Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

.

Kareye tamamlama videosunda sürekli, tüm ikinci dereceden denklemlerde kare tamamlamanın kısa bir yol olduğunu söyleyip durdum.

.

.

Bunu kanıtladığıma inanıyordum, ama fark ettim ki aslında kanıtlanmamış.

.

Şimdi, ikinci dereceden denklemleri size kare tamamlama yolu ile kanıtlayayım.

.

.

Diyelim ki ikinci dereceden bir denklem var elimizde.

İkinci dereceden bir denklem çözmeyi denediğinizi düşünüyorum, ama ikinci dereceden denklem deyince insanların aklına gelen, aslında formülün kendisi.

.

.

Her halükarda, terminolojiye takılmak istemiyorum.

Diyelim ki elimizde ax kare artı bx artı c eşittir sıfır diye bir denklem var.

.

Şimdi kareyi tamamlayalım.

Nasıl yapacağız?

Şimdi, denklemin iki tarafından da c'yi çıkartalım. Elimizde ax kare artı bx eşittir eksi c kalır.

.

Tıpkı diğer videoda da yaptığım gibi, buradaki katsayıyı istemiyorum.

.

x kareli değerimde bir katsayı kalması daha kolay, yani her iki tarafı da a'ya bölelim.

.

Sonunda denklem, x kare, artı b bölü a çarpı x eşittir eksi c bölü a olur.

.

.

Kareye tamamlamaya hazırız.

Kareye tamamlama nasıl oluyordu?

Kareye tamamlama, denklemin bu kısmına bir ifade ekleyerek, ifadeyi bir şeyin karesi şeklinde bir denklem yazmaktı.

.

.

Bunu söylerken neyi kastediyorum?

Biraz bu kısımda yapayım.

Eğer ki size x artı a'nın karesini sorsaydım, cevabı x kare artı 2 ax artı 4 olurdu, değil mi?

.

Yani, eğer buraya bir sayı ekleyip denklemin sol tarafını bu şekle sokabilirsem, işleme diğer türlü devam edebilirim.

.

.

Bu ifadenin x artı bir şeyin karesi olduğunu söyleyebiliriz

Peki iki tarafa da ne eklemeliyim?

Kareye tamamlama videosunu izlediyseniz, bunu sezebilirsiniz.

.

Yapmanız gereken şey, buradaki b bölü a yı, ki bu değer buradaki 2a değeri, yani a bunun yarısı olacak.

.

.

Bu a olurdu

Yani eklemem gereken şey a kare eklemek olurdu.

Burada yapmam gereken, x'in katsayısının yarısının karesini alıp, her iki tarafa da eklemek.

.

Farklı bir renkte yapalım.

Pembe renkle yazayım.

Şimdi, bunun yarısını alacağım -sadece kareye tamamlıyorum, herhangi bir sihir yok- , artı bunun yarısı.

.

.

Bu değerin yarısı b bölü 2a olur değil mi?

Sadece 1 bölü 2 ile çarpıyorsunuz.

Ve bunun karesini almamız lazım.

Eğer ki bu işlemi denklemin sol tarafında yapıyorsam, sağ tarafında da yapmam gerek.

.

Yani b bölü 2a kare.

.

Şimdi denklemin sol tarafı, x artı bir şeyin karesi formuna girdi.

.

.

Peki bu ne?

Bu da, renkleri değiştireyim, denklemin sol tarafı ne olur?

.

Aynı düzende diğer tarafa gidebilirsiniz.

x artı ne?

İki farklı yoldan yapabilirsiniz. a bu katsayının yarısına eşit, ya da bu değerin karekökü. Bunun karesini almadığımız için biliyoruz ki bu b bölü 2a.

.

.

.

Bu değer, x artı b bölü 2a'nın karesine eşit. Bakalım diğer tarafı sadeleştirebilir miyiz.

.

.

Gördüğünüz gibi, ortak bölenimiz var,biraz cebir yaparak sonucu bulalım.

Bunun karesini alırsak b kare bölü 4a kare elde ederiz.

.

.

Değil mi?

Bu iki kesiri toplarken de, bölen 4 a kare olur.

.

.

Eğer bölen 4 a kare ise, -c bölü a ne olur?

.

eğer böleni 4a ile çarptıysak, payı da 4a ile çarpmamız lazım.

.

Bu -4ac olur değil mi?

Sonra da b kare bölü 4a kare, bu hala daha b kare formunda.

.

Biraz cebir yapıyorum sadece.

Umarım kafanız karışmıyordur.

Sadece bu ifadeyi açtım

Bunun karesini aldım, b kare bölü 4a kare, ve bu değeri şununla toplayıp, ortak paydada topladım.

.

-c bölü a da -4ac bölü 4a kareyle aynı değerde olur.

Şimdi denklemin iki tarafının da karekökünü alabiliriz.

.

Ve şimdi tanıdığımız bir ifadeye dönüşecek bu işlem.

.

.

Eğer iki tarafın da karekökünü alırsak, x artı b bölü iki, bu ifadenin kareköküne eşit olur. Şimdi payın ve paydanın kökünü alalım.

.

.

Payda, önce b kareyi yazacağım, sıralamayı değiştirmek önemli değil. Yani b kare eksi 4 ac'nin karekökü.

.

.

Bu sadece pay.

Burayı bir halledelim, sonra paydaya geçeceğiz.

.

4a karenin karekökü nedir?

2a sadece, değil mi?

2a.

Şimdi ne yapacağız?

Önemli bir nokta var!

Bir sayının karekökünü alırken, hem pozitif hem de negatif değeri olduğunu unutmamamız gerek.

.

.

Birkaç kez gördük bunu, yani burası da artı ya da eksi, ama iki tarafta da olduğu için birini yazmamız yeterli olur.

.

.

.

Neden bir kez yazmanın yeterli olacağını düşünelim.

Eğer birini negatif birini pozitif alırsanız ya da tam tersi, sadece negatif kalır. Ya da ikisini negatif alırsanız sonuç pozitif olur.

.

.

Neyse, bunu anladığınızı sanıyorum.

Şimdi iki taraftan da b bölü 2 a çıkartmamız lazım.

Sonunda, burası en iyi tarafı, x eşittir -b bölü 2a artı ya da eksi karekök içinde b kare eksi 4 ac, bölü 2a olur

.

.

Ayrıca ortak paydamız var, yani kesirleri doğrudan toplayabiliriz.

.

Sonunda elimizde x eşittir eksi b artı eksi karekök içinde b kare eksi 4ac, bölü 2a kaldı.

.

.

.

Bu da şu meşhur ikinci dereceden denklem formülü.

Şimdi kanıtlamış olduk.

Ve bunu sadece kareye tamamlama yoluyla bulduk.

Umarım bunu bir şekilde ilginç bulmuşsunuzdur.

Sonraki videoda görüşmek üzere.