使用矩阵表示数据: 回报 | 矩阵 | 预科微积分 | 可汗学院
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0:00 - 0:01有这样一个例子:
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0:01 - 0:05小芳和小丽玩石头剪子布赢分数游戏
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0:05 - 0:08根据双方手势的不同组合
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0:08 - 0:11赢家得到不同的分数
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0:11 - 0:13在石头剪子布游戏中
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0:13 - 0:16石头胜剪子
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0:16 - 0:19剪子胜布, 而布胜石头
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0:19 - 0:22在这里,他们详细阐述了游戏计分规制
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0:22 - 0:24如果小芳赢了,她得到2分
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0:24 - 0:27当小丽出石头赢了,她得到3分
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0:27 - 0:30当小丽出布赢了,她得到2分
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0:30 - 0:32当小丽出剪刀赢了,她得到1分
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0:32 - 0:35如果双方出同样的手势,都不得分
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0:35 - 0:37因为这一轮没人赢
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0:37 - 0:41完成这个矩阵以代表她们的计分
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0:41 - 0:45该计分系统显示小芳的得分
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0:45 - 0:49负数表明小丽得那么多分
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0:49 - 0:51矩阵的行是小芳的手势
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0:51 - 0:55矩阵的列是小丽的手势
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0:55 - 0:57这里就是这个矩阵
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0:57 - 0:59请暂停本视频
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0:59 - 1:01看看你是否能自己完成
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1:01 - 1:02你可以找一张纸来试试, 行吗?
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1:02 - 1:04去找一张纸吧
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1:04 - 1:06好了,现在我们一起来解题
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1:06 - 1:08那么,多少分
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1:08 - 1:11切记,这个矩阵表示小芳赢的分数
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1:11 - 1:14如果小丽赢了,那么小芳得一个负数
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1:14 - 1:18所以,如果小芳出石头,而小丽也出石头
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1:18 - 1:20那么是这里这一项
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1:20 - 1:21会发生什么呢?
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1:21 - 1:24小芳会得多少分?
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1:24 - 1:26如果双方都出同样的手势
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1:26 - 1:28双方都不得分
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1:28 - 1:32所以如果双方都出石头,这一项就是0
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1:32 - 1:34我们知道同样的道理
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1:34 - 1:36如果小芳出布,而小丽也出布
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1:36 - 1:38这里小芳就得0分
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1:38 - 1:41而如果双方都出剪子,那么这一项
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1:41 - 1:44你也得一个0
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1:44 - 1:46好了,现在如果小芳出石头
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1:46 - 1:48而小丽出布呢?
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1:48 - 1:49这里我应该填什么呢?
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1:49 - 1:50暂停本视频,想一想
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1:50 - 1:54小芳出石头,小丽出布
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1:54 - 1:57我们知道布胜石头
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1:57 - 2:02所以这种情况下,小丽出布胜
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2:02 - 2:04即这里这种情形
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2:04 - 2:06所以小丽赢2分
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2:06 - 2:08那么如果小丽赢2分
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2:08 - 2:10记住这个矩阵记录的是小芳的得分
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2:10 - 2:12这里小芳得-2分
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2:12 - 2:14因为是小丽赢了
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2:14 - 2:16好了,这一项呢?
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2:16 - 2:18它代表什么呢?
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2:18 - 2:20它表示小芳出石头
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2:20 - 2:23而小丽出剪子
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2:23 - 2:26我们知道石头胜剪子
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2:26 - 2:28所以是小芳胜
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2:28 - 2:32而我们知道只要是小芳胜,她就得2分
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2:32 - 2:35所以这一项是2分
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2:35 - 2:36那么这一项呢?
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2:36 - 2:38代表什么呢?
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2:38 - 2:41这表示小芳出布
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2:41 - 2:42而小丽出石头
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2:42 - 2:45而我们知道布胜石头
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2:45 - 2:47所以又是小芳胜
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2:47 - 2:50只要她胜就得2分
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2:50 - 2:52所以这是2分
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2:52 - 2:54现在,这一项又是什么呢?
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2:54 - 2:58请暂停本视频,想想这里应该是个什么数
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2:58 - 3:01这是小芳出布
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3:01 - 3:03而小丽出剪子的情况
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3:03 - 3:05我们知道剪子胜布
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3:05 - 3:07我想是因为剪子能剪断布
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3:07 - 3:09所以小丽出剪子胜
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3:09 - 3:12那我们来看这里,我换不同的颜色
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3:12 - 3:15小丽出剪子胜,她得1分
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3:15 - 3:17所以你可能会在这里填1
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3:17 - 3:19但是记住,那是小丽得1分
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3:19 - 3:22而这个矩阵是用来表示小芳得了多少分
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3:22 - 3:24所以我们说这里应该是-1分
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3:24 - 3:26如果知道是小丽赢了1分
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3:26 - 3:30那么,我们思考一下最后一行
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3:30 - 3:32这一项代表什么?
