1
00:00:00,000 --> 00:00:00,720


2
00:00:00,720 --> 00:00:03,130
I videoen der vi lærte å fullføre kvadratet 
sa jeg ofte at alle

3
00:00:03,130 --> 00:00:05,810
de kvadratiske ligninger
fullfører kvadratet.

4
00:00:05,810 --> 00:00:07,450
som en slags snarvei for 
å fullføre kvadratet.

5
00:00:07,450 --> 00:00:10,220
Og jeg var under inntrykket av
at jeg hadde bevist dette

6
00:00:10,220 --> 00:00:12,120
allerede, men nå har jeg innsett
at det ikke er tilfellet.

7
00:00:12,120 --> 00:00:15,750
Så la meg meg bevise annen grads 
ligning for deg, ved

8
00:00:15,750 --> 00:00:16,690
å fullføre kvadratet.

9
00:00:16,690 --> 00:00:19,820


10
00:00:19,820 --> 00:00:23,210
La oss si jeg har en annen-
grads ligning.

11
00:00:23,210 --> 00:00:25,870
Jeg antar at det er en annen grads likning
du faktisk prøver å

12
00:00:25,870 --> 00:00:28,760
løse, og hva mange mennesker kaller
en annen grads likningen er

13
00:00:28,760 --> 00:00:29,960
faktisk den kvadratiske formelen.

14
00:00:29,960 --> 00:00:33,100
Men jeg ønsker uansett ikke å bli
fanget opp i terminologi.

15
00:00:33,100 --> 00:00:36,030
Men la oss si at jeg har en
annen grads likning som

16
00:00:36,030 --> 00:00:46,450
sier ax i andre pluss bx 
pluss c er lik 0.

17
00:00:46,450 --> 00:00:48,280
La oss fullføre kvadratet her.

18
00:00:48,280 --> 00:00:49,480
Hvordan gjør vi det?

19
00:00:49,480 --> 00:00:56,940
Vel la oss trekke c fra begge sider
slik at vi får ax i andre pluss

20
00:00:56,940 --> 00:01:00,740
bx er lik minus c.

21
00:01:00,740 --> 00:01:03,040
Så akkurat hva jeg sa i videoen 
om å fullføre kvadratet

22
00:01:03,040 --> 00:01:06,200
Jeg liker ikke å ha denne 
a koeffisient her.

23
00:01:06,200 --> 00:01:08,355
Jeg liker kun å ha én koeffisient
på mitt x i andre

24
00:01:08,355 --> 00:01:10,980
begrep, så la meg dividere
alt med a.

25
00:01:10,980 --> 00:01:21,440
Så jeg får x i andre pluss b/a 
x er lik - du må

26
00:01:21,440 --> 00:01:27,405
dele begge sider 
med a - minus c/a.

27
00:01:27,405 --> 00:01:27,940


28
00:01:27,940 --> 00:01:29,600
Nå er vi klare til å fullføre
kvadratet.

29
00:01:29,600 --> 00:01:30,890
Hva fullførte kvadratte?

30
00:01:30,890 --> 00:01:34,790
Vel, det legger på en måte til 
noe til dette uttrykket så

31
00:01:34,790 --> 00:01:38,590
den har formen av noe 
som er et kvadrat

32
00:01:38,590 --> 00:01:39,140
av et uttrykk.

33
00:01:39,140 --> 00:01:39,940
Hva mener jeg med det?

34
00:01:39,940 --> 00:01:43,400
Jeg vil gjøre en litt på 
siden her.

35
00:01:43,400 --> 00:01:51,950
Hvis jeg sa at x pluss a i andre
tilsvarer

36
00:01:51,950 --> 00:01:57,500
x i andre pluss to ax pluss
a i andre, ikke sant?

37
00:01:57,500 --> 00:02:01,330
Hvis jeg kan legge til noe her, 
slik at den venstre siden,

38
00:02:01,330 --> 00:02:05,810
dette uttrykket ser slik ut, 
så kunne jeg

39
00:02:05,810 --> 00:02:06,330
gå den andre veien.

40
00:02:06,330 --> 00:02:09,690
Jeg kan si at dette vil være
x pluss noe i andre.

41
00:02:09,690 --> 00:02:11,590
Så hva må jeg legge til på
begge sider?

42
00:02:11,590 --> 00:02:15,140
Hvis du så på videoen om å fullføre 
kvadratet, bør dette

43
00:02:15,140 --> 00:02:17,730
forhåpentligvis være intuitivt
for deg.

44
00:02:17,730 --> 00:02:21,510
Hva du gjør er at du sier denne b/a
korresponderer med

45
00:02:21,510 --> 00:02:26,183
2a begrepet, så a vil være halvparten 
av dette, kommer til å

46
00:02:26,183 --> 00:02:28,010
være halvparten av denne
koeffisienten.

47
00:02:28,010 --> 00:02:29,100
Det ville være a.

48
00:02:29,100 --> 00:02:31,620
Så det jeg trenger å legge til
er a kvadrat.

