YouTube

Got a YouTube account?

New: enable viewer-created translations and captions on your YouTube channel!

Croatian subtitles

← Kako je problem mostova Königsberga promijenio matematiku - Dan Van der Vieren

Get Embed Code
22 Languages

Showing Revision 12 created 10/07/2016 by Ivan Stamenković.

  1. Königsberg ćete teško pronaći
    na današnjoj zemljopisnoj karti,

  2. ali jedna dosjetka vezana za njegov tlocrt
  3. učinila ga je jednim od najslavnijih
    gradova vezanih uz matematiku.
  4. Srednjovjekovni njemački grad ležao je
    na obje strane rijeke Pregel.
  5. U središtu su bila dva velika otoka.
  6. Dva otoka bila su povezana
    međusobno i s obalama rijeke
  7. pomoću sedam mostova.
  8. Carl Gottlieb Ehler, matematičar koji je
    postao gradonačelnik obližnjeg grada,
  9. postao je opsjednut ovim otocima
    i mostovima.
  10. Stalno se vraćao na isto pitanje:
  11. na koji način netko
    može prijeći svih sedan mostova
  12. tako da svaki most
    prijeđe samo jednom?
  13. Razmislite o tome na trenutak.
  14. 7
  15. 6
  16. 5
  17. 4
  18. 3
  19. 2
  20. 1
  21. Odustajete?
  22. Trebali biste.
  23. To nije moguće učiniti.
  24. Ali pokušaj objašnjavanja zašto je tako
    vodio je matematičara Leonharda Eulera
  25. do stvaranja novog područja matematike.
  26. Carl je pisao Euleru
    moleći ga za pomoć.
  27. Euler je najprije odbacio problem
    jer je vjerovao da nema veze s matematikom.
  28. Ali što je više razmišljao o njemu,
  29. činilo se više mogućim
    da se u njemu nešto krije.
  30. Odgovor do kojeg je došao
    imao je veze s vrstom geometrije
  31. koja još nije postojala,
    a koju je on nazvao Geometrija položaja,
  32. a danas je poznata kao Teorija grafova.
  33. Eulerova prva spoznaja
  34. bila je da ruta između stupanja na otok
    ili obalu rijeke i napuštanja istog
  35. zapravo nije važna.
  36. Prema tome, karta se može pojednostavniti
    tako da se svaki od četiri kopnena čvora
  37. prikaže pomoću točke,
  38. koju ćemo zvati vrh,
  39. a linije koje prikazuju mostove,
    zvat ćemo bridovi.
  40. Na ovom jednostavnom grafu
    lako možemo odrediti stupanj svakog vrha.
  41. To je broj mostova
    kojim je svaki kopneni čvor povezan.
  42. Zašto je stupanj važan?
  43. Prema pravilima izazova,
  44. kad putnik stigne na kopneni čvor
    pomoću jednog mosta,
  45. mora ga napustiti
    prelazeći preko drugog.
  46. Drugim riječima, mostovi koji vode
    do vrha i s njega na bilo kojoj ruti
  47. moraju se pojavljivati u parovima,
  48. što znači da broj mostova
    koji dodiruju svaki prijeđeni čvor
  49. mora biti paran.
  50. Jedine moguće iznimke bile bi
  51. početak i kraj šetnje.
  52. Gledajući graf, postaje očito
    da sva četiri vrha imaju neparan stupanj.
  53. Pa koji god put odaberemo,
  54. u jednom trenutku,
    jedan od mostova moramo prijeći dvaput.
  55. Euler je pomoću ovog dokaza
    oblikovao opću teoriju
  56. koja se odnosi na sve grafove
    s dva i više vrha.
  57. Eulerova staza
    kod koje se svaki vrh prelazi jednom
  58. moguća je jedino u dva slučaja.
  59. Prvi je kad postoje točno dva vrha
    neparnog stupnja,
  60. pa su svi ostali parni.
  61. Tada je početna točka
    jedan od dva neparna vrha,
  62. a kraj šetnje je drugi.
  63. Drugi slučaj je kada su
    svi vrhovi parnog stupnja.
  64. Tad će Eulerova staza započeti
    i završiti u istom vrhu,
  65. što se u teoriji grafova zove
    Eulerova tura.
  66. Dakle, kako kreirati Eulerovu stazu
    u Königsbergu?
  67. Jednostavno je.
  68. Samo treba ukloniti jedan most.
  69. Dogodilo se da je povijest
    sama stvorila Eulerovu stazu.
  70. U II. svjetskom ratu Sovjetske zračne sile
    uništile su jedan od dva gradska mosta,
  71. pa je Eulerova staza postala moguća.
  72. Doduše, to vjerojatno
    nije bila njihova namjera.
  73. Bombardiranje je gotovo
    izbrisalo Königsberg s karte,
  74. te je poslije ponovo izgrađen
    kao ruski grad Kaliningrad.
  75. Iako Königsberg i njegovih sedam mostova
    više ne postoje,
  76. bit će zapamćeni u povijesti
    zbog naizgled trivijalne zagonetke
  77. koja je vodila do stvaranja
    potpuno nove grane matematike.