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3:32 - 3:33应该填什么数?
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3:33 - 3:36请暂停本视频,想一想
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3:36 - 3:37这是小芳出剪子
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3:37 - 3:39而小丽出石头
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3:39 - 3:41我们知道石头胜剪子
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3:41 - 3:43我想是因为石头可以砸坏剪子
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3:43 - 3:47所以这种情形,小丽出石头胜
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3:47 - 3:49而我们知道, 让我换一种颜色
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3:49 - 3:52当小丽出石头胜,她得3分
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3:52 - 3:54所以这里小丽得3分
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3:54 - 3:56而这个矩阵是用来表示小芳得了多少分
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3:56 - 3:58所以我们得在这里填-3
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3:58 - 4:00因为是小丽得了3分
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4:00 - 4:04记住,一个负数表示小丽得了那么多分
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4:04 - 4:10最后一项,你觉得应该填什么?
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4:10 - 4:12这是小芳出剪子
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4:12 - 4:15而小丽出布
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4:15 - 4:17我们知道剪子胜布
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4:17 - 4:18因为剪子剪坏布
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4:18 - 4:21而且我们知道只要是小芳胜
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4:21 - 4:24比如这里她出剪子胜,她都得2分
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4:24 - 4:27所以这里填2分,这样子
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4:27 - 4:29那么我们填完了这个矩阵
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4:29 - 4:30现在我们要回答下面这样一个问题
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4:30 - 4:34假设小丽完全随机地出手势
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4:34 - 4:38小芳应该出什么
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4:38 - 4:40可以最大化她得到最高分的概率?
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4:40 - 4:43请暂停本视频,看看这个矩阵
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4:43 - 4:46怎么帮助你解决本问题
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4:46 - 4:47好了
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4:47 - 4:50本视频不是关于概率方面的练习
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4:50 - 4:52但是我们可以简单回顾一下
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4:52 - 4:55可以这么考虑,当小芳出石头
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4:55 - 4:57这里是对应的情形
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4:57 - 4:59这里是所有小芳出石头时会出现的结果
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4:59 - 5:02从题意可知, 小丽随机出手势
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5:02 - 5:05所以,小丽出石头的概率是3分之1
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5:05 - 5:07出布的概率是3分之1, 出剪子的概率是3分之1
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5:07 - 5:09因为这些事等概率发生的
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5:09 - 5:12因为他们已经说了,小丽随机出手势
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5:12 - 5:13你可以求出
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5:13 - 5:16这种情况下的期望值
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5:16 - 5:19我们可以对这3个数取平均
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5:19 - 5:20可以这么做
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5:20 - 5:263分之1乘以0加3分之1乘以-2加3分之1乘以2
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5:26 - 5:28如果你想了解更多关于期望值
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5:28 - 5:30在可汗学院上有很多相关内容
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5:30 - 5:32但是我们对这些数取平均就行了
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5:32 - 5:33把它们加起来再除以3
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5:33 - 5:35这是另一种思路
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5:35 - 5:37那么,这里的期望值
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5:37 - 5:39是首先求和
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5:39 - 5:41即0 + -2 + 2
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5:41 - 5:43这样,求和得结果0
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5:43 - 5:45再除以3,结果是0
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5:45 - 5:48所以, 这里我填0作为本情形的期望值
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5:48 - 5:52对应小芳出石头而小丽随机出的情形
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5:52 - 5:56现在,看第二种情况。 我们对这几个数求平均
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5:56 - 5:58如果我们把这3个数加起来
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5:58 - 6:02即2 + 0 + -1。 得1, 再除以3
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6:02 - 6:06所以小芳得分的期望值是
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6:06 - 6:073分之1
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6:07 - 6:10然后最后一种情况
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6:10 - 6:13把这些数全部加起来,结果是-1
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6:13 - 6:16除以3得负3分之1
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6:16 - 6:20所以看来,在小丽随机出手势的假设情况下
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6:20 - 6:22小芳要得到最好的分数期望值
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6:22 - 6:24是小芳出布
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6:24 - 6:27对应的期望值是正的3分之1
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6:27 - 6:29所以小芳应该出什么以最大化
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6:29 - 6:31她得到最高分的几率呢?
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6:31 - 6:32出布
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6:32 - 6:34当然,这里我们假设
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6:34 - 6:35小丽总是随机出手势
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6:35 - 6:37显然,如果小丽发现
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6:37 - 6:38小芳总是出布
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6:38 - 6:40小丽会调整她的策略
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6:40 - 6:42但是这就超出了本题讨论范围
- Title:
- 使用矩阵表示数据: 回报 | 矩阵 | 预科微积分 | 可汗学院
- Description:
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本质上,矩阵是数值的表格。 但是你可能惊讶于有多少现实情况可以用这种结构来建模。在这里,例如,我们用它来表示一个游戏的输赢收益: 在石头剪子布游戏中表示每个选手的得分。
- Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 06:43