Einführung in die Mathematischen Vorrangregeln

Mathematische Vorrangregeln

In diesem Video werden wir über die

Operatorrangfolge reden.
Ich möchte das ihr sehr genau aufpasst

denn wirklich ALLES was ihr

in der Mathematik macht

basiert auf einem guten
Verständnis der Vorrangregeln

Also was meinen wir mit Operatorrangfolge?

Nehmen wir ein Beispiel.

Der Sinn der Sache ist,
eine Möglichkeit zu haben,

eine mathematische Aussage
zu interpretieren.

Sagen wir ich habe die Aussage:

sieben, plus drei, mal fünf.

Jetzt, wenn wir nicht über
die Rangfolge einig wären

gäbe es 2 Möglichkeiten,
diese Aussage zu interpretieren.

Man konnte es von links nach rechts lesen.

So könnte man sagen,

man nimmt sieben plus drei.

und das Ergebnis multiplizieren wir mit 5

Sieben plus drei ist zehn

und dann mit fünf multiplizieren.

Zehn Mal fünf ergibt fünfzig.

Das ist also eine Möglichkeit, wie man den
Ausdruck hätte interpretieren können,

wenn man sich nicht auf eine Reihenfolge
der Operationen festgelegt hätte.

Einfach von links nach rechts.

Eine andere Interpretation:

Sie sagen,
Sie ziehen Multiplikation der Addition vor

Dann könnte man zu folgendem Schluß kommen
- ich versuche es farblich zu machen -

Zuerst berechnet man die drei mal fünf.

Sieben plus drei mal fünf.

Das ergibt 15.
Dann plus 7 und wir erhalten 22.

Also, wir haben die Aussage
in zweierlei Weise interpretiert

Die erste war nur einfach
von links nach rechts.

Erst die Addition,
dann die Multiplikation.

Anschließend haben wir erst multipliziert
und dann addiert.

Wir bekamen 2 verschiedene Antworten.
Das ist in der Mathematik nicht gut.

Wenn dies Teil einer Mondmission wäre

und zwei Personen rechnen unterschiedlich

oder zwei Computer kommen zu
unterschiedlichen Ergebnissen

fliegt der Satellit vielleicht zum Mars!

Das wäre völlig inakzeptabel.

Genau deshalb müssen wir uns auf
eine Rangordnung der Operatoren einigen.

Ein einheitlicher Weg,
um diese Aussage zu interpretieren

Die gültige Operatorrangfolge besagt,
das Klammern zuerst kommen.

Schreiben wir das auf.
(Parentheses = 'Klammern')

Dann folgen die Exponenten.

Wenn Sie nicht wissen was Exponenten sind,
keine Sorge.

In diesem Video haben wir
kein Beispiel mit Exponenten.

Als nächstes folgt die Multiplikation.
Schreiben wir "Mult." als Abkürzung.

Multiplikation und Division
haben die gleiche Priorität.

Und dann endlich kommen
Addition und Subtraktion.

Also, was stellt diese Reihenfolge dar?

Ich beschrifte das. Das hier ist
die allgemein gültige Operatorrangfolge.

Wenn wir dieser Operatorrangfolge folgen,

sollten wir bei einer mathematischen Aussage,
immer die gleiche Antwort erhalten.

Was sagt uns das?

Wie sollen wir die Aufgabe interpretieren?

Nun, wir haben keine Klammern.
Klammern sehen so aus.

Das sind die krummen Dinger um Zahlen.

Wir haben hier keine Klammern,

Mache ich ein paar Beispiele mit Klammern.

Wir haben keine Exponenten hier.

Wir haben Multiplikation/Division
bzw. nur Multiplikation.

Also die Operatorrangfolge besagt:
"Multiplikation und Division zuerst".

Also, es heißt "die Multiplikation zuerst"

Das ist eine Multiplikation,
also kommt dieser Vorgang zuerst.

Er hat Vorrang gegenüber
Addition oder Subtraktion.

So wenn wir dies zuerst tun,
bekommen wir drei mal fünf.

- das gibt fünfzehn -
und dann erst fügen wir die sieben hinzu.

Die Addition / Subtraktion
kommt anschließend.

Hier haben wir nur Addition.

Wir machen die Multiplikation zuerst,
erhalten 15, dann plus sieben = 22

Also basierend auf der allgemein gültigen
Operatorrangfolge,

ist das hier die korrekte Antwort und der
richtige Weg die Aufgabe zu interpretieren

Machen wir ein weiteres Beispiel.

Ich denke, dass es dann wenig klarer wird.

Und ich werde das Beispiel in Pink.

Sagen wir ich habe sieben plus drei
in Klammern.

Das mal vier, geteilt durch zwei,
minus fünf, mal sechs.

Es gibt hier alle Arten an Operatoren,

aber wenn Sie einfach die Reihenfolge
beachten, wird es einfacher und klarer

und ich hoffe wir bekommen
alle die gleichen Antworten.

Folgen wir einfach der
Rangfolge der Operatoren.

Das erste was wir tun müssen ist,
Klammern zu suchen.

Gibt es hier Klammern? Ja, gibt es!

Es gibt sieben plus drei in Klammern.

