Ebben a videóban megnézünk még pár példát arra, hogy
hogyan lehet gyökszámokat egyszerűsíteni.
Ezek a példák összeadásokat és kivonásokat is
tartalmazni fognak.
Mivel úgy gondolom, hogy jó ha fel vagyunk vértezve ilyen tudással;
ezért érdemes párat megnézni, ha még eddig ilyenekkel nem találkoztunk ezelőtt.
Akkor nézzünk is meg párat!
Mondjuk, hogy ez van nekünk: 3-szor négyzetgyök alatt a 8.
Valójában már korábbról tudjuk, hogy ez azt jelenti, hogy a 8 első gyökét vesszük,
azaz a 8 pozitív négyzetgyökét...Mínusz 6 szorozva a 32 első
négyzeten vett gyökével.
Lássuk csak, mit tehetünk az egyszerűsítés érdekében!
Először a 8-at átírhatjuk kétszer 4-re.
Ekkor láthatjuk, hogy a 4-ből gyököt lehet vonni, ezt már
valószínűleg automatikusan felismerjük.
Tovább is oszthatnánk tényezőire: 2-ször 2-re...
De úgy gondolom erre nincs szükség.
Szóval átírhatjuk a 3 szorozva gyök alatt 8-at úgy, mint 3 szorozva
négyzetgyök alatt 4 szorozva négyzetgyök alatt 2.
Ez ugyanannyit tesz, mint négyzetgyök alatt 4 szorozva 2-vel,
amely egyenlő a 8 négyzetgyökével.
Szóval mindkét felírás ugyanazt az eredményt adja.
Nos akkor nézzük meg a 32-t!
A 32 négyzetgyökét szeretnénk megkapni.
A 32 2-szer 16-tal egyenlő.
Újfent a 16-ból gyököt lehet vonni, így aztán itt
meg is állhatnánk.
De ha nem is vennénk észre, akkor bontásunk során
láthatjuk, hogy 4-szer 4 szerepel.
Ezt pedig kétszer kapnánk.
Ha még tovább bontunk, akkor a 2-szer 2-ig jutunk el és ekkor
biztossá válik, hogy a számunkból gyököt lehet vonni és
itt érünk a végére.
A második egyenletet úgy is fel lehet írni, mint mínusz 6 szorozva
a 16 négyzetgyökével szorozva a 2 négyzetgyökével.
Ez a rész itt, csak, hogy tisztázzuk, ugyanaz, mint
négyzetgyök alatt 16-szor 2.
Ekkor szét tudjuk választani a tényezőket.
A 16 szorozva 2 négyzetgyöke az egyenlő azzal, hogy négyzetgyök alatt 16 szorozva
négyzetgyök alatt 2-vel.
Ezt már megismertük a kitevők tulajdonságai során.
Most akkor ezt az első felírást mire lehet egyszerűsíteni?
Itt ez világosan 3 lesz.
Ez itt 2.
Szóval azt kaptuk, hogy 3-szor 2 szorozva négyzetgyök 2-vel.
Ez annyi, mint 6-szor a 2 első gyöke.
És ekkor elvégezhetjük a kivonást...nos akkor
mennyi is lesz ez az érték itt?
Plusz 4.
Szóval 6-szor 4 az 24 szorozva a 2 négyzetgyökével.
És itt még nem vagyunk készen!
Ha valamiből 6 értékem van és ezt kivonom egy 24 darab ugyanilyen felírású összegből,
akkor mennyit kapunk ebből a valamiből?
6-szor négyzetgyök 2-nk van és ezt a 24-szer négyzetgyök 2-ből kivonjuk.
Nos ez annyit tesz, mint
6 mínusz 24...azaz mínusz 18 szorozva négyzetgyök 2.
Remélhetőleg ez nem volt túl zavarba ejtő.
Ne feledjük, ha 6 x-ünk van és ebből kivonunk 24 x-et, akkor
mínusz 18x-et vagy másképp negatív 18 x-et kapunk.
Most esetünkben x helyett négyzetgyök 2-nk van, de ugyanúgy itt is ha 6
egységünk van valamiből és ebből 24 egységet kivonunk, akkor mínusz 18-at kapunk
ebből az egységből.
Nézzünk meg egy másik példát!
Mondjuk azt, hogy négyzetgyök alatt 180-unk van és hozzáadunk 6-szor
négyzetgyök alatt 405-öt!
Ez az a feladat, amelyben jól kell tudni gyökszámokat
egyszerűsíteni. Ilyenre már amúgy néztünk példát.
De soha nem lehet eleget gyakorolni az ilyeneket.
Akkor most bontsuk tényezőire ezeket
az értékeket!
A 180 az kétszer 90, ami kétszer 45, ami
5-ször 9.
Ekkor a 9-et is tovább bonthatjuk 3-szor 3-ra és itt észrevehetjük, hogy
a 9-ből is lehet gyököt vonni, de akár ebben a formában is meghagyhatjuk!
