Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
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0:01 - 0:03配方的影片中我一直在說
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0:03 - 0:06二次公式本質就是配方
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0:06 - 0:07二次公式本質就是配方
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0:07 - 0:10我一直以爲我做過證明
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0:10 - 0:12其實我卻沒有
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0:12 - 0:17下面通過配方證明二次公式
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0:20 - 0:23二次方程也就是我們要求解的
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0:23 - 0:26二次方程也就是我們要求解的
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0:26 - 0:29而求解的結果通常用二次公式表示
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0:29 - 0:30而求解的結果通常用二次公式表示
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0:30 - 0:33我不怎麽喜歡糾結於術語
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0:30 - 0:45oCourse字幕組翻譯：只做公開課的字幕組 http://ocourse.org
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0:33 - 0:36二次方程是
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0:36 - 0:46Ax2+Bx+C=0
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0:46 - 0:49下面配方 怎麽做呢
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0:49 - 0:52兩側先同時減去C
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0:52 - 1:01有Ax2+Bx=-C
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1:01 - 1:03配方那一講我說過
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1:03 - 1:06我不喜歡x2項係數
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1:06 - 1:08我喜歡將方程兩側同時除以A
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1:08 - 1:11我喜歡將方程兩側同時除以A
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1:11 - 1:21於是有x2+B/Ax=-C/A
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1:21 - 1:28於是有x2+B/Ax=-C/A
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1:28 - 1:30然後準備配方
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1:30 - 1:31配方
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1:31 - 1:35也就是在表達式上加上某數
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1:35 - 1:39使得表達式成爲完全平方式
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1:39 - 1:43什麽意思呢 我附帶講解下
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1:43 - 1:52(x+a)2=x2+2ax+a2 對吧
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1:52 - 1:58(x+a)2=x2+2ax+a2 對吧
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1:58 - 2:01左側這裡加上一個數後
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2:01 - 2:06表達式會像這樣 然後反過來
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2:06 - 2:10它等於x+某數的平方
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2:10 - 2:12那麽兩側同時加上什麽呢
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2:12 - 2:15看了上次的配方影片應該能有些啓發
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2:15 - 2:18看了上次的配方影片應該能有些啓發
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2:18 - 2:23這裡是B/A 對應2a
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2:23 - 2:28a是x項係數的1/2
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2:28 - 2:32這是a 然後要加a2
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2:32 - 2:35所以 取這個的1/2 然後平方
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2:35 - 2:36加到兩側
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2:36 - 2:41我換種顏色 洋紅吧
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2:41 - 2:43取這個的1/2 配方
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2:43 - 2:47就是我們之前學的 加上這個的1/2
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2:47 - 2:50也就是B/(2A)
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2:50 - 2:54乘以1/2後 還要平方
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2:54 - 2:56方程左側運算
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2:56 - 3:01右側也得相應運算 加[B/(2A)]2
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3:07 - 3:11此時方程左側就是(x+某數)2的形式
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3:11 - 3:15此時方程左側就是(x+某數)2的形式
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3:15 - 3:19具體是什麽 我換種顏色
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3:19 - 3:22方程左側具體是什麽呢
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3:22 - 3:29可以反著按這個等式 x加什麽
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3:29 - 3:33我說過 a是1/2的x項係數
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3:33 - 3:36或者說 最後這個的平方根
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3:36 - 3:41其實a也就是B/(2A)
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3:41 - 3:49所以左側是[x+B/(2A)]2
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3:49 - 3:56再看方程右側 看看怎麽化簡
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3:56 - 4:00再看方程右側 看看怎麽化簡
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4:00 - 4:05首先看公分母是多少
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4:05 - 4:08這個平方要算出來 所以是4A2
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4:08 - 4:11這個平方要算出來 所以是4A2
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4:11 - 4:17這個是B2/(4A2)
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4:17 - 4:19這兩個分式相加
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4:19 - 4:30通分 分母是4A2
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4:30 - 4:34分母是4A2 那麽-C/A是什麽
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4:34 - 4:39分母乘以了4A
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4:39 - 4:42那麽分子也要乘以4A
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4:42 - 4:50分子得到-4AC
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4:50 - 4:55而這裡B2/(4A2) 上面是B2
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4:55 - 4:57以上是一些代數運算
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4:57 - 4:59但願大家明白 我展開了這個
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4:59 - 5:02求平方 得到B2/(4A2)
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5:02 - 5:05然後加到這裡 通分
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5:05 - 5:10-C/A變成4AC/(4A2)
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5:10 - 5:13然後兩側同時開根號
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5:13 - 5:17這大家或許就眼熟了
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5:17 - 5:21兩側同時開根號
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5:21 - 5:30得到x+B/(2A)=這個的平方根
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5:30 - 5:32分子分母同時開根號
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5:32 - 5:36分子中 B2放到前面
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5:36 - 5:38改變順序 不影響結果
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5:38 - 5:44根號(B2-4AC)
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5:44 - 5:47這是分子開根號的結果
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5:47 - 5:50再看分母開根號
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5:50 - 5:524A2的平方根是多少
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5:52 - 5:56是2A
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5:56 - 5:59還有一點很重要
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5:59 - 6:00這是求平方根
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6:00 - 6:01不是求算術平方根
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6:01 - 6:03平方根有正有負
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6:03 - 6:07這個我們看得很多了
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6:07 - 6:09這裡其實也可以有個±號
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6:09 - 6:11寫上面 寫下面都行
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6:11 - 6:12只寫一次就行了
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6:12 - 6:15想想 爲什麽只用寫一次
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6:15 - 6:18如果上下都有±號
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6:18 - 6:19有時會抵消 比如-和-
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6:19 - 6:21這和上面一個+號一樣
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6:21 - 6:22你們應該懂的
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6:22 - 6:26下面兩側同時減去B/(2A)
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6:26 - 6:34馬上就是令人激動的時刻了
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6:34 - 6:43x=-B/(2A)±這個
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6:43 - 6:52±根號(B2-4AC) 這個除以2A
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6:52 - 6:55分母相同 分子相加
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6:55 - 6:59我要用生機勃勃的顏色來表示
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6:59 - 7:03綠色如何 我們得到
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7:03 - 7:11x=[-B±根號(B2-4AC)]/(2A)
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7:11 - 7:19x=[-B±根號(B2-4AC)]/(2A)
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7:19 - 7:23這就是著名的二次公式
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7:23 - 7:25證明完畢
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7:25 - 7:28方法是配方
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7:28 - 7:32希望大家對這一節感興趣
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7:32 - 7:33再見
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Khan Academy
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