Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

I videoen der vi lærte å fullføre kvadratet
sa jeg ofte at alle

de kvadratiske ligninger
fullfører kvadratet.

som en slags snarvei for
å fullføre kvadratet.

Og jeg var under inntrykket av
at jeg hadde bevist dette

allerede, men nå har jeg innsett
at det ikke er tilfellet.

Så la meg meg bevise annen grads
ligning for deg, ved

å fullføre kvadratet.

La oss si jeg har en annen-
grads ligning.

Jeg antar at det er en annen grads likning
du faktisk prøver å

løse, og hva mange mennesker kaller
en annen grads likningen er

faktisk den kvadratiske formelen.

Men jeg ønsker uansett ikke å bli
fanget opp i terminologi.

Men la oss si at jeg har en
annen grads likning som

sier ax i andre pluss bx
pluss c er lik 0.

La oss fullføre kvadratet her.

Hvordan gjør vi det?

Vel la oss trekke c fra begge sider
slik at vi får ax i andre pluss

bx er lik minus c.

Så akkurat hva jeg sa i videoen
om å fullføre kvadratet

Jeg liker ikke å ha denne
a koeffisient her.

Jeg liker kun å ha én koeffisient
på mitt x i andre

begrep, så la meg dividere
alt med a.

Så jeg får x i andre pluss b/a
x er lik - du må

dele begge sider
med a - minus c/a.

Nå er vi klare til å fullføre
kvadratet.

Hva fullførte kvadratte?

Vel, det legger på en måte til
noe til dette uttrykket så

den har formen av noe
som er et kvadrat

av et uttrykk.

Hva mener jeg med det?

Jeg vil gjøre en litt på
siden her.

Hvis jeg sa at x pluss a i andre
tilsvarer

x i andre pluss to ax pluss
a i andre, ikke sant?

Hvis jeg kan legge til noe her,
slik at den venstre siden,

dette uttrykket ser slik ut,
så kunne jeg

gå den andre veien.

Jeg kan si at dette vil være
x pluss noe i andre.

Så hva må jeg legge til på
begge sider?

Hvis du så på videoen om å fullføre
kvadratet, bør dette

forhåpentligvis være intuitivt
for deg.

Hva du gjør er at du sier denne b/a
korresponderer med

2a begrepet, så a vil være halvparten
av dette, kommer til å

være halvparten av denne
koeffisienten.

Det ville være a.

Så det jeg trenger å legge til
er a kvadrat.

Jeg må ta halvparten av
dette og kvadrere det, og

deretter legge det til på
begge sider.

La meg gjøre det i
en annen farge.

La meg tegne det med magenta.

Så jeg vil ta halvparten av dette -
jeg fullføre kun

kvadratet, det er alt jeg gjør,
ingen hokuspokus her - så

pluss halvparten
av dette.

Halvparten av det er
b/2a, ikke sant?

Du multiplisere bare
med 1/2.

Jeg blir nødt til å
kvadrere det.

Vel, hvis jeg gjorde det på den venstre siden
av ligningen,

blir jeg nødt til å gjøre det på
den høyre siden.

Så pluss b/2a squared.

Nå har jeg denne venstre
side av ligningen i

en form som er kvadratet av uttrykket
som er

x pluss noe.

Og hva er det?

Vel det er lik - la meg
bytte farger igjen - hva er

venstre side av denne
ligningen lik?

Du kan bare bruker dette
mønster og gå til venstre.

Det er x pluss hva?

Vel, vi sa a, du kan gjøre det på en
av to måter. A er 1/2 av denne

koeffisient eller a er kvadrat-
roten av denne koeffisienten,

da vi ikke engang kvadrerte det.
Vi vet at dette

er a. b/2 er a.

Så dette er det samme som x
pluss b over 2a alt

i andre, så tilsvarer det - la meg
se om vi kan forenkle

det eller gjør det litt
renere - som er lik -

Se her, hvis jeg hadde en felles nevner -
Jeg gjør bare

litt algebra her - når jeg kvadrerer
dette

vil det være 4a i andre -
la meg skrive dette.

Dette er lik b i andre
over 4a i andre.

Ikke sant?

Hvis jeg må legge til disse to fraksjoner,
la meg lage

denne lik 4a i andre.

Ikke sant?

Hvis nevneren er 4a
i andre, hva blir

minus c/a til?

Hvis jeg multiplisere nevner
med 4a, må jeg

multiplisere telleren med 4a.

Så dette blir minus 4ac,
ikke sant?

Og deretter b i andre over
4a i andre, det er

fortsatt bare b i andre.

Jeg gjør bare litt
algebra.

Forhåpentligvis forvirrer
jeg deg ikke.

Jeg bare utvidet dette.

Jeg tok bare kvadratet av dette,
b i andre over 4a i andre.

Så la jeg dette til dette,
jeg fikk en fellesnevner.

Minus c/a er det samme som minus
4ac over 4a i andre.

Nå kan vi ta kvadrateroten
til begge

sider av denne ligningen.

Dette burde forhåpentligvis
begynne å se litt

kjent ut for deg nå.

La oss se, vi får x.

hvis vi tar kvadratroten på begge
sider av denne ligningen

får vi x plus b/2a er lik kvadrat
roten av dette - la oss

ta kvadratroten av telleren
og nevneren.

Så teller er - jeg kommer til
å sette b i andre først, jeg

kommer bare til å bytte denne rekkefølgen,
det spiller ingen rolle -

kvadratroten av b i andre
minus 4ac, ikke sant?

Det er bare telleren.

Jeg bare kvadratroten av det,
og vi må få kvadrat

roten av nevneren også.

Hva er kvadratroten
av 4a i andre?

Vel, det er 2a, ikke sant?

2a.

Hva gjør vi nå?

Det er svært viktig!

Når vi tar kvadratroten
er det ikke bare den

positive kvadratroten.

Det er den positive eller
minus kvadratroten.

Vi så det et par ganger
når vi gjorde - du kan

si det er et pluss eller minus her
også, men hvis du ser pluss eller

minus på toppen og en pluss eller
minus på bunnen, trenger du

kun å skrive det en gang på toppen.

Jeg vil la deg tenke på hvorfor du bare
trenger å skrive det en gang.

Hvis du hadde en negativ og en
pluss, eller negativ og en pluss

kansellere noen ganger ut, eller en
negativ og en negativ,

det er det samme som å kun
ha et pluss på toppen.

Uansett, jeg tror du forsto det.

Og nå trenger vi bare å trekke
b/2a fra begge sider.

Vi får, vi får - dette er den
spennende delen - vi får x

er lik minus b over 2a pluss eller
minus denne tingen, så

minus b i andre minus 4ac,
alt dette over 2a.

Vi har allerede en felles
nevner, slik at vi kan

bare legge til fraksjonene.

Så vi fikk - jeg kommer til å gjøre
dette i en pulserende fet skrift - Jeg

vet ikke kanskje ikke så fet,
vel grønnfarge - så vi

får x er lik, teller negativ b pluss
eller minus kvadrat

roten av b i andre minus
4ac, alt dette over 2a.

Og det er den berømte
kvadratiske formelen.

Så der beviste vi det.

Vi beviste det bare fra
å fullføre kvadratet.

Jeg håper du fant det
litt interessant.

Vi sees i neste video.