WEBVTT 00:00:00.650 --> 00:00:02.900 Ebben a videóban megnézünk még pár példát arra, hogy 00:00:02.900 --> 00:00:04.880 hogyan lehet gyökszámokat egyszerűsíteni. 00:00:04.880 --> 00:00:06.990 Ezek a példák összeadásokat és kivonásokat is 00:00:06.990 --> 00:00:08.200 tartalmazni fognak. 00:00:08.200 --> 00:00:10.850 Mivel úgy gondolom, hogy jó ha fel vagyunk vértezve ilyen tudással; 00:00:10.850 --> 00:00:12.080 ezért érdemes párat megnézni, ha még eddig ilyenekkel nem találkoztunk ezelőtt. 00:00:12.080 --> 00:00:13.520 Akkor nézzünk is meg párat! 00:00:13.520 --> 00:00:17.710 Mondjuk, hogy ez van nekünk: 3-szor négyzetgyök alatt a 8. 00:00:17.710 --> 00:00:19.836 Valójában már korábbról tudjuk, hogy ez azt jelenti, hogy a 8 első gyökét vesszük, 00:00:19.836 --> 00:00:24.010 azaz a 8 pozitív négyzetgyökét...Mínusz 6 szorozva a 32 első 00:00:24.010 --> 00:00:27.025 négyzeten vett gyökével. 00:00:27.025 --> 00:00:29.950 Lássuk csak, mit tehetünk az egyszerűsítés érdekében! 00:00:29.950 --> 00:00:35.110 Először a 8-at átírhatjuk kétszer 4-re. 00:00:35.110 --> 00:00:36.605 Ekkor láthatjuk, hogy a 4-ből gyököt lehet vonni, ezt már 00:00:36.605 --> 00:00:37.400 valószínűleg automatikusan felismerjük. 00:00:37.400 --> 00:00:39.990 Tovább is oszthatnánk tényezőire: 2-ször 2-re... 00:00:39.990 --> 00:00:40.940 De úgy gondolom erre nincs szükség. 00:00:40.940 --> 00:00:45.770 Szóval átírhatjuk a 3 szorozva gyök alatt 8-at úgy, mint 3 szorozva 00:00:45.770 --> 00:00:50.430 négyzetgyök alatt 4 szorozva négyzetgyök alatt 2. 00:00:50.430 --> 00:00:52.830 Ez ugyanannyit tesz, mint négyzetgyök alatt 4 szorozva 2-vel, 00:00:52.830 --> 00:00:54.490 amely egyenlő a 8 négyzetgyökével. 00:00:54.490 --> 00:00:57.220 Szóval mindkét felírás ugyanazt az eredményt adja. 00:00:57.220 --> 00:00:58.890 Nos akkor nézzük meg a 32-t! 00:00:58.890 --> 00:01:01.050 A 32 négyzetgyökét szeretnénk megkapni. 00:01:01.050 --> 00:01:04.650 A 32 2-szer 16-tal egyenlő. 00:01:04.650 --> 00:01:06.660 Újfent a 16-ból gyököt lehet vonni, így aztán itt 00:01:06.660 --> 00:01:08.490 meg is állhatnánk. 00:01:08.490 --> 00:01:10.160 De ha nem is vennénk észre, akkor bontásunk során 00:01:10.160 --> 00:01:11.230 láthatjuk, hogy 4-szer 4 szerepel. 00:01:11.230 --> 00:01:12.260 Ezt pedig kétszer kapnánk. 00:01:12.260 --> 00:01:14.980 Ha még tovább bontunk, akkor a 2-szer 2-ig jutunk el és ekkor 00:01:14.980 --> 00:01:16.940 biztossá válik, hogy a számunkból gyököt lehet vonni és 00:01:16.940 --> 00:01:18.020 itt érünk a végére. 00:01:18.020 --> 00:01:22.030 A második egyenletet úgy is fel lehet írni, mint mínusz 6 szorozva 00:01:22.030 --> 00:01:28.920 a 16 négyzetgyökével szorozva a 2 négyzetgyökével. 00:01:28.920 --> 00:01:31.510 Ez a rész itt, csak, hogy tisztázzuk, ugyanaz, mint 00:01:31.510 --> 00:01:34.520 négyzetgyök alatt 16-szor 2. 00:01:34.520 --> 00:01:35.770 Ekkor szét tudjuk választani a tényezőket. 