Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy

.

في عرض اكمال المربع استمريت بالقول ان جميع

المعادلات التربيعية عبارة عن اكمال مربع

كنوع من اكمال مربع مختصر

وكنت تحت تأثير فكرة انني قد انتهيت من هذا

الاثبات فعلياً لكن الآن ادركت انني لم افعل ذلك

دعوني اثبت المعادلة التربيعية لكم، عن طريق

اكمال المربع

اكمال المربع

دعونا نفترض ان لدي معادلة تربيعية

اعتقد ان المعادلة التربيعية هي ما تحاول

حله، ويسميها بعض الناس

بالصيغة التربيعية

لكن على اي حال لا اريد الخوض في المصطلحات

لكن دعونا نفترض ان لدي معادلة تربيعية

هي ax^2 + bx + c = 0

ودعونا نكمل المربع هنا

كيف نفعل ذلك؟

حسناً، دعونا نطرح c من كلا الطرفين، فنحصل على ax^2

+ bx = -c

وكما قلت في عرض اكمال المربع

انني لا احبذ وجود المعامل a هنا

لدي معاملاً لعبارة x^2

لذا دعوني اقسم كل شيئ على a

فأحصل على x^2 + b/a x = --عليك

ان تقسم كلا الطرفين على a--
-c/a

-c/a

الآن نحن جاهزون لاكمال المربع

ما هو اكمال المربع؟

حسناً، انه اذافة شيئ لهذه العبارة حتى

تتخذ صورة شيئ يعتبر مربع

العبارة

ماذا اعني بذلك؟

حسناً، سوف اصنع مساحة هنا

اذا قلت لكم x + a^2، فإن هذا يساوي

x^2 + 2ax + a، اليس كذلك؟

اذا كان بامكاني ان اضيف شيئ ما لهذا الجانب الايسر من

العبارة لكي يبدو هكذا، بالتالي يمكنني

ان اتجه في الاتجاه الآخر

يمكنني ان اقول ان هذا سيكون x + مربع شيئ ما

اذاً ماذا علي ان اضيف لكلا الطرفين؟

اذا شاهدتم عرض اكمال المربع فهذا الامر يجب ان يكون

بديهي بالنسبة لكم

ما تفعله هو ان تقول، حسناُ هذا b/a، انه يتوافق مع

عبارة 2a، اذاً a سيكون نصف هذا، اي سيكون

نصف هذا المعامل

هذا هو a

ثم ان ما احتاج لأن اضيفه هو a^2

لذا سأكون بحاجة لأن آخذ نصف هذا ومن ثم اقوم بتربيعه و

اضيفه لكلا الطرفين

دعوني افعل ذلك بلون مختلف

سوف استخدم اللون الارجواني

سوف آخذ نصف هذا --انني اكمل

المربع، هذا كل ما افعله، لا يوجد سحر هنا-- اذاً

+ نصف هذا

نصف هذا هو b/2a اليس كذلك؟

فقط تضرب بـ 1/2

وعلي ان اقوم بتربيعه

حسناً، اذا فعلت هذا للجانب الايسر من المعادلة

فعلي ان افعله للجانب الايمن

اذاً + b/2a^2

+ b/2a

والآن لدي هذا الجانب الايسر من المعادلة

بصورة مربع العبارة

x + شيئ ما

وما هي؟

حسناً، هذا يساوي --دعوني اغير الالوان مرة اخرى-- كم

يساوي الجانب الايسر من هذه المعادلة؟

ويمكنك استخدام هذا النمط وتتجه الى اليسار

انه x + ماذا؟

حسناً، قد قلنا a، يمكنك الاستعانة باحدى الطريقتين. a = نصف هذا

المعامل او ان a هو الجذر التربيعي لهذا المعامل او

بما اننا لم نقم بتربيعه فنحن نعلم ان هذا

هو a، اي ان b/2a هو a

