WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.997
In diesem Video werden wir über die

00:00:03.006 --> 00:00:06.990
Operatorrangfolge reden.
Ich möchte das ihr sehr genau aufpasst

00:00:06.990 --> 00:00:08.757
denn wirklich ALLES was ihr

00:00:08.757 --> 00:00:10.793
in der Mathematik macht

00:00:10.793 --> 00:00:14.524
basiert auf einem guten
Verständnis der Vorrangregeln

00:00:14.524 --> 00:00:16.994
Also was meinen wir mit Operatorrangfolge?

00:00:16.994 --> 00:00:18.518
Nehmen wir ein Beispiel.

00:00:18.518 --> 00:00:21.418
Der Sinn der Sache ist,
eine Möglichkeit zu haben,

00:00:21.418 --> 00:00:23.828
eine mathematische Aussage
zu interpretieren.

00:00:23.828 --> 00:00:26.239
Sagen wir ich habe die Aussage:

00:00:26.239 --> 00:00:31.983
sieben, plus drei, mal fünf.

00:00:31.983 --> 00:00:36.001
Jetzt, wenn wir nicht über
die Rangfolge einig wären

00:00:36.001 --> 00:00:39.335
gäbe es 2 Möglichkeiten,
diese Aussage zu interpretieren.

00:00:39.335 --> 00:00:41.424
Man konnte es von links nach rechts lesen.

00:00:41.424 --> 00:00:44.506
So könnte man sagen,

00:00:44.506 --> 00:00:46.770
man nimmt sieben plus drei.

00:00:46.770 --> 00:00:50.334
und das Ergebnis multiplizieren wir mit 5

00:00:50.334 --> 00:00:52.979
Sieben plus drei ist zehn

00:00:52.979 --> 00:00:54.947
und dann mit fünf multiplizieren.

00:00:54.947 --> 00:00:56.974

Zehn Mal fünf ergibt fünfzig.

00:00:56.974 --> 00:01:00.745
Das ist also eine Möglichkeit, wie man den
Ausdruck hätte interpretieren können,

00:01:00.745 --> 00:01:04.289
wenn man sich nicht auf eine Reihenfolge
der Operationen festgelegt hätte.

00:01:04.289 --> 00:01:05.737
Einfach von links nach rechts.

00:01:05.737 --> 00:01:07.052
Eine andere Interpretation:

00:01:07.052 --> 00:01:09.523
Sie sagen,
Sie ziehen Multiplikation der Addition vor

00:01:09.523 --> 00:01:13.917
Dann könnte man zu folgendem Schluß kommen
- ich versuche es farblich zu machen -

00:01:13.917 --> 00:01:17.256
Zuerst berechnet man die drei mal fünf.

00:01:17.256 --> 00:01:24.425
Sieben plus drei mal fünf.

00:01:24.425 --> 00:01:29.960
Das ergibt 15.
Dann plus 7 und wir erhalten 22.

00:01:29.960 --> 00:01:34.893
Also, wir haben die Aussage
in zweierlei Weise interpretiert

00:01:34.893 --> 00:01:37.216
Die erste war nur einfach
von links nach rechts.

00:01:37.216 --> 00:01:39.215
Erst die Addition,
dann die Multiplikation.

00:01:39.215 --> 00:01:42.016
Anschließend haben wir erst multipliziert
und dann addiert.

00:01:42.016 --> 00:01:45.498
Wir bekamen 2 verschiedene Antworten.
Das ist in der Mathematik nicht gut.

00:01:45.498 --> 00:01:49.498
Wenn dies Teil einer Mondmission wäre

00:01:49.498 --> 00:01:51.983
und zwei Personen rechnen unterschiedlich

00:01:51.983 --> 00:01:55.016
oder zwei Computer kommen zu
unterschiedlichen Ergebnissen

00:01:55.016 --> 00:01:57.558
fliegt der Satellit vielleicht zum Mars!

00:01:57.558 --> 00:01:59.401
Das wäre völlig inakzeptabel.

00:01:59.401 --> 00:02:03.051
Genau deshalb müssen wir uns auf
eine Rangordnung der Operatoren einigen.

00:02:03.051 --> 00:02:06.004
Ein einheitlicher Weg,
um diese Aussage zu interpretieren

00:02:06.004 --> 00:02:11.522
Die gültige Operatorrangfolge besagt,
das Klammern zuerst kommen.

00:02:11.522 --> 00:02:18.003
Schreiben wir das auf.
(Parentheses = 'Klammern')

00:02:18.003 --> 00:02:19.988
Dann folgen die Exponenten.