00:01:35.770 --> 00:01:38.850 A 16 szorozva 2 négyzetgyöke az egyenlő azzal, hogy négyzetgyök alatt 16 szorozva 00:01:38.850 --> 00:01:40.000 négyzetgyök alatt 2-vel. 00:01:40.000 --> 00:01:42.600 Ezt már megismertük a kitevők tulajdonságai során. 00:01:42.600 --> 00:01:45.000 Most akkor ezt az első felírást mire lehet egyszerűsíteni? 00:01:45.000 --> 00:01:46.270 Itt ez világosan 3 lesz. 00:01:46.270 --> 00:01:48.230 Ez itt 2. 00:01:48.230 --> 00:01:51.050 Szóval azt kaptuk, hogy 3-szor 2 szorozva négyzetgyök 2-vel. 00:01:51.050 --> 00:01:55.060 Ez annyi, mint 6-szor a 2 első gyöke. 00:01:55.060 --> 00:01:57.880 És ekkor elvégezhetjük a kivonást...nos akkor 00:01:57.880 --> 00:01:58.790 mennyi is lesz ez az érték itt? 00:01:58.790 --> 00:02:01.260 Plusz 4. 00:02:01.260 --> 00:02:06.820 Szóval 6-szor 4 az 24 szorozva a 2 négyzetgyökével. 00:02:06.820 --> 00:02:08.240 És itt még nem vagyunk készen! 00:02:08.240 --> 00:02:11.780 Ha valamiből 6 értékem van és ezt kivonom egy 24 darab ugyanilyen felírású összegből, 00:02:11.780 --> 00:02:14.910 akkor mennyit kapunk ebből a valamiből? 00:02:14.910 --> 00:02:17.290 6-szor négyzetgyök 2-nk van és ezt a 24-szer négyzetgyök 2-ből kivonjuk. 00:02:17.290 --> 00:02:20.780 Nos ez annyit tesz, mint 00:02:20.780 --> 00:02:28.020 6 mínusz 24...azaz mínusz 18 szorozva négyzetgyök 2. 00:02:28.020 --> 00:02:29.420 Remélhetőleg ez nem volt túl zavarba ejtő. 00:02:29.420 --> 00:02:35.250 Ne feledjük, ha 6 x-ünk van és ebből kivonunk 24 x-et, akkor 00:02:35.250 --> 00:02:37.150 mínusz 18x-et vagy másképp negatív 18 x-et kapunk. 00:02:37.150 --> 00:02:38.870 Most esetünkben x helyett négyzetgyök 2-nk van, de ugyanúgy itt is ha 6 00:02:38.870 --> 00:02:42.090 egységünk van valamiből és ebből 24 egységet kivonunk, akkor mínusz 18-at kapunk 00:02:42.090 --> 00:02:44.120 ebből az egységből. 00:02:44.120 --> 00:02:45.880 Nézzünk meg egy másik példát! 00:02:45.880 --> 00:02:53.300 Mondjuk azt, hogy négyzetgyök alatt 180-unk van és hozzáadunk 6-szor 00:02:53.300 --> 00:02:56.470 négyzetgyök alatt 405-öt! 00:02:56.470 --> 00:02:59.940 Ez az a feladat, amelyben jól kell tudni gyökszámokat 00:02:59.940 --> 00:03:01.600 egyszerűsíteni. Ilyenre már amúgy néztünk példát. 00:03:01.600 --> 00:03:04.250 De soha nem lehet eleget gyakorolni az ilyeneket. 00:03:04.250 --> 00:03:06.230 Akkor most bontsuk tényezőire ezeket 00:03:06.230 --> 00:03:07.610 az értékeket! 00:03:07.610 --> 00:03:14.670 A 180 az kétszer 90, ami kétszer 45, ami 00:03:14.670 --> 00:03:18.290 5-ször 9. 00:03:18.290 --> 00:03:21.860 Ekkor a 9-et is tovább bonthatjuk 3-szor 3-ra és itt észrevehetjük, hogy 00:03:21.860 --> 00:03:23.550 a 9-ből is lehet gyököt vonni, de akár ebben a formában is meghagyhatjuk! 00:03:23.550 --> 00:03:27.940 Szóval ezt az első kifejezést úgy is felírhatjuk, hogy 00:03:27.940 --> 00:03:34.550 gyök alatt kétszer 2 szoozva gyök alatt 5-ször 00:03:34.550 --> 00:03:37.420 négyzetgyök 9-cel. 00:03:37.420 --> 00:03:39.120 A négyzetgyök alatt 9-et előre rakom. 