So, es heißt, Klammern zuerst.
Also sieben plus drei ist zehn.

Das können wir, entsprechend der Rangfolge
zu einer zehn vereinfachen.

Zehn mal der Rest.
- Lasst mich das kopieren -

Dann muss ich es nicht nochmal schreiben.

- kopieren
- einfügen

Also vereinfacht,
die zehn Mal all das hier.

Wir haben unsere Klammern zuerst.
Was tun wir dann?

Es gibt keine weitere Klammern
in diesem Ausdruck.

Dann sollten wir Exponenten berechnen.
Ich sehe hier keine Exponenten.

Nur damit Sie wissen
wie Exponenten aussehen.

Ein Exponent würde aussehen wie
- sieben im Quadrat.

Sie würden diese kleine Zahl
oben rechts sehen.

Aber wir haben hier keine Exponenten.

Dann heißt es Multiplikation
und Division als nächstes.

Wo haben wir überall Multiplikation?

Multiplikation, Division
und noch eine Multiplikation.

Wenn man mehrere Vorgänge
mit gleicher Priorität hat

und in unserer Aufgabe haben wir mehrere,
(Multiplikationen und Divisionen)

dann gilt von links nach rechts.

In diesem Fall multipliziert man mit vier

und dann teilt man durch zwei.

Dann rechnen wir die fünf mal sechs,
bevor wir Subtrahieren.

Also lasst uns herausfinden, was das gibt.

Wir machen diese Multiplikation zuerst.

Wir könnten die andere Multiplikation
gleichzeitig erledigen.

Das würde nichts ändern.

Ich mache aber
einen Schritt nach dem anderen.

Der nächste Schritt, den wir machen,
ist diese zehn Mal vier.

Zehn Mal vier ist ist vierzig.

Dann 40 geteilt durch zwei .
- Ich kopiere wieder alles -

Dann vereinfacht es es sich hierzu.

Nicht vergessen, Multiplikation / Division
haben dieselbe Priorität,

also werden wir wieder von
links nach rechts vorgehen.

Man kann das auch als Multiplikation
mit 0,5 ausdrücken.

Da ist die Reihenfolge egal.

Der Einfachheit halber: Multiplikation/
Division von links nach rechts.

Also haben wir 40 geteilt durch zwei,
minus fünf mal sechs.

So, hier haben wir eine Division,
diese kommt als nächstes.

Wir haben auch noch eine Multiplikation.

Die beiden sind nicht zusammen,

also können wir sie gleichzeitig machen.

Um es deutlich zumachen,
wir berechnen diese vor der Subtraktion,

da Multiplikation / Division Vorrang vor
Addition / Subtraktion haben

Wir könnten sie in Klammern setzen,
um zu sagen:

"Schau mal, wir rechnen diese zwei zuerst,
bevor wir substrahieren,

denn Multiplikation/Division
haben Vorrang".

Also 40 geteilt durch zwei ergibt 20.
Dann haben wir das Minuszeichen-

minus fünf mal sechs ist 30.

20 minus 30 ist gleich -10

Und das ist die richtige
Interpretation davon.

Ich möchte das eines ganz klar ist:

Wenn man mehrere Berechnungen
auf gleicher Ebene hat

- also z.B. eins plus zwei,
minus drei, plus vier, minus eins -

also Addition/Subtraktion auf derselben
Ebene in der Rangfolge der Operatoren hat,

geht man nach dem Prinzip:
"von links nach rechts" vor.

Das wird also interpretiert wie:
eins plus zwei ist drei.

Das ist das gleiche wie
drei minus drei, plus vier minus eins.

Drei minus drei ist null,
plus vier, minus eins.

Dies ist das gleiche wie vier minus eins
bzw. das gleiche wie drei.

Einfach von links nach rechts.

Das gilt bei auch Multiplikation/Division

alle auf der gleichen Ebene.

Hier haben wir vier Mal zwei,
geteilt durch drei mal zwei.

Vier mal zwei beträgt acht,
geteilt durch drei mal zwei.

Teilt man acht durch drei
erhält man einen Bruch - das gibt 8/3 -

Also 8/3 mal 2,

Und 8/3 mal 2 ergibt 16/3.

Das ist die Interpretation.

Man macht nicht erst die multiplikation
oder die 2 geteilt durch 3 oder ähnliches.

Das einzige mal wo die Reihenfolge
keine Rolle spielt ist,

wenn alle Operationen Addition
oder alle Multiplikation sind.

Z.B. 1 plus 5, plus 7, plus 3, plus 2
- hier spielt die Reihenfolge keine Rolle.

Hier kann man zwei plus drei,
plus sieben ...

d.h. man kann von rechts nach links gehen;

oder von links nach rechts;

oder man beginnt irgendwo dazwischen.

Hauptsache alle Operationen sind Addition.

Das gleiche gilt,
wenn man nur Multiplikation hat.

Bei eins mal fünf, mal sieben, mal drei,
mal 2 spielt die Reihenfolge keine Rolle.

Das gilt nur, wenn man ausschließlich
Multiplikation oder Addition hat.

Wenn es rechts eine Division,
oder links eine Subtraktion gäbe

würde man am Besten
von links nach rechts vorgehen.