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Parte C
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Determine os valores de x pertencentes
ao intervalo entre menos quatro e três
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para os quais o gráfico de g apresenta
um ponto de inflexão. Justifique.
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Um ponto de inflexão ocorre quando
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o sinal da segunda derivada muda.
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Então, se tomarmos a segunda derivada em
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um ponto próximo a ele,
e o ultrapassarmos,
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então o sinal muda de positivo para
negativo, ou de negativo para positivo.
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Para visualizarmos farei exemplos.
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Se tomarmos uma curva parecida com esta
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você poderá notar que a curvatura é
negativa mas está aumentando,
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ficando menos negativa,
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igualando a zero e aumentando,
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a curvatura aumenta ao longo do trajeto
até que começa a ficar menos positiva,
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e então começa a decrescer.
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A curvatura começa aumentando
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até este ponto aqui,
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e mesmo sendo negativa, vai ficando
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menos negativa, portanto está aumentando.
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e a inclinação continua aumentando
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ficando cada vez mais positiva até este
ponto
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onde ela ainda é positiva mas começa
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a ficar menos positiva e vai diminuindo
a partir daí.
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Então a inclinação passa a diminuir.
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E aqui temos o ponto de inflexão.
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A inclinação passou de crescente
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para decrescente e o mesmo acontece
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se mudar de decrescente para crescente,
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também será um ponto de inflexão.
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O exemplo talvez seja uma curva
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trigonométrica, e aí você
veria algo assim.
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Aqui também teríamos um ponto de inflexão.
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No nosso problema, a função g de x é
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de difícil visualização, na forma como foi
definida.
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Então, a melhor opção para se resolver
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o problema é procurar as mudanças de
sinal da segunda derivada.
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E para isso precisaremos da segunda
derivada da função.
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Vamos escrever g de x aqui.
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Sabemos que g de x é igual a 2x mais a
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integral definida de 0 a x de f de t dt.
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Já calculamos anteriormente essa derivada,
mas faremos novamente.
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Usando o Teorema Fundamental do Cálculo
teremos g linha de x igual a
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2 mais a derivada deste termo aqui,
que vale f de x.
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Tomando a segunda derivada
de g de x, teremos
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a derivada de dois, que vale zero, e a
derivada de f de x, f linha de x.
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Procurando onde há mudança de sinal,
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onde a segunda derivada muda de sinal
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equivale à mudança de sinal na primeira
derivada de f.
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E procurar mudança de sinal na primeira
derivada de f
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equivale a procurar onde a inclinação de f
muda de sinal.
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equivale a procurar onde a inclinação de f
muda de sinal.
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Chamaremos de a, a inclinação
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ou inclinação instantânea de f.
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E desejamos saber onde essa inclinação
muda de sinal.
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Vamos pensar.
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Aqui a inclinação é positiva.
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Está aumentando, mas o que importa
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é que seja positiva.
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Deixe-me usar a cor verde.
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Então, temos uma inclinação positiva,
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ao longo de todo esse trecho ela está
aumentando e é positiva,
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agora está ficando menos positiva,
está começando a diminuir
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mas ainda é positiva.
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Ela é positiva até este ponto aqui,
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me parece que estamos próximos do zero
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e a partir daqui a inclinação
fica negativa.
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Aqui a inclinação é negativa.
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Isto é interessante, pois mesmo
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que f não seja diferenciável nesse ponto,
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e a função não é diferenciável nesse ponto
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pois a inclinação é muito próxima de zero
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e de repente passa a valer menos três.
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Temos uma descontinuidade
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na derivada da função, bem neste
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ponto, mas há uma mudança de sinal.
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Passamos de uma inclinação positiva
nesta região
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para uma inclinação negativa
nesta outra região.
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Observamos uma mudança de sinal
bem aqui, em x igual a zero
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uma mudança de sinal na
primeira derivada de f
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o que equivale a dizer que
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há uma mudança na segunda derivada de g.
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E mudanças de sinal na segunda derivada
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de g nos dizem que, para x igual a zero,
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temos, no gráfico de g,
um ponto de inflexão.
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[Traduzido por: Tatiana F. D'Addio]
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