00:02:19.988 --> 00:02:23.011
Wenn Sie nicht wissen was Exponenten sind,
keine Sorge.

00:02:23.011 --> 00:02:27.983
In diesem Video haben wir
kein Beispiel mit Exponenten.

00:02:29.029 --> 00:02:35.026
Als nächstes folgt die Multiplikation.
Schreiben wir "Mult." als Abkürzung.

00:02:35.026 --> 00:02:40.002
Multiplikation und Division
haben die gleiche Priorität.

00:02:40.002 --> 00:02:47.013
Und dann endlich kommen
Addition und Subtraktion.

00:02:47.013 --> 00:02:49.467
Also, was stellt diese Reihenfolge dar?

00:02:49.467 --> 00:02:55.471
Ich beschrifte das. Das hier ist
die allgemein gültige Operatorrangfolge.

00:02:55.471 --> 00:02:58.350
Wenn wir dieser Operatorrangfolge folgen,

00:02:58.350 --> 00:03:01.489
sollten wir bei einer mathematischen Aussage,
immer die gleiche Antwort erhalten.

00:03:01.489 --> 00:03:02.656
Was sagt uns das?

00:03:02.656 --> 00:03:05.281
Wie sollen wir die Aufgabe interpretieren?

00:03:05.281 --> 00:03:08.519
Nun, wir haben keine Klammern.
Klammern sehen so aus.

00:03:08.519 --> 00:03:10.637
Das sind die krummen Dinger um Zahlen.

00:03:10.637 --> 00:03:12.329
Wir haben hier keine Klammern,

00:03:12.329 --> 00:03:14.951
Mache ich ein paar Beispiele mit Klammern.

00:03:14.951 --> 00:03:16.983
Wir haben keine Exponenten hier.

00:03:16.983 --> 00:03:20.493
Wir haben Multiplikation/Division
bzw. nur Multiplikation.

00:03:20.493 --> 00:03:25.001
Also die Operatorrangfolge besagt:
"Multiplikation und Division zuerst".

00:03:25.001 --> 00:03:28.320
Also, es heißt "die Multiplikation zuerst"

00:03:28.320 --> 00:03:32.402
Das ist eine Multiplikation,
also kommt dieser Vorgang zuerst.

00:03:32.402 --> 00:03:35.965
Er hat Vorrang gegenüber
Addition oder Subtraktion.

00:03:35.965 --> 00:03:38.978
So wenn wir dies zuerst tun,
bekommen wir drei mal fünf.

00:03:38.978 --> 00:03:42.469
- das gibt fünfzehn -
und dann erst fügen wir die sieben hinzu.

00:03:42.469 --> 00:03:44.723
Die Addition / Subtraktion
kommt anschließend.

00:03:44.723 --> 00:03:47.866
Hier haben wir nur Addition.

00:03:47.866 --> 00:03:51.956
Wir machen die Multiplikation zuerst,
erhalten 15, dann plus sieben = 22

00:03:51.956 --> 00:03:56.113
Also basierend auf der allgemein gültigen
Operatorrangfolge,

00:03:56.113 --> 00:04:01.475
ist das hier die korrekte Antwort und der
richtige Weg die Aufgabe zu interpretieren

00:04:01.475 --> 00:04:03.474
Machen wir ein weiteres Beispiel.

00:04:03.474 --> 00:04:07.492
Ich denke, dass es dann wenig klarer wird.

00:04:07.492 --> 00:04:09.977
Und ich werde das Beispiel in Pink.

00:04:09.977 --> 00:04:19.011
Sagen wir ich habe sieben plus drei
in Klammern.

00:04:19.011 --> 00:04:30.002
Das mal vier, geteilt durch zwei,
minus fünf, mal sechs.

00:04:30.002 --> 00:04:31.986
Es gibt hier alle Arten an Operatoren,

00:04:31.986 --> 00:04:35.617
aber wenn Sie einfach die Reihenfolge
beachten, wird es einfacher und klarer

00:04:35.617 --> 00:04:39.009
und ich hoffe wir bekommen
alle die gleichen Antworten.

00:04:39.009 --> 00:04:41.261
Folgen wir einfach der
Rangfolge der Operatoren.

00:04:41.261 --> 00:04:43.752
Das erste was wir tun müssen ist,
Klammern zu suchen.

00:04:43.752 --> 00:04:45.783
Gibt es hier Klammern? Ja, gibt es!

00:04:45.783 --> 00:04:48.488
Es gibt sieben plus drei in Klammern.

