Relative minima and maxima

...

Дакле, овде сам скицирао график функције

у је једнако са f oд x.

Скицирао сам је изнад овог интервала.

Изгледа да је између 0 и неке позитивне вредности.

И желим да размислим о тачкама максимума и минимума

ове функције.

Дакле, већ смо разговарали малчице о апсолутном максимуму

и аполутном минимуму на једном интервалу.

И то су прилично очигледне вредности.

Достижемо тачку максимума тачно овде,

тачно на почетку нашег интервала.

Чини се да је када је х једнако 0,

ово је тачка апсолутног максимума за интервал.

А тачка апсолутног минимума за интервал

се догађа на другом крају графика.

Дакле, ако је ово а, ово је b, тачка апсолутног минимума

је f oд b.

А тачка апсолутног максимума је f oд а.

И изгледа да је а једнако 0.

Али вероватно мислите, хеј,

постоје друге интересантне тачке овде.

Ова тачка овде, она није највећа.

Не узимамо...ова вредност овде

дефинитивно није највећа вредност.

То дефинитивно није највећа вредност

коју функција узима на том интервалу.

Али у односу на друге вредности око те,

она делује малчице као врх брда.

Виша је у односу на друге.

Локално, изгледа као максимум.

И дакле, то је зашто се ова вредност овде

назива...рецимо ово овде с.

Ово је с, дакле ово је f oд c...ми ћемо називати

f oд c вредност локалног максимума.

Вредност локалног максимума.

А кажемо локални пошто очигледно функција

узима другу вредност која је већа од те.

Али за х вредности близу с, f oд c

је веће од свих тих.

Слично...не могу никада рећи тако.

Слично, ако је ова тачка овде d, f oд d

делује као локална тачка минимума

или локална минимална вредност.

f oд d је локални минимум, или локална вредност минимума.

Још једном, преко целог интервала,

има тачака које су дефинитивно ниже.

А ми циљамо апсолутни минимум за интервал

за х је једнако b.

Али ово је релативни минимум, или локални минимум

пошто је ниже од... ако

посматрамо х вредности у околини d, функција у тим вредностима

је виша од вредности d.

Па, размислимо о, лако ми је да кажем,

добро, ви сте код локалног максимума,

ако пронађете већу вредност ваше функције

од свих околних вредности.

А ви сте у минимуму ако

сте код мање вредности од свих околних.

А како можемо то записати математички?

Дакле, овде ћу вам дати дефиницију

која је у суштини само формалнији начин

да кажемо оно што смо управо рекли.

Дакле, кажемо да је f oд с локални максимум,

локална максимална вредност, ако је f oд с

веће или једнако са f oд х за све

х који... можемо рећи на уобичајен начин, за све х близу с.

Дакле, можемо то записати тако.

Али то није превише строго, јер шта

то значи бити близу с?

И дакле, строжији начин да кажемо то,

за све х који се налазе у отвореном интервалу с минус

h до с плус h, где је h нека вредност већа од 0.

Па, да ли то има смисла?

Па, хајде да проверимо то.

Дакле, формирајмо отворен интервал.

Значи, он изгледа за све х вредности у...

и само треба да пронађете један отворен интервал.

Могу постојати многи отворени интервали где је ово тачно.

Али ако формирамо један отворен интервал који

изгледа некако тако, тако да ова вредност овде

буде с плус h.

Та вредност тачно овде с минус h.

И видите да за овај интервал,

функција у с, f oд c је дефинитивно

веће или једнако са вредношћу функције

у било којем другом делу тог отвореног интервала.

И дакле, можете замислити...охрабрујем вас

да паузирате снимак и можете записати

формалнију дефиницију шта би тачка локалног минимума

била.

Па, записаћемо...хајде да узмемо

d као наш локални минимум.

Можемо рећи да је f oд d тачка локалног минимума

fако је f oд d мање или једнако f

од х за све х једног интервала, једног отвореног интервала,

између d минус h и d плус h за h је веће од 0.

Дакле, можете пронаћи један интервал овде.

Дакле, рецимо да је ово d плус h.

Ово је d минус h.

Функција преко тог интервала, f oд d је увек

мање или једнако са било којом другом вредности,

f oд свих ових других х-ева у том интервалу.

И то је зашто ми кажемо да је то тачка локалног минимума.

Тако у свакодневном животу, локални максимум...

ако функција узима већу вредност у с

од свих других х вредности око с.

А ви сте у локалној минималној вредности

ако функција узима нижу вредност

у d од других х вредности близу d.