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Hier habe ich den Graphen der Funktion
y gleich f(x) gezeichnet.
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Hier habe ich den Graphen der Funktion
y gleich f(x) gezeichnet.
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Ich habe den Bereich zwischen 0
und irgendeiner positiven Zahl gezeichnet.
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Ich habe den Bereich zwischen 0
und irgendeiner positiven Zahl gezeichnet.
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Die Maxima und Minima möchte ich mir überlegen.
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Die Maxima und Minima möchte ich mir überlegen.
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Die absoluten Maxima und Minima
in einem bestimmten Bereich
hatten wir schon besprochen.
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Die absoluten Maxima und Minima
in einem bestimmten Bereich
hatten wir schon besprochen.
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Das absolute Maximum ist hier oben
gleich am Anfang des Bereiches.
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Das absolute Maximum ist hier oben
gleich am Anfang des Bereiches.
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Das absolute Maximum ist hier oben
gleich am Anfang des Bereiches.
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Wo x = 0 ist, liegt das absolute Maximum
für den gegebenen Bereich.
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Wo x = 0 ist, liegt das absolute Maximum
für den gegebenen Bereich.
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Das absolute Minimum
liegt am anderen Ende.
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Das absolute Minimum
liegt am anderen Ende.
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Wenn das a ist und das b,
dann ist das absolute Minimum gleich f(b),
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Wenn das a ist und das b,
dann ist das absolute Minimum gleich f(b),
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und das absolute Maximum ist f(a).
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und das absolute Maximum ist f(a).
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Dann merkst du: hey,
da gibt's noch andere interessante Stellen.
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Dann merkst du: hey,
da gibt's noch andere interessante Stellen.
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Der Wert an diesem Punkt
ist nicht der höchste von allen,
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Der Wert an diesem Punkt
ist nicht der höchste von allen,
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Der Wert an diesem Punkt
ist nicht der höchste von allen,
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Der Wert an diesem Punkt
ist nicht der höchste von allen,
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Der Wert an diesem Punkt
ist nicht der höchste von allen,
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aber verglichen mit den benachbarten Werten
liegt er auf einem Hügel.
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aber verglichen mit den benachbarten Werten
liegt er auf einem Hügel.
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Er ist größer,
wie ein lokales Maximum.
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Er ist größer,
wie ein lokales Maximum.
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So ein Wert heißt "relatives Maximum".
Nennen wir es f von c.
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So ein Wert heißt "relatives Maximum".
Nennen wir es f von c.
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So ein Wert heißt "relatives Maximum".
Nennen wir es f von c.
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So ein Wert heißt "relatives Maximum".
Nennen wir es f von c.
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So ein Wert heißt "relatives Maximum".
Nennen wir es f von c.
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Wir sagen "relativ"
weil es noch größere Werte gibt,
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Wir sagen "relativ"
weil es noch größere Werte gibt,
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aber in der Umgebung von c
ist f von c größer als alle anderen.
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aber in der Umgebung von c
ist f von c größer als alle anderen.
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Ebenso: nennen wir diese Stelle d.
f von d ist ein relatives Minimum.
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Ebenso: nennen wir diese Stelle d.
f von d ist ein relatives Minimum.
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Ebenso: nennen wir diese Stelle d.
f von d ist ein relatives Minimum.
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Ebenso: nennen wir diese Stelle d.
f von d ist ein relatives Minimum.
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Ebenso: nennen wir diese Stelle d.
f von d ist ein relatives Minimum.
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Über den ganzen Intervall oder Bereich
gibt es schon noch kleinere Werte,
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Über den ganzen Intervall oder Bereich
gibt es schon noch kleinere Werte,
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das absolute Minimum in dem Intervall ist zum Beispiel bei x = b.
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das absolute Minimum in dem Intervall ist zum Beispiel bei x = b.
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Das ist ein relatives Minimum, weil
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für alle x in der Umgebung von d
ist die Funktion f von x immer größer als f von d.
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für alle x in der Umgebung von d
ist die Funktion f von x immer größer als f von d.
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für alle x in der Umgebung von d
ist die Funktion f von x immer größer als f von d.
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Ein relatives Maximum liegt also immer höher
als die benachbarten Funktionswerte.
