2011 Calculus AB Free Response #4c
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0:01 - 0:04c小题，求在区间负4小于等于x
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0:04 - 0:08小于等于3内g的图像有拐点的
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0:08 - 0:10所有x值
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0:10 - 0:11解释你的答案
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0:11 - 0:16一个拐点是
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0:16 - 0:24二阶导数变换符号的地方
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0:24 - 0:27所以假如你求那个点的二阶导数
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0:27 - 0:29或者说当我们经过那个点的时候
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0:29 - 0:31它会从正的变成负的
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0:31 - 0:32或者负的变成正的
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0:32 - 0:34如果要从视觉上来感受的话
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0:34 - 0:36你可以想一些例子
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0:36 - 0:42比如你有一个长得像这样的曲线
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0:42 - 0:45你会发现这里的斜率是负的
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0:45 - 0:46但是它在增长
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0:46 - 0:48它变得没那么负了
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0:48 - 0:49之后变成了0
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0:49 - 0:50然后它继续增长
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0:50 - 0:53斜率一直增长到这里
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0:53 - 0:56然后开始变得没那么正了
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0:56 - 0:57开始减小了
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0:57 - 0:58这里它在增长
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0:58 - 1:01在这个点斜率是在增长的
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1:01 - 1:02尽管斜率是负的
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1:02 - 1:04但是它在这里正变得没那么负
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1:04 - 1:05所以它是在增长的
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1:05 - 1:07然后斜率一直在增长
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1:07 - 1:08一直变得越来越正
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1:08 - 1:09一直到这个点
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1:09 - 1:11然后虽然斜率是正的，但是
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1:11 - 1:12它在变得没那么正
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1:12 - 1:15所以斜率在这之后是开始减小了
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1:18 - 1:21那这里是一个拐点
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1:21 - 1:25斜率从增长变成减小
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1:25 - 1:28然后假如斜率是从
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1:28 - 1:29减小变成增长
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1:29 - 1:30那也会是一个拐点
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1:30 - 1:33所以假如这是某个三角函数的曲线
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1:33 - 1:34那你可能看到像这样的东西
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1:34 - 1:39然后这也会是一个拐点
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1:39 - 1:43但在这里，我们的g(x)不好直接看出来
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1:43 - 1:45题目在这里定义了g
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1:45 - 1:46所以最好的办法就是
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1:46 - 1:50找到二阶导数符号变换的地方
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1:50 - 1:53所以我们要求二阶导数
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1:53 - 1:55我们在这里写出g(x)
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1:55 - 1:59我们知道g(x)等于2x加f(t)
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1:59 - 2:030到x的定积分
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2:03 - 2:04我们已经求了导数
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2:04 - 2:05但我们再来做一次
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2:05 - 2:10g'(x)等于2加……微积分
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2:10 - 2:11基本定理
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2:11 - 2:15这个的导数就是f(x)
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2:15 - 2:18假如我们求二阶导数g''(x)
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2:18 - 2:21这等于……2的导数是0
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2:21 - 2:25然后f(x)的导数是f'(x)
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2:25 - 2:29所以要求哪里有符号变换
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2:29 - 2:31二阶导数哪里有负号变换
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2:31 - 2:35就是求f的一阶导数
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2:35 - 2:39哪里有符号变换
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2:39 - 2:41然后找f的一阶导数哪里有
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2:41 - 2:45符号变换就是求
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2:45 - 2:48f的斜率在哪里有符号变换
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2:48 - 2:53你可以把这个看成f的瞬时
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2:53 - 2:53斜率
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2:53 - 2:57所以我们要求f的斜率变换符号的时候
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2:57 - 2:58我们想想
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2:58 - 3:01在这里，斜率是正的
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3:01 - 3:01它往上走
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3:01 - 3:02往上
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3:02 - 3:04它在增长，是正的
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3:04 - 3:05这是我们在乎的
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3:05 - 3:06我们写出来
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3:06 - 3:06我会用绿色
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3:06 - 3:10所以在这里斜率一直是正的
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3:10 - 3:11它在增长
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3:11 - 3:11它在增长
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3:11 - 3:12它是正的
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3:12 - 3:14现在变得没那么正了
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3:14 - 3:17它在减小了，但是斜率还是正的
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3:17 - 3:20斜率一直是正的
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3:20 - 3:21直到这个地方
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3:21 - 3:23你可以看见它基本接近0了
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3:23 - 3:24然后斜率变成负的了
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3:24 - 3:26然后这里斜率是负的
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3:30 - 3:32这里斜率是负的
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3:32 - 3:33这很有意思
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3:33 - 3:36因为尽管f在这里不可导
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3:36 - 3:39f在这个点
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3:39 - 3:40不可导
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3:40 - 3:42你可以看见因为斜率接近0
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3:42 - 3:44然后直接跳到负3了
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3:44 - 3:48所以导数这里是不连续的
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3:48 - 3:50但是我们有符号变换
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3:50 - 3:55我们从曲线这里的
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3:55 - 3:56正的斜率到
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3:56 - 3:59曲线这边的负斜率
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3:59 - 4:01我们有一个符号变换
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4:01 - 4:05在x等于0的时候，在f的一阶导数里有
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4:05 - 4:08符号变换就等于在g的二阶导数
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4:08 - 4:10里有符号变换
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4:10 - 4:13然后g的二阶导数里有符号变换
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4:13 - 4:20就是说当x等于0的时候，g的图像
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4:20 - 4:23有一个拐点
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- 2011 Calculus AB Free Response #4c
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求一个奇怪定义函数的拐点。由Sal Khan制作
观看下一节课： https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-solved-exams/ab-solved-exams-2011/v/2011-calculus-ab-free-response-4d?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB
错过上一节课？ https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-solved-exams/ab-solved-exams-2011/v/2011-calculus-ab-free-response-4b?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB
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