14,980 --> 00:01:16,940
ale na pewno już zauważyłeś, że 4 jest pierwiastkiem z 16,

34
00:01:16,940 --> 00:01:18,020
co kończy nasze rozważania.

35
00:01:18,020 --> 00:01:22,030
Więc to drugie wyrażenie możemy zapisać jako -6 razy

36
00:01:22,030 --> 00:01:28,920
pierwiastek z 16 razy pierwiastek z 2.

37
00:01:28,920 --> 00:01:31,510
To, co tutaj zapisałem-chciałbym, żeby to było jasne-to to samo,

38
00:01:31,510 --> 00:01:34,520
co pierwiastek z 16 razy 2

39
00:01:34,520 --> 00:01:35,770
Można to rozdzielać.

40
00:01:35,770 --> 00:01:38,850
Pierwiastek z 16 razy 2 to to samo, co pierwiastek z 16

41
00:01:38,850 --> 00:01:40,000
razy pierwiastek z 2.

42
00:01:40,000 --> 00:01:42,600
Można to wywnioskować z praw działań na potęgach.

43
00:01:42,600 --> 00:01:45,000
Do czego sprowadza się pierwsze wyrażenie?

44
00:01:45,000 --> 00:01:46,270
Tutaj mamy oczywiście 3.

45
00:01:46,270 --> 00:01:48,230
Tutaj otrzymujemy 2.

46
00:01:48,230 --> 00:01:51,050
Więc mamy 3 razy 2 razy pierwiastek z 2.

47
00:01:51,050 --> 00:01:55,060
Czyli 6 razy pierwiastek z 2.

48
00:01:55,060 --> 00:01:57,880
Teraz będziemy odejmować.

49
00:01:57,880 --> 00:01:58,790
Ile wynosi ten pierwiastek?

50
00:01:58,790 --> 00:02:01,260
Tutaj mamy 4.

51
00:02:01,260 --> 00:02:06,820
Więc 6 razy 4 to 24 i jeszcze pierwiastek z dwóch.

52
00:02:06,820 --> 00:02:08,240
Jeszcze nie skończyliśmy.

53
00:02:08,240 --> 00:02:11,780
Jeżeli mamy 6 lub inną liczbę i będziemy odejmować od niej

54
00:02:11,780 --> 00:02:14,910
24 z tym samym pierwiastkiem, co wtedy mamy?

55
00:02:14,910 --> 00:02:17,290
Mamy 6 pierwiastków z 2 i od tego będziemy odejmować

56
00:02:17,290 --> 00:02:20,780
24 pierwiastków z 2, więc to będzie równe

57
00:02:20,780 --> 00:02:28,020
6 odjąć 24, czyli -18 i dopisujemy pierwiastek z dwóch.

58
00:02:28,020 --> 00:02:29,420
Mam nadzieję, że rozumiesz, dlaczego tak się stało.

59
00:02:29,420 --> 00:02:35,250
Pamiętaj, jeśli mamy 6x odjąć 24x, to wynikiem będzie 18x

60
00:02:35,250 --> 00:02:37,150
albo -18x.

61
00:02:37,150 --> 00:02:38,870
A teraz zamiast x wstawmy pierwiastek z dwóch.

62
00:02:38,870 --> 00:02:42,090
6 czegoś odjąć 24 czegoś da nam w wyniku

63
00:02:42,090 --> 00:02:44,120
-18 czegoś.

64
00:02:44,120 --> 00:02:45,880
Przejdźmy do następnego przykładu.

65
00:02:45,880 --> 00:02:53,300
Więc mamy pierwiastek ze 180 dodać 6 razy

66
00:02:53,300 --> 00:02:56,470
pierwiastek z 405.

67
00:02:56,470 --> 00:02:59,940
To jest kolejne ćwiczenie na upraszczanie

68
00:02:59,940 --> 00:03:01,600
pierwiastków, podobne do poprzedniego.

69
00:03:01,600 --> 00:03:04,250
Ale im więcej przykładów zrobimy, tym lepiej będzie szło.

70
00:03:04,250 --> 00:03:06,230
Zacznijmy od rozkładu na czynniki

71
00:03:06,230 --> 00:03:07,610
pierwszego wyrażenia.

72
00:03:07,610 --> 00:03:14,670
180 to inaczej 2 razy 90, natomiast 90 to 2 razy 45.

73
00:03:14,670 --> 00:03:18,290
Co z kolei można zapisać jako 5 razy 9.

74
00:03:18,290 --> 00:03:21,860
Liczbę 9 możemy rozłożyć na 3 razy 3 i wtedy widać,

75
00:03:21,860 --> 00:03:23,550
że 3 jest pierwiastkiem 9, ale możemy też to tak zostawić.