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Ein relatives Maximum liegt also immer höher
als die benachbarten Funktionswerte.
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Ein relatives Maximum liegt also immer höher
als die benachbarten Funktionswerte.
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Ein relatives Maximum liegt also immer höher
als die benachbarten Funktionswerte.
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Und ein relatives Minimum liegt tiefer
als die benachbarten Funktionswerte.
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Und ein relatives Minimum liegt tiefer
als die benachbarten Funktionswerte.
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Wie schreiben wir das mathematisch auf?
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Wie schreiben wir das mathematisch auf?
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Die Definition von vorhin sieht so aus:
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Die Definition von vorhin sieht so aus:
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f von c ist ein relatives Maximum
wenn f von c größer oder gleich f von x
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f von c ist ein relatives Maximum
wenn f von c größer oder gleich f von x
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f von c ist ein relatives Maximum
wenn f von c größer oder gleich f von x
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für alle x "in der Nähe"--
was heißt das genau?
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für alle x "in der Nähe"--
was heißt das genau?
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für alle x "in der Nähe"--
was heißt das genau?
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für alle x "in der Nähe"--
was heißt das genau?
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Klarer ausgedrückt:
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für alle x in einem offenen Intervall
zwischen c minus h und c plus h
wobei h irgendein Wert größer als 0 ist.
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für alle x in einem offenen Intervall
zwischen c minus h und c plus h
wobei h irgendein Wert größer als 0 ist.
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Ergibt die Definition Sinn?
Probieren wir es aus:
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Ergibt die Definition Sinn?
Probieren wir es aus:
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Konstruieren wir ein offenes Intervall.
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Konstruieren wir ein offenes Intervall.
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Es kann viele offene Intervalle geben, wo das stimmt. Wir müssen nur eins finden.
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Es kann viele offene Intervalle geben, wo das stimmt. Wir müssen nur eins finden.
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Sagen wir, c plus h liegt hier,
und c minus h liegt dort.
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Sagen wir, c plus h liegt hier,
und c minus h liegt dort.
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Sagen wir, c plus h liegt hier,
und c minus h liegt dort.
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Sagen wir, c plus h liegt hier,
und c minus h liegt dort.
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In diesem Intervall
liegt die Funktion an der Stelle c, f von c,
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In diesem Intervall
liegt die Funktion an der Stelle c, f von c,
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immer höher oder gleich hoch wie die Funktion von den anderen x - Werten in diesem Intervall.
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immer höher oder gleich hoch wie die Funktion von den anderen x - Werten in diesem Intervall.
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Jetzt kannst du das Video anhalten
und selber die formale Definition
eines relativen Minimums aufschreiben.
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Jetzt kannst du das Video anhalten
und selber die formale Definition
eines relativen Minimums aufschreiben.
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Jetzt kannst du das Video anhalten
und selber die formale Definition
eines relativen Minimums aufschreiben.
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Jetzt kannst du das Video anhalten
und selber die formale Definition
eines relativen Minimums aufschreiben.
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Nehmen wir d als unser relatives Minimum.
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Nehmen wir d als unser relatives Minimum.
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f von d ist ein relatives Mimimum
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wenn f von d kleiner oder gleich f von x ist
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für alle x in einem offenen Intervall
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zwischen d minus h und d plus h,
mit h größer als 0.
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Hier kannst du so ein Intervall finden.
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Das hier sei d plus h.
Hier sei d minus h.
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Das hier sei d plus h.
Hier sei d minus h.
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Über diesem Intervall ist
f von d immer kleiner oder gleich
alle anderen Funktionswerte,
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Über diesem Intervall ist
f von d immer kleiner oder gleich
alle anderen Funktionswerte,
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kleiner oder gleich den
f von all diesen anderen x in diesem Intervall.
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Deswegen heißt es relatives Minimum.
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In Alltagssprache ist f an der Stelle c
ein relatives Maximum
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wenn die Funktion an der Stelle c größer ist
als alle benachbarten x.
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wenn die Funktion an der Stelle c größer ist
als alle benachbarten x.
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Und du bist auf einem relativen Minimum,
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wenn die Funktion an der Stelle d einen tieferen Wert hat
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als an allen Stellen in der Nähe von d.
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