I videoen der vi lærte å fullføre kvadratet sa jeg ofte at alle
de kvadratiske ligninger fullfører kvadratet.
som en slags snarvei for å fullføre kvadratet.
Og jeg var under inntrykket av at jeg hadde bevist dette
allerede, men nå har jeg innsett at det ikke er tilfellet.
Så la meg meg bevise annen grads ligning for deg, ved
å fullføre kvadratet.
La oss si jeg har en annen- grads ligning.
Jeg antar at det er en annen grads likning du faktisk prøver å
løse, og hva mange mennesker kaller en annen grads likningen er
faktisk den kvadratiske formelen.
Men jeg ønsker uansett ikke å bli fanget opp i terminologi.
Men la oss si at jeg har en annen grads likning som
sier ax i andre pluss bx pluss c er lik 0.
La oss fullføre kvadratet her.
Hvordan gjør vi det?
Vel la oss trekke c fra begge sider slik at vi får ax i andre pluss
bx er lik minus c.
Så akkurat hva jeg sa i videoen om å fullføre kvadratet
Jeg liker ikke å ha denne a koeffisient her.
Jeg liker kun å ha én koeffisient på mitt x i andre
begrep, så la meg dividere alt med a.
Så jeg får x i andre pluss b/a x er lik - du må
dele begge sider med a - minus c/a.
Nå er vi klare til å fullføre kvadratet.
Hva fullførte kvadratte?
Vel, det legger på en måte til noe til dette uttrykket så
den har formen av noe som er et kvadrat
av et uttrykk.
Hva mener jeg med det?
Jeg vil gjøre en litt på siden her.
Hvis jeg sa at x pluss a i andre tilsvarer
x i andre pluss to ax pluss a i andre, ikke sant?
Hvis jeg kan legge til noe her, slik at den venstre siden,
dette uttrykket ser slik ut, så kunne jeg
gå den andre veien.
Jeg kan si at dette vil være x pluss noe i andre.
Så hva må jeg legge til på begge sider?
Hvis du så på videoen om å fullføre kvadratet, bør dette
forhåpentligvis være intuitivt for deg.
Hva du gjør er at du sier denne b/a korresponderer med
2a begrepet, så a vil være halvparten av dette, kommer til å
være halvparten av denne koeffisienten.
Det ville være a.
Så det jeg trenger å legge til er a kvadrat.
Jeg må ta halvparten av dette og kvadrere det, og
deretter legge det til på begge sider.
La meg gjøre det i en annen farge.
La meg tegne det med magenta.
Så jeg vil ta halvparten av dette - jeg fullføre kun
kvadratet, det er alt jeg gjør, ingen hokuspokus her - så
pluss halvparten av dette.
Halvparten av det er b/2a, ikke sant?
Du multiplisere bare med 1/2.
Jeg blir nødt til å kvadrere det.
Vel, hvis jeg gjorde det på den venstre siden av ligningen,
blir jeg nødt til å gjøre det på den høyre siden.
Så pluss b/2a squared.
Nå har jeg denne venstre side av ligningen i
en form som er kvadratet av uttrykket som er
x pluss noe.
Og hva er det?
Vel det er lik - la meg bytte farger igjen - hva er
venstre side av denne ligningen lik?
Du kan bare bruker dette mønster og gå til venstre.
Det er x pluss hva?
Vel, vi sa a, du kan gjøre det på en av to måter. A er 1/2 av denne
koeffisient eller a er kvadrat- roten av denne koeffisienten,
da vi ikke engang kvadrerte det. Vi vet at dette
er a. b/2 er a.
Så dette er det samme som x pluss b over 2a alt
i andre, så tilsvarer det - la meg se om vi kan forenkle
det eller gjør det litt renere - som er lik -
Se her, hvis jeg hadde en felles nevner - Jeg gjør bare
litt algebra her - når jeg kvadrerer dette
vil det være 4a i andre - la meg skrive dette.
Dette er lik b i andre over 4a i andre.
Ikke sant?
Hvis jeg må legge til disse to fraksjoner, la meg lage
denne lik 4a i andre.
Ikke sant?
Hvis nevneren er 4a i andre, hva blir
minus c/a til?
Hvis jeg multiplisere nevner med 4a, må jeg
multiplisere telleren med 4a.
Så dette blir minus 4ac, ikke sant?
Og deretter b i andre over 4a i andre, det er
fortsatt bare b i andre.
Jeg gjør bare litt algebra.
Forhåpentligvis forvirrer jeg deg ikke.
Jeg bare utvidet dette.
Jeg tok bare kvadratet av dette, b i andre over 4a i andre.
Så la jeg dette til dette, jeg fikk en fellesnevner.
Minus c/a er det samme som minus 4ac over 4a i andre.
Nå kan vi ta kvadrateroten til begge
sider av denne ligningen.
Dette burde forhåpentligvis begynne å se litt
kjent ut for deg nå.
La oss se, vi får x.
hvis vi tar kvadratroten på begge sider av denne ligningen
får vi x plus b/2a er lik kvadrat roten av dette - la oss
ta kvadratroten av telleren og nevneren.
Så teller er - jeg kommer til å sette b i andre først, jeg
kommer bare til å bytte denne rekkefølgen, det spiller ingen rolle -
kvadratroten av b i andre minus 4ac, ikke sant?
Det er bare telleren.
Jeg bare kvadratroten av det, og vi må få kvadrat
roten av nevneren også.
Hva er kvadratroten av 4a i andre?
Vel, det er 2a, ikke sant?
2a.
Hva gjør vi nå?
Det er svært viktig!
Når vi tar kvadratroten er det ikke bare den
positive kvadratroten.
Det er den positive eller minus kvadratroten.
Vi så det et par ganger når vi gjorde - du kan
si det er et pluss eller minus her også, men hvis du ser pluss eller
minus på toppen og en pluss eller minus på bunnen, trenger du
kun å skrive det en gang på toppen.
Jeg vil la deg tenke på hvorfor du bare trenger å skrive det en gang.
Hvis du hadde en negativ og en pluss, eller negativ og en pluss
kansellere noen ganger ut, eller en negativ og en negativ,
det er det samme som å kun ha et pluss på toppen.
Uansett, jeg tror du forsto det.
Og nå trenger vi bare å trekke b/2a fra begge sider.
Vi får, vi får - dette er den spennende delen - vi får x
er lik minus b over 2a pluss eller minus denne tingen, så
minus b i andre minus 4ac, alt dette over 2a.
Vi har allerede en felles nevner, slik at vi kan
bare legge til fraksjonene.
Så vi fikk - jeg kommer til å gjøre dette i en pulserende fet skrift - Jeg
vet ikke kanskje ikke så fet, vel grønnfarge - så vi
får x er lik, teller negativ b pluss eller minus kvadrat
roten av b i andre minus 4ac, alt dette over 2a.
Og det er den berømte kvadratiske formelen.
Så der beviste vi det.
Vi beviste det bare fra å fullføre kvadratet.
Jeg håper du fant det litt interessant.
Vi sees i neste video.