Introduction to the coordinate plane | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy

Bridging algebra and geometry. What makes linear equations so linear.

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Das hier ist ein Bild von René Descartes.

Einer der großen Denker,

sowohl in der Mathematik als auch in der Philosophie.

Vielleicht hast du schon bermerkt, dass die

großen Philosophen auch große

Mathematiker waren und umgekehrt.

Er war ein Zeitgenosse von Galileo.

Er war 32 Jahre jünger,
aber starb schon kurz nach Galileo.

Er war 32 Jahre jünger,
aber starb schon kurz nach Galileo.

Er starb also in wesentlich jüngeren Jahren.

Galileo war Ende 70.

Als Descartes starb, war er erst 54 Jahre alt.

Er ist wahrscheinlich vor allem durch das, sehr philosophische, folgende Zitat berühmt:

Er ist wahrscheinlich vor allem durch das, sehr philosophische, folgende Zitat berühmt:

"Ich denke, also bin ich".

Ein anderes schönes Zitat von ihm,

das wenig mit Algebra zu tun hat mir aber gefällt,

wahrscheinlich sein unbekanntestes
Zitat, ist das hier drüben.

Ich mag es, da es wirklich praktisch ist,

und es dir zeigt, dass diese großen Denker,

diese Eckpfeiler der Philosophie und der Mathematik,

am Ende des Tages auch nur Menschen waren.

Es lautet: "Mach immer weiter.

Mach immer weiter.

Ich habe jeden erdenklichen Fehler gemacht.

Aber ich habe immer weiter gemacht."

Und das ist, denke ich, ein wirklich guter Ratschlag.

Er hat viele Dinge in der Philosophie und in der Mathematik bewirkt.

Der Grund, warum ich ihn hier erwähne,

wo wir uns die Grundzüge der Algebra erarbeiten,

ist, dass er für eine ganz besonders

wichtige Verbindung zwischen
Algebra und Geometrie verantwortlich ist.

Auf der linken Seite steht die Welt der Algebra,

die wir ja schon ein wenig behandelt haben.

Hier gibt es Gleichungen mit Symbolen,

und diese Symbole können

verschiedene Werte annehmen.

Das könnte etwas sein wie
y gleich 2x minus 1.

Wir erhalten dadurch eine Beziehung zwischen x

und y.

Wir können eine Tabelle zeichnen
und Werte für x aussuchen

und dann Werte für y ermitteln.

Ich nehme einen zufälligen Wert für x

und dann ermitteln wir y.

Ich nehme einfache Werte

damit die Rechung nicht zu kompliziert wird.

Nun, zum Beispiel, wenn x geich -2 ist,

dann ist y 2 mal -2

minus 1 und das ist -4 minus 1 was -5 ergibt.

Wenn x -1 ist, dann ist y

2 mal -1 minus 1,

und das ist gleich--
-2 minus 1 also -3.

Wenn x gleich 0 ist, dann ist y
2 mal 0 minus 1.

2 mal 0 ist 0.
0 minus 1 ist einfach -1.

Ich mache noch ein paar Beispiele.

Ich hätte hier jeden beliebigen Wert nehmen können.

Ich hätte auch sagen können, hey,

was passiert, wenn
x gleich minus Wurzel 2 ist,

oder wenn x -5/2 oder 6/7 ist?

Aber ich wähle diese Zahlen, da es die

Rechnungen viel einfacher macht,

wenn ich versuche y zu ermitteln.

Wenn x gleich 1 ist, dann
ist y gleich 2 mal 1 minus 1,

2 mal 1 ist 2, minus 1 ist 1.

Ich mache noch eine mehr.

Ich mache noch eine mehr
in einer anderen Farbe.

In Lila.

Wenn x gleich 2 ist,
dann ist y

2 mal 2, das ist 4,

minus 1 ist gleich 3.

Nun gut.

Ich habe die Beziehung überprüft.

Ich sagte, nun, das beschreibt
die allgemeine Beziehung

zwischen der Variablen y
und der Variablen x.

Und dann habe ich das
etwas konkreter gemacht.

Ich habe gesagt, ok,
für jeden dieser x-Werte

was ist der dazugehörige y-Wert?

Und was Descartes bemerkte ist,

dass man diesen Zusammenhang
graphisch darstellen kann.

Du kannst diese Punkte einzeln darstellen,

aber das kann dir auch helfen

die Beziehung allgemein darzustellen.