49
00:02:31,620 --> 00:02:34,930
Jeg må ta halvparten av 
dette og kvadrere det, og

50
00:02:34,930 --> 00:02:36,110
deretter legge det til på 
begge sider.

51
00:02:36,110 --> 00:02:38,865
La meg gjøre det i 
en annen farge.

52
00:02:38,865 --> 00:02:40,810
La meg tegne det med magenta.

53
00:02:40,810 --> 00:02:42,650
Så jeg vil ta halvparten av dette - 
jeg fullføre kun

54
00:02:42,650 --> 00:02:45,100
kvadratet, det er alt jeg gjør,
ingen hokuspokus her - så

55
00:02:45,100 --> 00:02:47,450
pluss halvparten
av dette.

56
00:02:47,450 --> 00:02:50,230
Halvparten av det er
b/2a, ikke sant?

57
00:02:50,230 --> 00:02:52,130
Du multiplisere bare 
med 1/2.

58
00:02:52,130 --> 00:02:54,240
Jeg blir nødt til å
kvadrere det.

59
00:02:54,240 --> 00:02:55,893
Vel, hvis jeg gjorde det på den venstre siden
av ligningen,

60
00:02:55,893 --> 00:02:57,660
blir jeg nødt til å gjøre det på
den høyre siden.

61
00:02:57,660 --> 00:03:06,486
Så pluss b/2a squared.

62
00:03:06,486 --> 00:03:07,470


63
00:03:07,470 --> 00:03:10,670
Nå har jeg denne venstre 
side av ligningen i

64
00:03:10,670 --> 00:03:13,750
en form som er kvadratet av uttrykket
som er

65
00:03:13,750 --> 00:03:14,950
x pluss noe.

66
00:03:14,950 --> 00:03:15,880
Og hva er det?

67
00:03:15,880 --> 00:03:19,970
Vel det er lik - la meg 
bytte farger igjen - hva er

68
00:03:19,970 --> 00:03:21,730
venstre side av denne
ligningen lik?

69
00:03:21,730 --> 00:03:24,520
Du kan bare bruker dette
mønster og gå til venstre.

70
00:03:24,520 --> 00:03:28,730
Det er x pluss hva?

71
00:03:28,730 --> 00:03:32,960
Vel, vi sa a, du kan gjøre det på en
av to måter. A er 1/2 av denne

72
00:03:32,960 --> 00:03:36,390
koeffisient eller a er kvadrat-
roten av denne koeffisienten,

73
00:03:36,390 --> 00:03:38,310
da vi ikke engang kvadrerte det.
Vi vet at dette

74
00:03:38,310 --> 00:03:40,970
er a. b/2 er a.

75
00:03:40,970 --> 00:03:49,060
Så dette er det samme som x 
pluss b over 2a alt

76
00:03:49,060 --> 00:03:55,980
i andre, så tilsvarer det - la meg
se om vi kan forenkle

77
00:03:55,980 --> 00:04:00,230
det eller gjør det litt 
renere - som er lik -

78
00:04:00,230 --> 00:04:04,760
Se her, hvis jeg hadde en felles nevner - 
Jeg gjør bare

79
00:04:04,760 --> 00:04:07,600
litt algebra her - når jeg kvadrerer
dette

80
00:04:07,600 --> 00:04:10,780
vil det være 4a i andre -
la meg skrive dette.

81
00:04:10,780 --> 00:04:15,740
Dette er lik b i andre
over 4a i andre.

82
00:04:15,740 --> 00:04:16,710
Ikke sant?

83
00:04:16,710 --> 00:04:19,860
Hvis jeg må legge til disse to fraksjoner,
la meg lage

84
00:04:19,860 --> 00:04:29,550
denne lik 4a i andre.

85
00:04:29,550 --> 00:04:30,330
Ikke sant?

86
00:04:30,330 --> 00:04:31,750
Hvis nevneren er 4a
i andre, hva blir

87
00:04:31,750 --> 00:04:34,250
minus c/a til?

88
00:04:34,250 --> 00:04:40,280
Hvis jeg multiplisere nevner
med 4a, må jeg

89
00:04:40,280 --> 00:04:41,810
multiplisere telleren med 4a.

90
00:04:41,810 --> 00:04:50,090
Så dette blir minus 4ac,
ikke sant?

91
00:04:50,090 --> 00:04:53,030
Og deretter b i andre over 
4a i andre, det er

92
00:04:53,030 --> 00:04:54,810
fortsatt bare b i andre.

93
00:04:54,810 --> 00:04:56,520
Jeg gjør bare litt 
algebra.

94
00:04:56,520 --> 00:04:57,520
Forhåpentligvis forvirrer 
jeg deg ikke.

95
00:04:57,520 --> 00:04:59,470
Jeg bare utvidet dette.

96
00:04:59,470 --> 00:05:02,330
Jeg tok bare kvadratet av dette, 
b i andre over 4a i andre.

97
00:05:02,330 --> 00:05:04,790
Så la jeg dette til dette,
jeg fikk en fellesnevner.

