-
Před námi je graf funkce
y rovná se f(x).
-
Graf je na tomto intervalu, který vypadá,
že je od 0 do nějaké kladné hodnoty.
-
Chtěl bych se teď podívat
na body maxima a minima.
-
Už jsme trochu mluvili o globálních
maximech a minimech na intervalu,
-
které jsou zde
poměrně zřejmé.
-
Největší hodnotu y máme zde,
úplně na začátku našeho intervalu,
-
což vypadá jako bod
x rovno 0.
-
Toto je globální
maximum na našem intervalu.
-
Globální minimum na tomto intervalu
nastává na jeho druhém konci.
-
Pokud si tento bod
označíme ‚a‘ a tenhle ‚b‘,
-
tak globální minimum je f(b)
a globální maximum je f(a),
-
přičemž to vypadá,
že ‚a‘ se rovná 0.
-
Nejspíše si ale říkáte:
-
„Hej, jsou tady
i další zajímavé body.“
-
V tomto bodě sice hodnota
není největší, nenabýváme...
-
Hodnota v tomhle bodě
rozhodně není největší hodnotou,
-
kterou funkce na
tomto intervalu nabývá,
-
ale v porovnání s ostatními hodnotami
okolo ní tvoří něco jako kopeček.
-
Je větší než
okolní hodnoty.
-
Lokálně vypadá
trochu jako maximum.
-
Z toho důvodu tuhle
hodnotu nazýváme…
-
Tato hodnota...
-
Řekněme, že
zde je bod ‚c‘.
-
Toto je ‚c‘,
takže tady je f(c).
-
f(c) nazýváme
lokálním maximem.
-
Říkáme lokální, protože je jasné,
že funkce jinde nabývá větších hodnot,
-
ale pro body x poblíž ‚c‘ platí, že f(c)
je větší než hodnota v kterémkoliv z nich.
-
Obdobně...
-
Tohle slovo nikdy
nedokážu pořádně vyslovit.
-
...obdobně, pokud si tento
bod označíme jako ‚d‘,
-
tak f(d) vypadá jako
lokální minimum.
-
f(d) je lokální minimum neboli
hodnota lokálního minima.
-
Na celém intervalu opět rozhodně najdeme
body, v nichž je funkční hodnota menší,
-
známe dokonce globální
minimum na tomto intervalu,
-
které nastává
v bodě x rovno ‚b‘.
-
Toto je však lokální minimum,
protože je menší než…
-
Podíváme-li se na body x okolo ‚d‘,
funkce má v těchto bodech větší hodnotu,
-
než jaká je její
hodnota v bodě ‚d‘.
-
Zamysleme
se tedy...
-
Je sice hezké,
když řeknu,
-
že lokální maximum
nastane v tom bodě,
-
v němž je funkční hodnota větší
než její hodnoty ve všech bodech okolo,
-
a že minimum
nastává,
-
pokud je funkční hodnota v daném bodě
menší než ve všech bodech okolo,
-
ale jak to zapsat
matematicky?
-
Nyní vám
napíšu definici,
-
což je jen formální způsob,
jak říct to, co jsme právě řekli.
-
Řekneme, že f(c) je lokální maximum,
pokud je f(c) větší nebo rovno než f(x),
-
a to pro všechna x, která…
-
Mohli bychom tak nějak obyčejně napsat:
„Pro všechna x blízko ‚c‘.“
-
Tak bychom to
mohli zapsat.
-
To ale není zrovna přesné, protože co to
přesně znamená být blízko ‚c‘?
-
Přesněji to
vyjádříme takto:
-
Pro všechna x z otevřeného intervalu
(c minus h; c plus h),
-
kde ‚h‘ je
větší než nula.
-
Dává to smysl?
-
Podívejme
se na to.
-
Vytvořme si
otevřený interval…
-
Vypadá to, že pro
všechny hodnoty x v…
-
Stačí najít
jeden otevřený interval.
-
Může existovat mnoho otevřených
intervalů, kde to platí.
-
Když vytvoříme otevřený interval,
který vypadá nějak takto…
-
Tato hodnota je (c plus h)
a tato hodnota je (c minus h).
-
Vidíte, že na tomto intervalu
je hodnota funkce v bodě ‚c‘, tedy f(c),
-
určitě větší nebo rovna hodnotě funkce v
jakémkoliv jiném bodě tohoto intervalu.
-
Asi už víte...
-
Zastavte si video
a zkuste si napsat,
-
jak by vypadala formální
definice lokálního minima.
-
Napsali bychom…
-
Řekněme, že ‚d‘ je
bod lokálního minima.
-
Řekneme, že f(d) je lokální minimum,
pokud je f(d) menší nebo rovno f(x),
-
a to pro všechna x z otevřeného
intervalu (d minus h; d plus h),
-
kde ‚h‘ je
větší než nula.
-
Takový interval
zde dokážeme najít.
-
Řekněme, že tohle je (d plus h)
a tohle (d minus h).
-
Funkce na
tomto intervalu,
-
f(d), bude vždy menší nebo rovno než
hodnota v libovolném jiném bodě,
-
než hodnoty funkce f ve všech
ostatních bodech x v tomto intervalu.
-
Proto říkáme,
že je to lokální minimum.
-
V běžné řeči jde
o lokální maximum tehdy,
-
když funkce nabývá větší hodnotu v ‚c‘
než v bodech x okolo ‚c',
-
a o lokální minimum
jde tehdy,
-
když funkce nabývá menší hodnotu v ‚d‘
než v bodech x okolo ‚d'.
Khan Academy
