-
Ebben a videóban megnézünk még pár példát arra, hogy
-
hogyan lehet gyökszámokat egyszerűsíteni.
-
Ezek a példák összeadásokat és kivonásokat is
-
tartalmazni fognak.
-
Mivel úgy gondolom, hogy jó ha fel vagyunk vértezve ilyen tudással;
-
ezért érdemes párat megnézni, ha még eddig ilyenekkel nem találkoztunk ezelőtt.
-
Akkor nézzünk is meg párat!
-
Mondjuk, hogy ez van nekünk: 3-szor négyzetgyök alatt a 8.
-
Valójában már korábbról tudjuk, hogy ez azt jelenti, hogy a 8 első gyökét vesszük,
-
azaz a 8 pozitív négyzetgyökét...Mínusz 6 szorozva a 32 első
-
négyzeten vett gyökével.
-
Lássuk csak, mit tehetünk az egyszerűsítés érdekében!
-
Először a 8-at átírhatjuk kétszer 4-re.
-
Ekkor láthatjuk, hogy a 4-ből gyököt lehet vonni, ezt már
-
valószínűleg automatikusan felismerjük.
-
Tovább is oszthatnánk tényezőire: 2-ször 2-re...
-
De úgy gondolom erre nincs szükség.
-
Szóval átírhatjuk a 3 szorozva gyök alatt 8-at úgy, mint 3 szorozva
-
négyzetgyök alatt 4 szorozva négyzetgyök alatt 2.
-
Ez ugyanannyit tesz, mint négyzetgyök alatt 4 szorozva 2-vel,
-
amely egyenlő a 8 négyzetgyökével.
-
Szóval mindkét felírás ugyanazt az eredményt adja.
-
Nos akkor nézzük meg a 32-t!
-
A 32 négyzetgyökét szeretnénk megkapni.
-
A 32 2-szer 16-tal egyenlő.
-
Újfent a 16-ból gyököt lehet vonni, így aztán itt
-
meg is állhatnánk.
-
De ha nem is vennénk észre, akkor bontásunk során
-
láthatjuk, hogy 4-szer 4 szerepel.
-
Ezt pedig kétszer kapnánk.
-
Ha még tovább bontunk, akkor a 2-szer 2-ig jutunk el és ekkor
-
biztossá válik, hogy a számunkból gyököt lehet vonni és
-
itt érünk a végére.
-
A második egyenletet úgy is fel lehet írni, mint mínusz 6 szorozva
-
a 16 négyzetgyökével szorozva a 2 négyzetgyökével.
-
Ez a rész itt, csak, hogy tisztázzuk, ugyanaz, mint
-
négyzetgyök alatt 16-szor 2.
-
Ekkor szét tudjuk választani a tényezőket.
-
A 16 szorozva 2 négyzetgyöke az egyenlő azzal, hogy négyzetgyök alatt 16 szorozva
-
négyzetgyök alatt 2-vel.
-
Ezt már megismertük a kitevők tulajdonságai során.
-
Most akkor ezt az első felírást mire lehet egyszerűsíteni?
-
Itt ez világosan 3 lesz.
-
Ez itt 2.
-
Szóval azt kaptuk, hogy 3-szor 2 szorozva négyzetgyök 2-vel.
-
Ez annyi, mint 6-szor a 2 első gyöke.
-
És ekkor elvégezhetjük a kivonást...nos akkor
-
mennyi is lesz ez az érték itt?
-
Plusz 4.
-
Szóval 6-szor 4 az 24 szorozva a 2 négyzetgyökével.
-
És itt még nem vagyunk készen!
-
Ha valamiből 6 értékem van és ezt kivonom egy 24 darab ugyanilyen felírású összegből,
-
akkor mennyit kapunk ebből a valamiből?
-
6-szor négyzetgyök 2-nk van és ezt a 24-szer négyzetgyök 2-ből kivonjuk.
-
Nos ez annyit tesz, mint
-
6 mínusz 24...azaz mínusz 18 szorozva négyzetgyök 2.
-
Remélhetőleg ez nem volt túl zavarba ejtő.
-
Ne feledjük, ha 6 x-ünk van és ebből kivonunk 24 x-et, akkor
-
mínusz 18x-et vagy másképp negatív 18 x-et kapunk.
-
Most esetünkben x helyett négyzetgyök 2-nk van, de ugyanúgy itt is ha 6
-
egységünk van valamiből és ebből 24 egységet kivonunk, akkor mínusz 18-at kapunk
-
ebből az egységből.
-
Nézzünk meg egy másik példát!
-
Mondjuk azt, hogy négyzetgyök alatt 180-unk van és hozzáadunk 6-szor
-
négyzetgyök alatt 405-öt!
-
Ez az a feladat, amelyben jól kell tudni gyökszámokat
-
egyszerűsíteni. Ilyenre már amúgy néztünk példát.
-
De soha nem lehet eleget gyakorolni az ilyeneket.
-
Akkor most bontsuk tényezőire ezeket
-
az értékeket!
-
A 180 az kétszer 90, ami kétszer 45, ami
-
5-ször 9.
-
Ekkor a 9-et is tovább bonthatjuk 3-szor 3-ra és itt észrevehetjük, hogy
-
a 9-ből is lehet gyököt vonni, de akár ebben a formában is meghagyhatjuk!