00:03:39.120 --> 00:03:41.470 Szóval ez a műveletünk: négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva 00:03:41.470 --> 00:03:45.440 négyzetgyök alatt 5-ször szorozva négyzetgyök alatt 9. 00:03:45.440 --> 00:03:48.360 A második része a műveletnek mennyivel egyenlő? 00:03:48.360 --> 00:03:49.900 Lássuk csak a tényezőit! 00:03:49.900 --> 00:03:50.870 405. 00:03:50.870 --> 00:03:54.670 Ez 5-ször...úgy hiszem 81. 00:03:54.670 --> 00:04:00.970 De a biztonság kedvéért ellenőrizzük le! 405...Az 5 nincs meg a 4-ben, 00:04:00.970 --> 00:04:02.340 viszont a 40-ben megvan. 00:04:02.340 --> 00:04:04.040 40-ben 8-szor van meg az 5. 00:04:04.040 --> 00:04:06.340 8-szor 5 az 40. 00:04:06.340 --> 00:04:07.090 Kivonunk. 00:04:07.090 --> 00:04:07.910 0-t kapunk. 00:04:07.910 --> 00:04:09.520 Írjuk hozzá az 5-öt. 00:04:09.520 --> 00:04:11.470 5-ben az 5 egyszer van meg. 00:04:11.470 --> 00:04:14.100 Rendben van, 81-szer van meg benne... 00:04:14.100 --> 00:04:17.290 81 az 9-szer 9. 00:04:17.290 --> 00:04:20.260 Ezt még tovább is bonthatjuk, ha megpróbálnánk a számunk negyedik 00:04:20.260 --> 00:04:22.390 gyökét venni, de mi most csak a négyzetgyököt 00:04:22.390 --> 00:04:22.960 szeretnénk megtudni. 00:04:22.960 --> 00:04:25.910 Szóval két 9-esünk van és nem is kell tovább bontanunk. 00:04:25.910 --> 00:04:31.360 Szóval a második rész itt: plusz 6 szorozva négyzetgyök 00:04:31.360 --> 00:04:40.600 alatt 9-szer 9 szorozva négyzetgyök alatt 5. 00:04:40.600 --> 00:04:41.260 Mennyi is ez? 00:04:41.260 --> 00:04:43.140 Ez itt 3. 00:04:43.140 --> 00:04:44.710 Ez meg itt 2. 00:04:44.710 --> 00:04:45.860 Ez a 4 négyzetgyöke. 00:04:45.860 --> 00:04:48.270 Ez így tehát 3-szor 2, azaz 6. 00:04:48.270 --> 00:04:51.790 Tehát 6-szor négyzetgyök alatt 5-ünk van. 00:04:51.790 --> 00:04:54.160 Plusz...mennyink van még itt? 00:04:54.160 --> 00:04:57.100 Négyzetgyök alatt 9-szer 9, a 81 négyzetgyöke... 00:04:57.100 --> 00:04:59.380 Ez természetesen 9 lesz. 00:04:59.380 --> 00:05:09.190 6-szor 9 az 54, szóval plusz 54 szorozva négyzetgyök alatt 5. 00:05:09.190 --> 00:05:12.520 És akkor mi maradt meg? 00:05:12.520 --> 00:05:17.120 6 egységünk van és ehhez 54 egységnyit adunk hozzá. 00:05:17.120 --> 00:05:22.050 Ez tehát annyit tesz, mint 60 darab 00:05:22.050 --> 00:05:24.400 ebből az adott egységből. 00:05:24.400 --> 00:05:27.490 Még egyet nézzünk meg, csak azért, hogy lássunk példát 00:05:27.490 --> 00:05:28.750 absztrakt mennyiségekre is! 00:05:28.750 --> 00:05:30.000 Itt most néhány változóval fogunk operálni. 00:05:30.000 --> 00:05:31.960 De igazán arról van szó, hogy meg szeretném mutatni, hogy 00:05:31.960 --> 00:05:34.200 a változók használata semmit sem változtat. 00:05:34.200 --> 00:05:36.520 Vegyük azt, hogy értékünk a 48a négyzetgyöke vagy a 00:05:36.520 --> 00:05:38.300 48a első gyöke. 00:05:38.300 --> 00:05:46.830 Ehhez az értékhez hozzá kell adnunk a négyzetgyök alatti 27a-t. 00:05:46.830 --> 00:05:50.130 Újfent, bontsuk tényezőkre a 48-as részt! 00:05:50.130 --> 00:05:51.930 Az a tényezőről most nem is veszünk tudomást. 