76
00:03:23,550 --> 00:03:27,940
Więc pierwsze wyrażenie możemy zapisać jako

77
00:03:27,940 --> 00:03:34,550
pierwiastek z wyrażenia 2 razy 2 razy pierwiastek z pięciu razy

78
00:03:34,550 --> 00:03:37,420
pierwiastek z dziewięciu.

79
00:03:37,420 --> 00:03:39,120
Pierwiastek z 9 zapiszę na samym początku.

80
00:03:39,120 --> 00:03:41,470
Czyli pierwiastek z 2 razy 2 pomnożone przez pierwiastek z 5

81
00:03:41,470 --> 00:03:45,440
razy pierwiastek z 9.

82
00:03:45,440 --> 00:03:48,360
Teraz zajmiemy się drugim pierwiastkiem.

83
00:03:48,360 --> 00:03:49,900
Musimy go uprościć.

84
00:03:49,900 --> 00:03:50,870
405.

85
00:03:50,870 --> 00:03:54,670
To jest 5 razy chyba 81.

86
00:03:54,670 --> 00:04:00,970
Sprawdźmy to, 405, liczba 4 nie jest wielokrotnością 5, więc

87
00:04:00,970 --> 00:04:02,340
spróbujmy z 40.

88
00:04:02,340 --> 00:04:04,040
w 40 liczba 5 zmieści się osiem razy.

89
00:04:04,040 --> 00:04:06,340
8 razy 5 to 40.

90
00:04:06,340 --> 00:04:07,090
Odejmijmy.

91
00:04:07,090 --> 00:04:07,910
Otrzymujemy zero.

92
00:04:07,910 --> 00:04:09,520
Spisujemy 5.

93
00:04:09,520 --> 00:04:11,470
5 podzielić na 5 to jeden.

94
00:04:11,470 --> 00:04:14,100
Czyli zgadza się, 81 razy.

95
00:04:14,100 --> 00:04:17,290
81 to 9 razy 9.

96
00:04:17,290 --> 00:04:20,260
Możemy to jeszcze rozłożyć, jeśli byśmy chcieli otrzymać

97
00:04:20,260 --> 00:04:22,390
pierwiastek czwartego stopnia, ale my potrzebujemy

98
00:04:22,390 --> 00:04:22,960
pierwiastka kwadratowego.

99
00:04:22,960 --> 00:04:25,910
A tutaj mamy 9 razy 9, więc nie musimy tego już upraszczać.

100
00:04:25,910 --> 00:04:31,360
Więc nasze drugie wyrażenie sprowadza się do plus 6 razy

101
00:04:31,360 --> 00:04:40,600
pierwiastek z 9 razy 9 razy pierwiastek z 5.

102
00:04:40,600 --> 00:04:41,260
Co otrzymujemy?

103
00:04:41,260 --> 00:04:43,140
Tutaj mamy 3.

104
00:04:43,140 --> 00:04:44,710
A tutaj 2.

105
00:04:44,710 --> 00:04:45,860
Inaczej pierwiastek kwadratowy z 4.

106
00:04:45,860 --> 00:04:48,270
Mamy 3 razy 2, czyli 6.

107
00:04:48,270 --> 00:04:51,790
Więc otrzymujemy 6 pierwiastków z 5.

108
00:04:51,790 --> 00:04:54,160
Dodać to, co otrzymamy w drugim wyrażeniu.

109
00:04:54,160 --> 00:04:57,100
Mamy pierwiastek z 9 razy 9, czyli pierwiastek z 81.

110
00:04:57,100 --> 00:04:59,380
Czyli 9.

111
00:04:59,380 --> 00:05:09,190
6 razy 9 to 54, więc mamy 54 pierwiastki z 5.

112
00:05:09,190 --> 00:05:12,520
Co teraz nam pozostało do zrobienia?

113
00:05:12,520 --> 00:05:17,120
Mamy 6 czegoś dodać 54 czegoś.

114
00:05:17,120 --> 00:05:22,050
To będzie równe 60 czegoś

115
00:05:22,050 --> 00:05:24,400
czyli w naszym przypadku będzie to 60 pierwiastków z 5.

116
00:05:24,400 --> 00:05:27,490
Przejdźmy do następnego przykładu, gdzie będziemy mieli

117
00:05:27,490 --> 00:05:28,750
do czynienia z trochę innymi wartościami.

118
00:05:28,750 --> 00:05:30,000
Będą to zmienne.

119
00:05:30,000 --> 00:05:31,960
Ten przykład ma zobrazować, że

120
00:05:31,960 --> 00:05:34,200
ze zmiennymi postępujemy tak samo.

