Introduction to the coordinate plane | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy

Bridging algebra and geometry. What makes linear equations so linear.

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ここにあるのはルネ・デカルトの絵です。

繰り返しになりますが，彼は数学と
哲学の両方の偉人の 1 人です。

そしてあなたはちょっとした
共通点を見ると思います。

それは偉大な哲学者はまた

偉大な数学者であり，
その逆もそうです。

そして彼はある意味ガリレオと
同時期の人とも言えます。

彼は 32 歳若かったのですが，
ガリレオの死後に亡くなっています。

この人はもっと若くして
亡くなったのです。

ガリレオは 70 歳を越えて生きました。

デカルトは 54 歳の若さで死にました。

そして彼はおそらくこの引用によって
大衆文化で良く知られています。

とても哲学的な引用です。

「我思うゆえに我あり。」

しかし私はこちらも
紹介したいと思います。

これは代数とは関係ありませんが，

私はこの引用はとても
素敵だと思います。

たぶん，ここにあるものは彼のほとんど
知られていない引用でしょう。

そして私はこれが好きです。
なぜならこれはとても実用的であり，

これらの偉大な心，これらの
哲学と数学の巨人が，

一日の終わりには
普通の人であったことに

私たちに気付かせてくれるからです。

彼は，「ただ挑戦し続けなさい。

ただ挑戦し続けなさい。

私は可能な限りの間違いを
全てしてきました。

しかし私はただ挑戦し続けたのです。」

私はこれがとてもとても良い
人生のアドバイスだと思います。

さて，彼は哲学と数学の分野で
いろいろなことをしてきました。

しかし，私がここで代数の基礎を
作った人として彼を含める理由は，

彼が代数と幾何学の間の強い関係を

発見した第一人者だからです。

たとえばこの左側に代数の
世界があるとしましょう。

これについてはこれまでに
少し議論してきました。

記号を扱う方程式があり，

それらの記号は基本的に

値をとることができます。

たとえば何か y が 2x ひく 1 に
等しいというものがあって，

これは x と y がどんなもので
あっても，その間の関係を与えています。

ここで表を作って x の値を選ぶと，

その y の値が何になるかを
考えることができます。

私は x のランダムな値を選ぶことができ，

それから y が何かを求めます。

ただ，私はここであまり計算が
複雑にならないよう，

比較的素直な値を選ぶことにします。

たとえば，x が -2 の時，

y は 2 かける -2 ひく 1 で，

それは -4 ひく 1，それは -5 です。

もし，x が -1 ならば，

y は 2 かける -1 ひく 1 で，

それが等しいのは -2 ひく 1，
それは -3 です。

もし，x が 0 ならば，y は
2 かける 0 ひく 1 です。

2 かける 0 は 0 で，それから
1 をひけば -1 です。

あといくつか計算しましょう。
x が 1 ならば…

ここではどんな値を選んでもかまいません。

そうですね。x がマイナスルート 2
だったらどうでしょうか?

または，x がマイナス 2 分の 5
とか，7 分の 6 だったら?

しかし，私はこれらの数にしました。

それはこういう数ならば，
y の値を求める時に，

計算が簡単になるからです。

x が 1 の時には，y は
2 かける 1 ひく 1 になります。

2 かける 1 は 2 で，
それからひく 1 は 1 です。

もう少しやってみましょう。

もう 1 個をまだ使っていない
色で書きましょう。

そうですね。この紫色にします。

もし x が 2 ならば，
y は 2 かける 2，

x が 2 なので，それひく 1。

するとこれは 4 ひく 1 で，それは
3 に等しいです。いいでしょう。

私はこの関係をある意味
サンプルしました。

よし, これは変数 y と 変数 x の間の
一般的な関係を表しています。

そして私はそれをもう少しだけ
具体的にしてみました。

よし，これらの x の値の
それぞれについて，

対応する y の値は何ですか?

