Relative minima and maxima

Тук съм начертал графиката на функцията

у = f(х).

Начертал съм я за този интервал.

Изглежда така, че е между 0 и някаква положителна стойност.

Искам да помислим за максималната и минималната точки

от графиката.

Вече говорихме малко за точките на абсолютен максимум

и абсолютен минимум в даден интервал.

Тук те са пределно ясни.

Тук имаме точка на максимум,

точно в началото на нашия интервал.

Като че ли е при х = 0,

това е точката на абсолютен максимум в интервала.

И точката на абсолютен минимум в интервала

се вижда в другия край.

Ако това е а, това е b,

точката на абсолютен минимум е f(b).

А точката на абсолютен максимум е f(a).

И като че ли а = 0.

Може би забелязваш, че

тук има и други интересни точки.

Тази точка тук, тя не е при най-голяма стойност.

Не вземаме предвид тази стойност тук.

Определено тя не е най-голямата стойност,

която приема функцията в този интервал.

Но по отношение на другите стойности около нея,

кривата изглежда малко като хълм.

По-широка е от другите.

Локално тя изглежда малко като максимум.

Ето защо тази стойност тук

ще я наречем – да кажем че това тук е c.

Това е c, следователно това е f(c).

Ще назовем f(c) относителна максимална стойност.

Нарича се относителна, понеже очевидно функцията

придобива други стойности, които са по-големи от нея.

Но при стойностите на х в близост до c,

f(c) е по-голяма от всички тях.

Подобно на това - никога не мога да кажа тази дума.

Подобно на това, ако тази точка тук е d,

f(d) прилича на точка на относителен минимум

или на относително минимална стойност.

f(d) е относителен минимум или стойност на локален минимум.

Пак да кажем, че в рамките на целия интервал

определено има точки, които са на по-ниско ниво.

Определихме, че абсолютният минимум за интервала

в х е равен на b.

Но това е относителен минимум или локален минимум,

понеже е по-нисък от...

ако погледнем стойностите на х около d, функцията при тези стойности

е по-високо отколкото когато стигнем d.

Така че нека помислим.

Можем да кажем, че се намираме в относителен максимум

ако определим по-голяма стойност на нашата функция

от всяка сред околните стойности.

И сме на минимум, ако се намираме

на по-малка стойност от всички съседни области.

Но как можем да напишем това математически?

Тук ще ви дам определението,

което си е един по-формален начин

да се каже това, което вече казахме.

Казваме, че f(c) е относителен max,

относителна максимална стойност,

ако f(c) е по-голямо или равно на f(x) за всички х,

които... можем да кажем на случаен принцип... за всички х, които са близо до c.

Това можем да го запишем така.

Но това не е много точно, защото какво

означава да сме близо до c?

Така че един по-точен начин на изказване е,

че важи за всички х, които са в рамките на даден отворен интервал

от (c – h) до (с + h), където h е някаква стойност, по-голяма от 0.

Така че има ли смисъл това?

Нека го погледнем.

Нека определим един отворен интервал.

Изглежда, че за всички стойности на х...

трябва да намерим един отворен интервал...

Може да има много отворени интервали, за които това е вярно.

Но ако определим един отворен интервал, който

изглежда така, че тази стойност тук

е (с + h).

Тази стойност тук е (с – h).

И се вижда, че в рамките на този интервал,

стойността на функцията f(с) е определено

по-голяма или равна на стойността на тази функция

във всяка друга част на този отворен интервал.

Така че човек може да си представи – насърчавам те

да спреш видеото на пауза, и да запишеш

какво ще е по-формалното определение за точка

на относителен минимум.

Само ще запишем –

нека d е нашият относителен минимум.

Можем да кажем, че f(d) е точка на относителен минимум

ако f(d) е по-малко или равно на f(х)

за всички х в отворения интервал

между (d – h) и (d + h), когато h е по-голямо от 0.

Така че тук можем да намерим интервал.

Да кажем, че това е (d + h).

Това пък е (d – h).

Функцията в този интервал f(d) е винаги

по-малка или равна на всяка от другите стойности

на f за всички други х в този интервал.

Ето защо казваме, че това е точка на относителен минимум.

И в ежедневния език, относителен максимум е,

ако функцията има по-голяма стойност при c

отколкото за другите х-стойностите около с.

И имаме относителен минимум

ако функцията заема по-ниска стойност

при d отколкото при х-стойностите близо до d.