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使用矩阵表示数据： 回报 | 矩阵 | 预科微积分 | 可汗学院

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    有这样一个例子：
  • 0:01 - 0:05
    小芳和小丽玩石头剪子布赢分数游戏
  • 0:05 - 0:08
    根据双方手势的不同组合
  • 0:08 - 0:11
    赢家得到不同的分数
  • 0:11 - 0:13
    在石头剪子布游戏中
  • 0:13 - 0:16
    石头胜剪子
  • 0:16 - 0:19
    剪子胜布， 而布胜石头
  • 0:19 - 0:22
    在这里，他们详细阐述了游戏计分规制
  • 0:22 - 0:24
    如果小芳赢了，她得到2分
  • 0:24 - 0:27
    当小丽出石头赢了，她得到3分
  • 0:27 - 0:30
    当小丽出布赢了，她得到2分
  • 0:30 - 0:32
    当小丽出剪刀赢了，她得到1分
  • 0:32 - 0:35
    如果双方出同样的手势，都不得分
  • 0:35 - 0:37
    因为这一轮没人赢
  • 0:37 - 0:41
    完成这个矩阵以代表她们的计分
  • 0:41 - 0:45
    该计分系统显示小芳的得分
  • 0:45 - 0:49
    负数表明小丽得那么多分
  • 0:49 - 0:51
    矩阵的行是小芳的手势
  • 0:51 - 0:55
    矩阵的列是小丽的手势
  • 0:55 - 0:57
    这里就是这个矩阵
  • 0:57 - 0:59
    请暂停本视频
  • 0:59 - 1:01
    看看你是否能自己完成
  • 1:01 - 1:02
    你可以找一张纸来试试， 行吗？
  • 1:02 - 1:04
    去找一张纸吧
  • 1:04 - 1:06
    好了，现在我们一起来解题
  • 1:06 - 1:08
    那么，多少分
  • 1:08 - 1:11
    切记，这个矩阵表示小芳赢的分数
  • 1:11 - 1:14
    如果小丽赢了，那么小芳得一个负数
  • 1:14 - 1:18
    所以，如果小芳出石头，而小丽也出石头
  • 1:18 - 1:20
    那么是这里这一项
  • 1:20 - 1:21
    会发生什么呢？
  • 1:21 - 1:24
    小芳会得多少分？
  • 1:24 - 1:26
    如果双方都出同样的手势
  • 1:26 - 1:28
    双方都不得分
  • 1:28 - 1:32
    所以如果双方都出石头，这一项就是0
  • 1:32 - 1:34
    我们知道同样的道理
  • 1:34 - 1:36
    如果小芳出布，而小丽也出布
  • 1:36 - 1:38
    这里小芳就得0分
  • 1:38 - 1:41
    而如果双方都出剪子，那么这一项
  • 1:41 - 1:44
    你也得一个0
  • 1:44 - 1:46
    好了，现在如果小芳出石头
  • 1:46 - 1:48
    而小丽出布呢？
  • 1:48 - 1:49
    这里我应该填什么呢？
  • 1:49 - 1:50
    暂停本视频，想一想
  • 1:50 - 1:54
    小芳出石头，小丽出布
  • 1:54 - 1:57
    我们知道布胜石头
  • 1:57 - 2:02
    所以这种情况下，小丽出布胜
  • 2:02 - 2:04
    即这里这种情形
  • 2:04 - 2:06
    所以小丽赢2分
  • 2:06 - 2:08
    那么如果小丽赢2分
  • 2:08 - 2:10
    记住这个矩阵记录的是小芳的得分
  • 2:10 - 2:12
    这里小芳得-2分
  • 2:12 - 2:14
    因为是小丽赢了
  • 2:14 - 2:16
    好了，这一项呢？
  • 2:16 - 2:18
    它代表什么呢？
  • 2:18 - 2:20
    它表示小芳出石头
  • 2:20 - 2:23
    而小丽出剪子
  • 2:23 - 2:26
    我们知道石头胜剪子
  • 2:26 - 2:28
    所以是小芳胜
  • 2:28 - 2:32
    而我们知道只要是小芳胜，她就得2分
  • 2:32 - 2:35
    所以这一项是2分
  • 2:35 - 2:36
    那么这一项呢？
  • 2:36 - 2:38
    代表什么呢？
  • 2:38 - 2:41
    这表示小芳出布
  • 2:41 - 2:42
    而小丽出石头
  • 2:42 - 2:45
    而我们知道布胜石头
  • 2:45 - 2:47
    所以又是小芳胜
  • 2:47 - 2:50
    只要她胜就得2分
  • 2:50 - 2:52
    所以这是2分
  • 2:52 - 2:54
    现在，这一项又是什么呢？
  • 2:54 - 2:58
    请暂停本视频，想想这里应该是个什么数
  • 2:58 - 3:01
    这是小芳出布
  • 3:01 - 3:03
    而小丽出剪子的情况
  • 3:03 - 3:05
    我们知道剪子胜布
  • 3:05 - 3:07
    我想是因为剪子能剪断布
  • 3:07 - 3:09
    所以小丽出剪子胜
  • 3:09 - 3:12
    那我们来看这里，我换不同的颜色
  • 3:12 - 3:15
    小丽出剪子胜，她得1分
  • 3:15 - 3:17
    所以你可能会在这里填1
  • 3:17 - 3:19
    但是记住，那是小丽得1分
  • 3:19 - 3:22
    而这个矩阵是用来表示小芳得了多少分
  • 3:22 - 3:24
    所以我们说这里应该是-1分
  • 3:24 - 3:26
    如果知道是小丽赢了1分
  • 3:26 - 3:30
    那么，我们思考一下最后一行
  • 3:30 - 3:32
    这一项代表什么？
  • 3:32 - 3:33
    应该填什么数？
  • 3:33 - 3:36
    请暂停本视频，想一想
  • 3:36 - 3:37