ここでデカルトが気がついたのは，

これを可視化できるということです。

これらのそれぞれの点を
可視化することができます。

しかしそれはまた，一般にこの
関係を可視化することでもあります。

基本的に彼がしたことは，

このとても抽象的な世界，
記号代数と，

幾何，つまり形や大きさや角度，
の間の橋渡しです。

するとこちらでは，
幾何学の世界があります。

明らかに，歴史上の人々が，
たくさんの人々がいて，

歴史に忘れ去られた人も，これに
ついて手を出した人もいるでしょう。

しかしデカルト以前には，一般に

幾何はユークリッド幾何と
見られていました。

それは基本的に中学の 2 年や 3 年，
または伝統的な高校 1 年生の

授業で習った幾何学です。

そして幾何学というのは，3 角形や
その角度の間の関係，

円やその半径との間の関係，

円に内接する 3 角形，
などなどを考える学問です。

これについては幾何学の
プレイリストにもっと詳しいです。

しかしデカルトは言ったことは、

私はこれら 3 角形やこれらの円を
考えるように，

この関係についても
可視化して表現できる。

彼が言うには，もし
1 枚の紙を見るのなら，

もし 2 次元の平面について
考えるのならば，

1 枚の紙は 2 次元の平面の
一部と考えることもできる。

私たちがこれを 2 次元と呼ぶのは，
そこには 2 つの方向があるからです。

上下方向があります。
これが 1 つの方向です。

それを描いてみましょう。

これは青で描きます。なぜなら，
ものを可視化しようとしているからです。

なので(今回)幾何学で
使った色にします。

すると上下の方向があります。

それから左右の方向があります。

これが 2 次元平面と呼ぶ理由です。

もし 3 次元を扱うのであれば，
奥行き方向があります。

そしてスクリーン上で 2 次元を
扱うのは簡単です。

なぜなら，スクリーンは
2 次元だからです。

そして彼が言うには，そうですね。
ここには 2 個の変数があるでしょう。

そしてこれらはこの関係があります。

そうであれば，これらの変数を

ここにあるこれらの次元のそれぞれに
結びつけでもいいのではないか。

これは慣習ですが，
変数 y を考えましょう。

それは実は従属変数です。
こちらで見たように，

それは x に依存します。それを
垂直軸に置くことにしましょう。

そして独立変数を置きましょう。

それはここで y がどうなるかを見るために

ランダムに選んだ値のことです。

それは水平軸上に置きましょう。

実は x と y を使うという
慣習もデカルトからきています。

後になると z もでてきます。

代数では未知数や操作している
変数はだいたい x, y, z を使います。

しかし彼が言うには，もしこれを
このように考えるのならば，

これらの次元に数をふれば，・・・

ではこれを x 方向と言いましょう。

そしてここを -3 としましょう。

ここを -2 に，

ここを -1 にします。

ここは 0 です。

私は今，x 方向，左右方向だけ
数をふっています。

ここは +1，

ここは +2，

ここは +3 です。

そして y 方向も同じようにできます。

すると，これを -5 にしましょう。

-4, -3, - ・・・，うーん。

もう少し綺麗に描きましょう。

これをもう少し綺麗にします。

これを消して，これをもう
少し下まで延ばして，

あまりごちゃごちゃしないように
-5 まで広げます。

ずっとこの下までもってきます。

それで数をふりましょう。

ここは 1,
ここは 2,

ここは 3,

そしてここは -1, -2。
これは単なる慣習です。

名前は逆になっていたかもしれません。

こちらが x，こちらが y だったかも
しれませんし，

こちらが正方向で，

こちらが負の方向だったかもしれません。

デカルトが始めて，後の人々は
それに習ってそのままです。

-2, -3, -4, -5 です。

そして彼はこう言いました:

これらの値の組を 2 次元の点と
関係づけることができる。

x 座標をとり，ここにある x の値をとる。

そして OK それは -2 だと言う。

それはここにある左右の方向にそっている。

ここでは負なので左に行く。

それから垂直方向の -5 を関係づける。

すると，y の値は -5 で，

左に 2，下に 5 行くと，

ここにあるこの点につく。

そして彼が言うには，
これらの 2 個の値，-2 と -5 は，

この 2 次元の平面の
この点と関係づけることができる。

ですからこの点は 2 個の
「座標」を持ち，

この点をどうやってみつけるかがわかる。
-2, -5。

そしてこれらの座標は
デカルトが考えたので，

デカルト座標と言います。

彼は突然これらの座標平面上で
点と関係づけました。

それから彼は・・・，よし，
もう 1 つやってみましょう。

この，ほかの関係もあります。

x が -1 に等しく，

y が -3 に等しい。

すると，x が -1 に等しく，
y が -3 に等しい。

それはここにある点です。

慣習では，座標を並べる時には，

まず，x 座標を書き，
それから y 座標を書きます。

皆がそういうふうに
書くように決めたのです。

-1, -3，それはここにある点です。

そして x が 0 で y が -1 の点があります。

x が 0 の時というのは，

右にも左にも行きません。

y が -1 というのは，
1 下に行くという意味です。

するとここがその点です。

0, -1 はここです。

こうやって続けていくことができます。

x が 1, y が 1，

x が 1 の時, y が 1，

x が 2, y が 3 です。

x が 2 の時は, y が 3 です。

実は，これは同じ紫で書きましょう。

x が 2 の時，y は 3，2 カンマ 3 です。

ここにあるオレンジは 1 カンマ 1 です。

そして，これ自身素敵なことです。

私は基本的に可能な x を
いくつかサンプルしただけです。

しかし，彼が本当に
理解したことというのは，

これらの可能な x の値を
サンプルしただけではありません。

もしここで x の値を
サンプルし続けていけば，

この間の x を全部
サンプルしようとすれば，

実は 1 本の直線がでてきます。

もしあなたが可能な x を全部とると，

こんなふうな直線が出てきます。

このようなものです。

そしてどんな関係でも，もしどんな
x をとって，それから y を求めれば，

それはこの直線上の点を表します。

またはこれについての
他の考えかたとしては，

この直線上のどんな点でも，ここにある
方程式の解を表すということです。

たとえば，ここの点は，

だいたい x が 1.5 で，
y が 2くらい でしょう。

1.5 カンマ 2 と書きましょう。

それはこの方程式の解の 1 つです。

x が 1.5 の時，2 かける 1.5 は
3 で，それひく 1 は 2 です。

それはここです。

すると突然，彼はこの
ギャップを埋めました。

または，代数と幾何学の間の
関係を埋めたのです。

これでこのここにある方程式を
満たす x と y の組

全てを可視化することができます。

つまり彼はこの間に
橋をかけた人です。

そのために，これらの点を
示すために使われる

座標のことを
デカルト座標と言うのです。

今後も見ていきますが，私たちが
習う最初のタイプの方程式は

ここにある形の方程式です。

そして伝統的な
代数のカリキュラムでは，

これらの方程式は
線形方程式と言います。

もしかしたらあなたは
こう考えるかもしれません。

よし，これが方程式だ。
これがこれに等しいとわかる。

しかしこれの何が「線形」なのか?

何がこれを「線の形」にするのか?

なぜこれらが線形というのかを
理解するには，

あなたはルネ・デカルトがした，
ここの間を埋める必要があります。

なぜなら，これをユークリッド平面上の
デカルト座標を使ってプロットするなら，

あなたは 1 本の直線を得るからです。

そして今後は，あなたは他の直線ではない
タイプの方程式にも出会います。

そこでは曲線や，もっとクレイジーで
ファンキーな何かにも出会うでしょう。