Er hat eine Brücke geschlagen, zwischen

Er hat eine Brücke geschlagen, zwischen

der abstrakten, symbolischen
Algebra und der Geometrie,

die sich mit Formen, Größen
und Winkeln beschäftigt.

Hier drüben hast du
die Welt der Geometrie.

Und natürlich gab es
andere Leute, vielleicht von

der Geschichte vergessen,
die sich auch damit beschäftigt haben.

Aber vor Descartes

gab es nur die Euklidische Geometrie,

das ist im wesentlichen die Geometrie,

die du in der achten oder neunten Klasse

gelernt hast.

Das ist die Geometrie, die

die Beziehung zwischen Dreiecken
und deren Winkel betrachtet,

oder die Beziehung zwischen einem Kreis
und dessen Radius,

und die Beziehung zwischen
einem Dreieck und seinem Umkreis,

und all sowas.

Wir behandeln dies alles im Geometriebereich.

Aber Descartes dachte sich,

dass er diese Beziehung graphisch darstellen,

und ebenso untersuchen kann,
wie Dreiecke und Kreise.

Ein Blatt Papier kann man sich als einen

Ausschnitt aus einem
zweidimensionalen Raum vorstellen.

Ausschnitt aus einem
zweidimensionalen Raum vorstellen.

Ausschnitt aus einem
zweidimensionalen Raum vorstellen.

Wir nennen das zweidimensional,

da es zwei Richtungen gibt,
in die man gehen kann.

Man kann hoch und runter gehen.

Das ist die eine Richtung.

Lass mich das einmal zeichnen.

Ich mache das in blau,

der Geometriefarbe.

Also, es gibt die Richtung hoch/runter.

Und die Richtung rechts/links.

Daher nennen wir es zweidimesional.

Wenn wir etwas dreidimensional darstellen,

haben wir dazu eine Dimension nach vorne und hinten.

Zwei Dimensionen lassen sich sehr
einfach auf dem Bildschirm darstellen,

da der Bildschirm zweidimensional ist.

Und Descartes dachte sich, nun,
da sind nun zwei Variablen,

und die haben diese Beziehung.

Warum ordnet man nicht
jede dieser Variablen einer

Dimension zu?

Und aus Konvention, lass uns sagen, dass y,

in unserem Fall die abhängige Variable,

y ist abhängig von x-- lass uns diese auf die vertikale Achse schreiben.

Die unabhängige Variable,

die, bei der wir zufällige Werte nehmen,

um zu sehen, was y wird,

lass uns diese auf die horizontale Achse setzten.

Und tatsächlich war es auch Descartes,

auf den die Konvention zurückgeht,
dass wir x und y und

später auch z in der Algebra benutzen.

Entweder als unbekannte Variable,
oder als die Variable,

die du veränderst.

Aber er dachte sich, nun,

wenn wir die Dimensionen so nummerieren,

das in der x-Dinmension, hier,

-3 ist.

Und hier -2.

Das ist -1.

Das ist 0.

Nun, ich nummeriere nur die x-Dimension,

die rechts/links Richtung.

Hier ist 1.

Hier 2.

Hier 3.

Und wir können dies auch
in der y-Dimension machen.

Hier wäre dann -5,

-4, -3,

Ich versuche das noch etwas ordentlicher zu machen.

Ich wische das noch einmal weg.

Ich verlängere das noch etwas nach unten,

so dass ich bis -5 komme,

ohne das es so unordentlich aussieht.

Also bis hier unten. Nun können wir

die Achsen beschriften.

Hier ist 1.

Hier ist 2.

Hier ist 3.

Und hier steht dann
-1, -2.

Und all dies sind Konventionen.

Es hätte auch andersherum
beschriftet werden können.

Wir hätten uns dazu entscheiden können, x hierhin zu setzen und y hier.

Und die positive Richtung hier, und die

negative hier.

Aber das ist die Übereinkunft, die getroffen wurde,

und diese begann mit Descartes.

-2, -3, -4, und -5.

Und dann dachte er sich, nun, ich denke ich könnte

jedes dieser Zahlenpaare einem Punkt
in diesen zwei Dimensionen zuordenen.

Ich nehme diesen x-Wert hier,

und sage, ok, das ist -2.

Das wäre hier drüben in der
links/rechts Dimension.

Ich gehe nach linkts,
da der Wert negativ ist.