98
00:05:04,790 --> 00:05:09,780
Minus c/a er det samme som minus
4ac over 4a i andre.

99
00:05:09,780 --> 00:05:11,570
Nå kan vi ta kvadrateroten 
til begge

100
00:05:11,570 --> 00:05:13,240
sider av denne ligningen.

101
00:05:13,240 --> 00:05:15,760
Dette burde forhåpentligvis
begynne å se litt

102
00:05:15,760 --> 00:05:17,490
kjent ut for deg nå.

103
00:05:17,490 --> 00:05:19,290
La oss se, vi får x.

104
00:05:19,290 --> 00:05:21,080
hvis vi tar kvadratroten på begge
sider av denne ligningen

105
00:05:21,080 --> 00:05:29,780
får vi x plus b/2a er lik kvadrat
roten av dette - la oss

106
00:05:29,780 --> 00:05:32,180
ta kvadratroten av telleren
og nevneren.

107
00:05:32,180 --> 00:05:35,950
Så teller er - jeg kommer til
å sette b i andre først, jeg

108
00:05:35,950 --> 00:05:38,110
kommer bare til å bytte denne rekkefølgen,
det spiller ingen rolle -

109
00:05:38,110 --> 00:05:43,660
kvadratroten av b i andre 
minus 4ac, ikke sant?

110
00:05:43,660 --> 00:05:46,440
Det er bare telleren.

111
00:05:46,440 --> 00:05:48,240
Jeg bare kvadratroten av det, 
og vi må få kvadrat

112
00:05:48,240 --> 00:05:49,770
roten av nevneren også.

113
00:05:49,770 --> 00:05:51,970
Hva er kvadratroten
av 4a i andre?

114
00:05:51,970 --> 00:05:54,020
Vel, det er 2a, ikke sant?

115
00:05:54,020 --> 00:05:55,950
2a.

116
00:05:55,950 --> 00:05:56,800
Hva gjør vi nå?

117
00:05:56,800 --> 00:05:58,640
Det er svært viktig!

118
00:05:58,640 --> 00:06:00,400
Når vi tar kvadratroten
er det ikke bare den

119
00:06:00,400 --> 00:06:01,070
positive kvadratroten.

120
00:06:01,070 --> 00:06:03,450
Det er den positive eller 
minus kvadratroten.

121
00:06:03,450 --> 00:06:06,600
Vi så det et par ganger
når vi gjorde - du kan

122
00:06:06,600 --> 00:06:09,090
si det er et pluss eller minus her
også, men hvis du ser pluss eller

123
00:06:09,090 --> 00:06:10,800
minus på toppen og en pluss eller 
minus på bunnen, trenger du

124
00:06:10,800 --> 00:06:12,290
kun å skrive det en gang på toppen.

125
00:06:12,290 --> 00:06:14,930
Jeg vil la deg tenke på hvorfor du bare
trenger å skrive det en gang.

126
00:06:14,930 --> 00:06:17,560
Hvis du hadde en negativ og en
pluss, eller negativ og en pluss

127
00:06:17,560 --> 00:06:19,250
kansellere noen ganger ut, eller en 
negativ og en negativ,

128
00:06:19,250 --> 00:06:20,790
det er det samme som å kun
ha et pluss på toppen.

129
00:06:20,790 --> 00:06:22,210
Uansett, jeg tror du forsto det.

130
00:06:22,210 --> 00:06:26,140
Og nå trenger vi bare å trekke 
b/2a fra begge sider.

131
00:06:26,140 --> 00:06:33,430
Vi får, vi får - dette er den
spennende delen - vi får x

132
00:06:33,430 --> 00:06:42,850
er lik minus b over 2a pluss eller
minus denne tingen, så

133
00:06:42,850 --> 00:06:51,790
minus b i andre minus 4ac, 
alt dette over 2a.

134
00:06:51,790 --> 00:06:53,850
Vi har allerede en felles
nevner, slik at vi kan

135
00:06:53,850 --> 00:06:55,130
bare legge til fraksjonene.

136
00:06:55,130 --> 00:06:58,880
Så vi fikk - jeg kommer til å gjøre
dette i en pulserende fet skrift - Jeg

137
00:06:58,880 --> 00:07:02,570
vet ikke kanskje ikke så fet,
vel grønnfarge - så vi

138
00:07:02,570 --> 00:07:10,970
får x er lik, teller negativ b pluss
eller minus kvadrat

139
00:07:10,970 --> 00:07:19,470
roten av b i andre minus 
4ac, alt dette over 2a.

140
00:07:19,470 --> 00:07:23,010
Og det er den berømte 
kvadratiske formelen.

141
00:07:23,010 --> 00:07:25,266
Så der beviste vi det.

142
00:07:25,266 --> 00:07:28,132
Vi beviste det bare fra 
å fullføre kvadratet.

143
00:07:28,132 --> 00:07:31,709
Jeg håper du fant det
litt interessant.

144
00:07:31,709 --> 00:07:33,430
Vi sees i neste video.