هذا يعادل (x + b / 2a)^2

ثم ان هذا يساوي --دعونا نرى اذا كان يمكننا ان نبسط

هذا او نجعله اوضح قليلاً --ذلك يساوي--

انظروا، اذا اردت ان احصل على مقام موحد --انني استخدم

بعض الجبر هنا-- انظروا، عندما اقوم بتربيع هذا، فإنه

يصبح 4a^2 --دعوني اكتب هذا

هذا يساوي b^2 / 4a^2

اليس كذلك؟

واذا كان علي ان اضيف هذان الكسران، دعوني اجعل

هذه المعادلة تساوي 4a^2

اليس كذلك؟

واذا كان المقام هو 4a^2، فماذا

يصبح الـ -c/a؟

ارى انه اذا ضربت المقام بـ 4a، فعلي ان

اضرب البسط بـ 4a

فيصبح 4ac، اليس كذلك؟

ثم b^2 / 4a^2، هذا

يساوي b^2

انني استخدم الجبر

اتمنى انني لا اربككم

لقد قمت بتوسيع هذا

لقد اخذت مربع هذا، b^2 / 4a^2

ومن ثم اضفت هذا الى هذا، فحصلت على مقام موحد

و -c/a يعادل -4ac / 4a^2

والآن يمكننا ان نأخذ الجذر التربيعي

لطرفي هذه المعادلة

وهذا يجب ان يكون

مألوفاً لكم الآن

دعونا نرى اذاً، نحصل على x

اذا اخذنا الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة

نحصل على x + b/2a = الجذر التربيعي لهذا --دعونا

نأخذ الجذر التربيعي للبسط والمقام

البسط هو --سوف اضع b^2 اولاً، انني

اغير من الترتيب، لا يهم--

الجذر التربيعي لـ b^2 - 4ac، صحيح؟

هذا هو البسط

لقد اخذت جذره التربيعي، وعلينا ان نحصل على

الجذر التربيعي للمقام ايضاً

ما هو الجذ التربيعي لـ 4a^2؟

حسناً، انه 2a، اليس كذلك؟

2a

وماذا نفعل الآن؟

اوه، انه مهم جداً!!

عندما نأخذ الجذر التربيعي، فهذا لا يعني

الجذر التربيعي الموجب فقط

بل الجذر التربيعي الموجب او السالب

لقد رأينا ذلك لمرات عدة عندما اجرينا --ويمكنك

ان تقول موجب او سالب هنا ايضاً، لكن اذا نظرتم الى + او

- في الاعلى و + او - في الاسفل، فيمكنكم

ان تكتبوها لمرة واحدة في الاعلى

سوف ادعكم تفكرون في سبب وجوب كتابته لمرة واحدة فقط

اذا كان لديكم اشارة سالبة واخرى موجبة، او اارة سالبة و اشارة موجبة

فاحياناً ما يتم حذفهما، او سالب وسالب

فهذا يعادل موجب في الاعلى

على اي حال، اعتقد انك تدرك ذلك

والآن، علنا ان نطرح b/2a من كلا الطرفين

ونحصل على، نحصل --وهذا هو الجزء الممتع-- نحصل على x

= b / 2a- + او - هذا

اي b^2 - 4ac-، وكل ذلك مقسوماً على 2a

ونحن لدينا بالفعل المقام الموحد، اذاً يمكننا ان

نضيف الكسور

فنحصل على --وسوف افعل ذلك بلون ساطع--

لا اعلم، ربما لي بخط سميك جداً، حسناً اللون الاخضر-- اذاً

نحصل على x =، البسط هو -b + او -

الجذر التربيعي لـ b^2 - 4ac، وكل ذلك مقسوماً على 2a

وهذه هي الصيغة المعروفة للعبارة التربيعية

لقد اثبتناها

واثبتناها عن طريق اكمال المربع

اتمنى انكم وجدتم ذلك ممتعاً

اراكم في العرض التالي