Und dieser Wert gehört zu -5

in der vertikalen Dimension.

Der y-Wert ist -5,

und wenn ich 2 nach links gehe
und 5 runter,

dann komme ich zu diesem Punkt hier.

Damit hat er gesagt, diese beiden Werte,
-2 und -5,

gehören zu diesem Punkt hier in diesem

zweidimensionalen Koordinatensystem.

Dieser Punkt hat die Koordinaten, die mir sagen

wo ich ihn finde, -2, -5.

Diese Koordinaten nennt man
"Kartesische Koordinaten",

benannt nach Rene Descartes,

da er es war, der sie erfand.

Er hat diese Darstellung der Beziehung

zwischen Punkten in einem
Koordinatensystem erfunden.

Und es geht noch weiter.

Es gibt noch eine Beziehung bei der

x gleich -1 ist,

und y ist -3.

x ist -1,
y ist -3.

Das ist dieser Punkt hier drüben.

Die Konvention besagt,

dass, wenn du die Koordinaten aufschreibst,

zuerst die x-Koordinate
und dann die y-Koordinate steht.

Das wurde einfach so festgelegt.

-1, -3, das ist

der Punkt hier drüben.

Wenn x gleich null ist,
ist y -1.

Wenn x gleich 0 ist,

gehe ich nicht nach links oder rechts,
und mit y gleich -1,

gehe ich eins nach unten.

Das ist der Punkt hier drüben.

(0/-1), genau hier.

So kann man weiter machen.

Wenn x gleich 1 ist,
ist y gleich 1.

Wenn x gleich 1 ist,
ist y gleich 1.

Wenn x gleich 2 ist,
ist y gleich 3.

Wenn x gleich 2 ist,
ist y gleich 3.

Lass mich das in der gleichen Farbe machen.

Wenn x gleich 2 ist,
dann ist y gleich 3, (2/3).

Und der hier drüben in orange
hat die Koordinaten (1/1).

Das ist toll.

Im Grunde genommen habe
ich nur mögliche x'e ausprobiert.

Aber was er dann erkannte war,

dass, wenn du zusätzlich zu diesen,

auch alle anderen x'e dazwischen nehmen würdest,

dann würden all diese Punkte
am Ende eine Gerade bilden.

Also wenn du alle möglichen Werte
für x eingesetzt hättest,

dann bekämest du am Ende
eine Gerade, die in etwa

so aussähe, wie diese hier.

Und wenn du nun ein beliebiges x auswählst,
und ein y dazu findest,

wird das Ergebnis ein Punkt auf dieser Geraden sein.

Man könnte auch sagen,
jeder Punkt auf dieser Geraden,

ist eine Lösung dieser Gleichung hier drüben.

Also wenn du diesen Punkt hier hast--

x gleich 1,5
und y gleich 2.

(1,5/2).

Das ist eine Lösung dieser Gleichung.

Wenn x gleich 1,5 ist, 2 mal 1,5 ist 3.
3 minus 1 ist 2.

Das ist hier drüben.

Und plötzlich haben wir eine Brücke, die die

Algebra mit der Geometrie verbindet.

Wir können nun alle x / y Paare zeichen,

die der Gleichung hier drüben entsprechen.

Er ist verantwortlich für diese Brücke,

und daher heißen die Koordinaten,
die wir nutzen,

um diese Punkte einzuzeichen,
Kartesische Koordinaten.

Und die erste Art von Gleichungen,
mit denen wir uns

beschäftigen werden,
werden von dieser Form hier sein.

In einem herkömmlichen Algebra Lehrplan,

nennt man diese "Lineare Gleichungen".

nennt man diese "Lineare Gleichungen".

Vielleicht sagst du jetzt,
"Ok, das ist eine Gleichung."

"Ich sehe, dass das hier
gleich dem hier ist."

"Aber was soll daran linear sein?"

"Warum sehen diese wie eine Gerade aus?"

Und um zu erkennen, warum diese linear sind,

musst du den Schritt gehen,
den René Descartes gemacht hat,

denn wenn du die
Kartesischen Koordinaten, in ein

Euklidisches Koordinatensystem einträgst,
dann erhälst du eine Gerade.

Und wir werden bald sehen, dass es

noch andere Gleichungen gibt,
bei der du keine Gerade erhälst,

sondern eine Kurve oder etwas anderes verrücktes.