121
00:05:34,200 --> 00:05:36,520
Powiedzmy, że mamy pierwiastek kwadratowy

122
00:05:36,520 --> 00:05:38,300
z liczby 48a.

123
00:05:38,300 --> 00:05:46,830
I do tego dodamy pierwiastek kwadratowy z liczby 27a.

124
00:05:46,830 --> 00:05:50,130
Zacznijmy od uproszczenia tego pierwiastka,

125
00:05:50,130 --> 00:05:51,930
a ten drugi zostawimy na później.

126
00:05:51,930 --> 00:05:57,350
48 to inaczej 2 razy 24, co z kolei można rozpisać jako 2 razy 12.

127
00:05:57,350 --> 00:06:04,650
2 razy 12, co możemy rozłożyć na 3 razy 4.

128
00:06:04,650 --> 00:06:08,250
Pierwsze wyrażenie możemy rozpisać jako

129
00:06:08,250 --> 00:06:14,920
pierwiastek z 2 razy 2 razy pierwiastek z 4 razy

130
00:06:14,920 --> 00:06:16,590
pierwiastek z 3.

131
00:06:16,590 --> 00:06:18,520
Można też zrobić to szybciej.

132
00:06:18,520 --> 00:06:21,040
Mogliśmy rozłożyć to na 3 oraz 16,

133
00:06:21,040 --> 00:06:23,090
wtedy od razu widać, że 16 posiada pierwiastek całkowity.

134
00:06:23,090 --> 00:06:25,190
Ale, jakby się uprzeć, można zrobić też w ten sposób.

135
00:06:25,190 --> 00:06:27,470
Oba sposoby doprowadzą do tej samej odpowiedzi.

136
00:06:27,470 --> 00:06:29,950
Oczywiście nie możemy zapomnieć, że oprócz pierwiastka z 3

137
00:06:29,950 --> 00:06:31,210
mamy tu także pierwiastek z liczby a.

138
00:06:31,210 --> 00:06:32,910
Więc musimy tutaj dopisać a.

139
00:06:32,910 --> 00:06:35,060
Mogliśmy też wpisać liczbę a pod osobny pierwiastek, ale

140
00:06:35,060 --> 00:06:37,710
ani 3 ani liczba a nie posiadają pierwiastków całkowitych,

141
00:06:37,710 --> 00:06:39,250
więc zapisałem je pod jednym pierwiastkiem.

142
00:06:39,250 --> 00:06:43,750
27 to to samo co 3 razy 9.

143
00:06:43,750 --> 00:06:46,040
9 posiada pierwiastek całkowity, więc możemy się tu zatrzymać.

144
00:06:46,040 --> 00:06:49,480
Drugie wyrażenie możemy więc zapisać jako

145
00:06:49,480 --> 00:06:54,295
pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 3a.

146
00:06:54,295 --> 00:06:56,620
W obu przypadkach możesz zauważyć,

147
00:06:56,620 --> 00:06:57,750
że omijam pośredni krok.

148
00:06:57,750 --> 00:07:01,970
Mówiąc poprzedni krok mam na myśli, że mogłem zapisać to jako

149
00:07:01,970 --> 00:07:08,070
pierwiastek z 9 razy 3a,

150
00:07:08,070 --> 00:07:09,130
a dopiero później zapisać to tak jak tutaj.

151
00:07:09,130 --> 00:07:12,210
Ale myślę, że już nauczyliśmy się, że

152
00:07:12,210 --> 00:07:16,510
liczba 9 razy 3a do potęgi 1/2 albo spierwiastkowana

153
00:07:16,510 --> 00:07:18,970
da nam ten sam wynik

154
00:07:18,970 --> 00:07:23,130
jak pierwiastek z 9 razy pierwiastek z 3a.

155
00:07:23,130 --> 00:07:25,080
Dlatego też pominąłem ten krok.

156
00:07:25,080 --> 00:07:27,580
Mam nadzieję, że rozumiesz o czym mówię.

157
00:07:27,580 --> 00:07:30,140
Więc to wyrażenie tutaj będzie wynosić 2.

158
00:07:30,140 --> 00:07:31,990
To wyrażenie również da wynik 2.

159
00:07:31,990 --> 00:07:37,220
Więc mamy 4 razy pierwiastek z 3a.

160
00:07:37,220 --> 00:07:40,840
Natomiast to wyrażenie jest równe 3.

161
00:07:40,840 --> 00:07:45,000
Będziemy więc mieli plus 3 razy pierwiastek z 3a.

162
00:07:45,000 --> 00:07:51,480
4 razy coś dodać 3 razy coś będzie się równało

163
00:07:51,480 --> 00:07:53,930
7 razy coś.

164
00:07:53,930 --> 00:07:56,270
Mam nadzieję, że było to dla Ciebie przydatne.