-
Szóval ezt az első kifejezést úgy is felírhatjuk, hogy
-
gyök alatt kétszer 2 szoozva gyök alatt 5-ször
-
négyzetgyök 9-cel.
-
A négyzetgyök alatt 9-et előre rakom.
-
Szóval ez a műveletünk: négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva
-
négyzetgyök alatt 5-ször szorozva négyzetgyök alatt 9.
-
A második része a műveletnek mennyivel egyenlő?
-
Lássuk csak a tényezőit!
-
405.
-
Ez 5-ször...úgy hiszem 81.
-
De a biztonság kedvéért ellenőrizzük le! 405...Az 5 nincs meg a 4-ben,
-
viszont a 40-ben megvan.
-
40-ben 8-szor van meg az 5.
-
8-szor 5 az 40.
-
Kivonunk.
-
0-t kapunk.
-
Írjuk hozzá az 5-öt.
-
5-ben az 5 egyszer van meg.
-
Rendben van, 81-szer van meg benne...
-
81 az 9-szer 9.
-
Ezt még tovább is bonthatjuk, ha megpróbálnánk a számunk negyedik
-
gyökét venni, de mi most csak a négyzetgyököt
-
szeretnénk megtudni.
-
Szóval két 9-esünk van és nem is kell tovább bontanunk.
-
Szóval a második rész itt: plusz 6 szorozva négyzetgyök
-
alatt 9-szer 9 szorozva négyzetgyök alatt 5.
-
Mennyi is ez?
-
Ez itt 3.
-
Ez meg itt 2.
-
Ez a 4 négyzetgyöke.
-
Ez így tehát 3-szor 2, azaz 6.
-
Tehát 6-szor négyzetgyök alatt 5-ünk van.
-
Plusz...mennyink van még itt?
-
Négyzetgyök alatt 9-szer 9, a 81 négyzetgyöke...
-
Ez természetesen 9 lesz.
-
6-szor 9 az 54, szóval plusz 54 szorozva négyzetgyök alatt 5.
-
És akkor mi maradt meg?
-
6 egységünk van és ehhez 54 egységnyit adunk hozzá.
-
Ez tehát annyit tesz, mint 60 darab
-
ebből az adott egységből.
-
Még egyet nézzünk meg, csak azért, hogy lássunk példát
-
absztrakt mennyiségekre is!
-
Itt most néhány változóval fogunk operálni.
-
De igazán arról van szó, hogy meg szeretném mutatni, hogy
-
a változók használata semmit sem változtat.
-
Vegyük azt, hogy értékünk a 48a négyzetgyöke vagy a
-
48a első gyöke.
-
Ehhez az értékhez hozzá kell adnunk a négyzetgyök alatti 27a-t.
-
Újfent, bontsuk tényezőkre a 48-as részt!
-
Az a tényezőről most nem is veszünk tudomást.
-
Szóval a 48 az 2-szer 24, amely 2-szer 12,,,
-
Bocsánat! 2-szer 12, ami 3-szor 4.
-
Szóval az első részünket úgy írhatjuk fel, mint :
-
négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva négyzetgyök alatt 4-szer
-
gyök 3.
-
Igen, akár egy gyorsabb megoldási módszerhez is folyamodhattunk volna...
-
3-ra és 16-ra is bonthattunk volna egyből és rögtön
-
megláthattuk volna, hogy a 16-ből is lehet gyököt vonni.
-
Azonban itt most ezt a kicsit szőrszálhasogatóbb módot választottam.
-
Bárhogy is járjunk el, úgy is ugyanazt kapjuk!
-
És természetesen nem csak a 3 kerül a gyökjel alá, hanem
-
az a érték gyöke is.
-
Ezért aztán ide is írok az a-t!
-
Akár két különböző gyökjel alá is rakhatnánk őket, de mivel egyikből sem lehet gyököt vonni,
-
ezért mindkét értéket egy
-
gyökjel alá helyezzük el.
-
Most akkor: a 27 az 3-szor 9.
-
A 9-ből lehet gyököt vonni, ezzel akkor itt meg is vagyunk.
-
Ezt a második részt pedig úgy lehet felírni, hogy:
-
gyök alatt 9-szer gyök alatt 3a.
-
És ekkor mindkét egyenletben látható... átugrok
-
egy köztes lépést.
-
A köztes lépés: az első részt úgy is fel lehetett volna
-
írni, mint négyzetgyök alatt 9-szer 3a-t és aztán jöhetett volna
-
ez az előbbi lépés.
-
Azonban úgy vélem, már elég gyakorlatunk van ahhoz, hogy
-
meglássuk; a 9-szer 3a egésze 1 ketted hatványra emelve,
-
vagy azt is mondhatjuk, hogy az egész első gyöke, az nem lesz más,
-
mint a 9 első gyöke szorozva a 3a első gyökével.
-
Szóval ez az a lépés, amelyet mindkét műveletnél átugrottam.
-
De remélem, ez nem volt így túl zavaró!
-
Szóval így ez a rész egy kettes lesz...
-
Ez a rész itt is kettő lesz-
-
Szóval annyit kapunk, mint 4-szer gyök alatt 3a.
-
És ez az érték itt pedig 3 lesz.
-
Tehát ez annyi lesz, mint plusz 3-szor négyzetgyök alatt 3a.
-
Valamennyiből 4 plusz valamennyiből 3 az 7 egységet ad
-
abból a valamennyiből.
-
Mindazonáltal remélem, ezek a példák hasznosak voltak!