    这是小芳出剪子
  • 3:37 - 3:39
    而小丽出石头
  • 3:39 - 3:41
    我们知道石头胜剪子
  • 3:41 - 3:43
    我想是因为石头可以砸坏剪子
  • 3:43 - 3:47
    所以这种情形，小丽出石头胜
  • 3:47 - 3:49
    而我们知道， 让我换一种颜色
  • 3:49 - 3:52
    当小丽出石头胜，她得3分
  • 3:52 - 3:54
    所以这里小丽得3分
  • 3:54 - 3:56
    而这个矩阵是用来表示小芳得了多少分
  • 3:56 - 3:58
    所以我们得在这里填-3
  • 3:58 - 4:00
    因为是小丽得了3分
  • 4:00 - 4:04
    记住，一个负数表示小丽得了那么多分
  • 4:04 - 4:10
    最后一项，你觉得应该填什么？
  • 4:10 - 4:12
    这是小芳出剪子
  • 4:12 - 4:15
    而小丽出布
  • 4:15 - 4:17
    我们知道剪子胜布
  • 4:17 - 4:18
    因为剪子剪坏布
  • 4:18 - 4:21
    而且我们知道只要是小芳胜
  • 4:21 - 4:24
    比如这里她出剪子胜，她都得2分
  • 4:24 - 4:27
    所以这里填2分，这样子
  • 4:27 - 4:29
    那么我们填完了这个矩阵
  • 4:29 - 4:30
    现在我们要回答下面这样一个问题
  • 4:30 - 4:34
    假设小丽完全随机地出手势
  • 4:34 - 4:38
    小芳应该出什么
  • 4:38 - 4:40
    可以最大化她得到最高分的概率？
  • 4:40 - 4:43
    请暂停本视频，看看这个矩阵
  • 4:43 - 4:46
    怎么帮助你解决本问题
  • 4:46 - 4:47
    好了
  • 4:47 - 4:50
    本视频不是关于概率方面的练习
  • 4:50 - 4:52
    但是我们可以简单回顾一下
  • 4:52 - 4:55
    可以这么考虑，当小芳出石头
  • 4:55 - 4:57
    这里是对应的情形
  • 4:57 - 4:59
    这里是所有小芳出石头时会出现的结果
  • 4:59 - 5:02
    从题意可知， 小丽随机出手势
  • 5:02 - 5:05
    所以，小丽出石头的概率是3分之1
  • 5:05 - 5:07
    出布的概率是3分之1， 出剪子的概率是3分之1
  • 5:07 - 5:09
    因为这些事等概率发生的
  • 5:09 - 5:12
    因为他们已经说了，小丽随机出手势
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    你可以求出
  • 5:13 - 5:16
    这种情况下的期望值
  • 5:16 - 5:19
    我们可以对这3个数取平均
  • 5:19 - 5:20
    可以这么做
  • 5:20 - 5:26
    3分之1乘以0加3分之1乘以-2加3分之1乘以2
  • 5:26 - 5:28
    如果你想了解更多关于期望值
  • 5:28 - 5:30
    在可汗学院上有很多相关内容
  • 5:30 - 5:32
    但是我们对这些数取平均就行了
  • 5:32 - 5:33
    把它们加起来再除以3
  • 5:33 - 5:35
    这是另一种思路
  • 5:35 - 5:37
    那么，这里的期望值
  • 5:37 - 5:39
    是首先求和
  • 5:39 - 5:41
    即0 + -2 + 2
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    这样，求和得结果0
  • 5:43 - 5:45
    再除以3，结果是0
  • 5:45 - 5:48
    所以， 这里我填0作为本情形的期望值
  • 5:48 - 5:52
    对应小芳出石头而小丽随机出的情形
  • 5:52 - 5:56
    现在，看第二种情况。 我们对这几个数求平均
  • 5:56 - 5:58
    如果我们把这3个数加起来
  • 5:58 - 6:02
    即2 + 0 + -1。 得1, 再除以3
  • 6:02 - 6:06
    所以小芳得分的期望值是
  • 6:06 - 6:07
    3分之1
  • 6:07 - 6:10
    然后最后一种情况
  • 6:10 - 6:13
    把这些数全部加起来，结果是-1
  • 6:13 - 6:16
    除以3得负3分之1
  • 6:16 - 6:20
    所以看来，在小丽随机出手势的假设情况下
  • 6:20 - 6:22
    小芳要得到最好的分数期望值
  • 6:22 - 6:24
    是小芳出布
  • 6:24 - 6:27
    对应的期望值是正的3分之1
  • 6:27 - 6:29
    所以小芳应该出什么以最大化
  • 6:29 - 6:31
    她得到最高分的几率呢？
  • 6:31 - 6:32
    出布
  • 6:32 - 6:34
    当然，这里我们假设
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    小丽总是随机出手势
  • 6:35 - 6:37
    显然，如果小丽发现
  • 6:37 - 6:38
    小芳总是出布
  • 6:38 - 6:40
    小丽会调整她的策略
  • 6:40 - 6:42
    但是这就超出了本题讨论范围
Title:
使用矩阵表示数据： 回报 | 矩阵 | 预科微积分 | 可汗学院
Description:

本质上，矩阵是数值的表格。 但是你可能惊讶于有多少现实情况可以用这种结构来建模。在这里，例如，我们用它来表示一个游戏的输赢收益： 在石头剪子布游戏中表示每个选手的得分。
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:43

Chinese, Simplified subtitles

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