Szóval ezt az első kifejezést úgy is felírhatjuk, hogy
gyök alatt kétszer 2 szoozva gyök alatt 5-ször
négyzetgyök 9-cel.
A négyzetgyök alatt 9-et előre rakom.
Szóval ez a műveletünk: négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva
négyzetgyök alatt 5-ször szorozva négyzetgyök alatt 9.
A második része a műveletnek mennyivel egyenlő?
Lássuk csak a tényezőit!
405.
Ez 5-ször...úgy hiszem 81.
De a biztonság kedvéért ellenőrizzük le! 405...Az 5 nincs meg a 4-ben,
viszont a 40-ben megvan.
40-ben 8-szor van meg az 5.
8-szor 5 az 40.
Kivonunk.
0-t kapunk.
Írjuk hozzá az 5-öt.
5-ben az 5 egyszer van meg.
Rendben van, 81-szer van meg benne...
81 az 9-szer 9.
Ezt még tovább is bonthatjuk, ha megpróbálnánk a számunk negyedik
gyökét venni, de mi most csak a négyzetgyököt
szeretnénk megtudni.
Szóval két 9-esünk van és nem is kell tovább bontanunk.
Szóval a második rész itt: plusz 6 szorozva négyzetgyök
alatt 9-szer 9 szorozva négyzetgyök alatt 5.
Mennyi is ez?
Ez itt 3.
Ez meg itt 2.
Ez a 4 négyzetgyöke.
Ez így tehát 3-szor 2, azaz 6.
Tehát 6-szor négyzetgyök alatt 5-ünk van.
Plusz...mennyink van még itt?
Négyzetgyök alatt 9-szer 9, a 81 négyzetgyöke...
Ez természetesen 9 lesz.
6-szor 9 az 54, szóval plusz 54 szorozva négyzetgyök alatt 5.
És akkor mi maradt meg?
6 egységünk van és ehhez 54 egységnyit adunk hozzá.
Ez tehát annyit tesz, mint 60 darab
ebből az adott egységből.
Még egyet nézzünk meg, csak azért, hogy lássunk példát
absztrakt mennyiségekre is!
Itt most néhány változóval fogunk operálni.
De igazán arról van szó, hogy meg szeretném mutatni, hogy
a változók használata semmit sem változtat.
Vegyük azt, hogy értékünk a 48a négyzetgyöke vagy a
48a első gyöke.
Ehhez az értékhez hozzá kell adnunk a négyzetgyök alatti 27a-t.
Újfent, bontsuk tényezőkre a 48-as részt!
Az a tényezőről most nem is veszünk tudomást.
Szóval a 48 az 2-szer 24, amely 2-szer 12,,,
Bocsánat! 2-szer 12, ami 3-szor 4.
Szóval az első részünket úgy írhatjuk fel, mint :
négyzetgyök alatt 2-szer 2 szorozva négyzetgyök alatt 4-szer
gyök 3.
Igen, akár egy gyorsabb megoldási módszerhez is folyamodhattunk volna...
3-ra és 16-ra is bonthattunk volna egyből és rögtön
megláthattuk volna, hogy a 16-ből is lehet gyököt vonni.
Azonban itt most ezt a kicsit szőrszálhasogatóbb módot választottam.
Bárhogy is járjunk el, úgy is ugyanazt kapjuk!
És természetesen nem csak a 3 kerül a gyökjel alá, hanem
az a érték gyöke is.
Ezért aztán ide is írok az a-t!
Akár két különböző gyökjel alá is rakhatnánk őket, de mivel egyikből sem lehet gyököt vonni,
ezért mindkét értéket egy
gyökjel alá helyezzük el.
Most akkor: a 27 az 3-szor 9.
A 9-ből lehet gyököt vonni, ezzel akkor itt meg is vagyunk.
Ezt a második részt pedig úgy lehet felírni, hogy:
gyök alatt 9-szer gyök alatt 3a.
És ekkor mindkét egyenletben látható... átugrok
egy köztes lépést.
A köztes lépés: az első részt úgy is fel lehetett volna
írni, mint négyzetgyök alatt 9-szer 3a-t és aztán jöhetett volna
ez az előbbi lépés.
Azonban úgy vélem, már elég gyakorlatunk van ahhoz, hogy
meglássuk; a 9-szer 3a egésze 1 ketted hatványra emelve,
vagy azt is mondhatjuk, hogy az egész első gyöke, az nem lesz más,
mint a 9 első gyöke szorozva a 3a első gyökével.
Szóval ez az a lépés, amelyet mindkét műveletnél átugrottam.
De remélem, ez nem volt így túl zavaró!
Szóval így ez a rész egy kettes lesz...
Ez a rész itt is kettő lesz-
Szóval annyit kapunk, mint 4-szer gyök alatt 3a.
És ez az érték itt pedig 3 lesz.
Tehát ez annyi lesz, mint plusz 3-szor négyzetgyök alatt 3a.
Valamennyiből 4 plusz valamennyiből 3 az 7 egységet ad
abból a valamennyiből.
Mindazonáltal remélem, ezek a példák hasznosak voltak!