00:05:51.930 --> 00:05:57.350 Szóval a 48 az 2-szer 24, amely 2-szer 12,,, 00:05:57.350 --> 00:06:04.650 Bocsánat! 2-szer 12, ami 3-szor 4. 00:06:04.650 --> 00:06:08.250 Szóval az első részünket úgy írhatjuk fel, mint : 00:06:08.250 --> 00:06:14.920 négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva négyzetgyök alatt 4-szer 00:06:14.920 --> 00:06:16.590 gyök 3. 00:06:16.590 --> 00:06:18.520 Igen, akár egy gyorsabb megoldási módszerhez is folyamodhattunk volna... 00:06:18.520 --> 00:06:21.040 3-ra és 16-ra is bonthattunk volna egyből és rögtön 00:06:21.040 --> 00:06:23.090 megláthattuk volna, hogy a 16-ből is lehet gyököt vonni. 00:06:23.090 --> 00:06:25.190 Azonban itt most ezt a kicsit szőrszálhasogatóbb módot választottam. 00:06:25.190 --> 00:06:27.470 Bárhogy is járjunk el, úgy is ugyanazt kapjuk! 00:06:27.470 --> 00:06:29.950 És természetesen nem csak a 3 kerül a gyökjel alá, hanem 00:06:29.950 --> 00:06:31.210 az a érték gyöke is. 00:06:31.210 --> 00:06:32.910 Ezért aztán ide is írok az a-t! 00:06:32.910 --> 00:06:35.060 Akár két különböző gyökjel alá is rakhatnánk őket, de mivel egyikből sem lehet gyököt vonni, 00:06:35.060 --> 00:06:37.710 ezért mindkét értéket egy 00:06:37.710 --> 00:06:39.250 gyökjel alá helyezzük el. 00:06:39.250 --> 00:06:43.750 Most akkor: a 27 az 3-szor 9. 00:06:43.750 --> 00:06:46.040 A 9-ből lehet gyököt vonni, ezzel akkor itt meg is vagyunk. 00:06:46.040 --> 00:06:49.480 Ezt a második részt pedig úgy lehet felírni, hogy: 00:06:49.480 --> 00:06:54.295 gyök alatt 9-szer gyök alatt 3a. 00:06:54.295 --> 00:06:56.620 És ekkor mindkét egyenletben látható... átugrok 00:06:56.620 --> 00:06:57.750 egy köztes lépést. 00:06:57.750 --> 00:07:01.970 A köztes lépés: az első részt úgy is fel lehetett volna 00:07:01.970 --> 00:07:08.070 írni, mint négyzetgyök alatt 9-szer 3a-t és aztán jöhetett volna 00:07:08.070 --> 00:07:09.130 ez az előbbi lépés. 00:07:09.130 --> 00:07:12.210 Azonban úgy vélem, már elég gyakorlatunk van ahhoz, hogy 00:07:12.210 --> 00:07:16.510 meglássuk; a 9-szer 3a egésze 1 ketted hatványra emelve, 00:07:16.510 --> 00:07:18.970 vagy azt is mondhatjuk, hogy az egész első gyöke, az nem lesz más, 00:07:18.970 --> 00:07:23.130 mint a 9 első gyöke szorozva a 3a első gyökével. 00:07:23.130 --> 00:07:25.080 Szóval ez az a lépés, amelyet mindkét műveletnél átugrottam. 00:07:25.080 --> 00:07:27.580 De remélem, ez nem volt így túl zavaró! 00:07:27.580 --> 00:07:30.140 Szóval így ez a rész egy kettes lesz... 00:07:30.140 --> 00:07:31.990 Ez a rész itt is kettő lesz- 00:07:31.990 --> 00:07:37.220 Szóval annyit kapunk, mint 4-szer gyök alatt 3a. 00:07:37.220 --> 00:07:40.840 És ez az érték itt pedig 3 lesz. 00:07:40.840 --> 00:07:45.000 Tehát ez annyi lesz, mint plusz 3-szor négyzetgyök alatt 3a. 00:07:45.000 --> 00:07:51.480 Valamennyiből 4 plusz valamennyiből 3 az 7 egységet ad 00:07:51.480 --> 00:07:53.930 abból a valamennyiből. 00:07:53.930 --> 00:07:56.270 Mindazonáltal remélem, ezek a példák hasznosak voltak!