00:04:48.488 --> 00:04:53.487
So, es heißt, Klammern zuerst.
Also sieben plus drei ist zehn.

00:04:53.487 --> 00:04:57.013
Das können wir, entsprechend der Rangfolge
zu einer zehn vereinfachen.

00:04:57.013 --> 00:05:01.256
Zehn mal der Rest.
- Lasst mich das kopieren -

00:05:01.256 --> 00:05:03.996
Dann muss ich es nicht nochmal schreiben.

00:05:03.996 --> 00:05:06.520
- kopieren
- einfügen

00:05:06.520 --> 00:05:08.659
Also vereinfacht,
die zehn Mal all das hier.

00:05:08.659 --> 00:05:12.070
Wir haben unsere Klammern zuerst.
Was tun wir dann?

00:05:12.070 --> 00:05:14.422
Es gibt keine weitere Klammern
in diesem Ausdruck.

00:05:14.422 --> 00:05:17.729
Dann sollten wir Exponenten berechnen.
Ich sehe hier keine Exponenten.

00:05:17.729 --> 00:05:20.145
Nur damit Sie wissen
wie Exponenten aussehen.

00:05:20.145 --> 00:05:22.993
Ein Exponent würde aussehen wie
- sieben im Quadrat.

00:05:22.993 --> 00:05:25.699
Sie würden diese kleine Zahl
oben rechts sehen.

00:05:25.699 --> 00:05:28.017
Aber wir haben hier keine Exponenten.

00:05:28.017 --> 00:05:32.252
Dann heißt es Multiplikation
und Division als nächstes.

00:05:32.252 --> 00:05:34.199
Wo haben wir überall Multiplikation?

00:05:34.199 --> 00:05:38.466
Multiplikation, Division
und noch eine Multiplikation.

00:05:38.466 --> 00:05:43.045
Wenn man mehrere Vorgänge
mit gleicher Priorität hat

00:05:43.045 --> 00:05:47.494
und in unserer Aufgabe haben wir mehrere,
(Multiplikationen und Divisionen)

00:05:47.494 --> 00:05:49.992
dann gilt von links nach rechts.

00:05:49.992 --> 00:05:54.141
In diesem Fall multipliziert man mit vier

00:05:54.141 --> 00:05:57.906
und dann teilt man durch zwei.


00:05:57.906 --> 00:06:02.987
Dann rechnen wir die fünf mal sechs,
bevor wir Subtrahieren.

00:06:02.987 --> 00:06:06.504
Also lasst uns herausfinden, was das gibt.

00:06:06.504 --> 00:06:08.984
Wir machen diese Multiplikation zuerst.

00:06:08.984 --> 00:06:12.457
Wir könnten die andere Multiplikation
gleichzeitig erledigen.

00:06:12.457 --> 00:06:13.769
Das würde nichts ändern.

00:06:13.769 --> 00:06:16.053
Ich mache aber
einen Schritt nach dem anderen.

00:06:16.053 --> 00:06:19.481
Der nächste Schritt, den wir machen,
ist diese zehn Mal vier.

00:06:19.481 --> 00:06:24.963
Zehn Mal vier ist ist vierzig.

00:06:24.963 --> 00:06:31.934
Dann 40 geteilt durch zwei .
- Ich kopiere wieder alles -

00:06:31.934 --> 00:06:34.244
Dann vereinfacht es es sich hierzu.

00:06:34.244 --> 00:06:37.466
Nicht vergessen, Multiplikation / Division
haben dieselbe Priorität,

00:06:37.466 --> 00:06:40.000
also werden wir wieder von
links nach rechts vorgehen.

00:06:40.000 --> 00:06:43.006
Man kann das auch als Multiplikation
mit 0,5 ausdrücken.

00:06:43.006 --> 00:06:44.960
Da ist die Reihenfolge egal.

00:06:44.960 --> 00:06:48.993
Der Einfachheit halber: Multiplikation/
Division von links nach rechts.

00:06:48.993 --> 00:06:52.986
Also haben wir 40 geteilt durch zwei,
minus fünf mal sechs.

00:06:52.986 --> 00:06:56.520
So, hier haben wir eine Division,
diese kommt als nächstes.

00:06:56.520 --> 00:06:59.493
Wir haben auch noch eine Multiplikation.

00:06:59.493 --> 00:07:01.229
Die beiden sind nicht zusammen,

00:07:01.229 --> 00:07:03.671
also können wir sie gleichzeitig machen.

00:07:03.671 --> 00:07:07.015
Um es deutlich zumachen,
wir berechnen diese vor der Subtraktion,

00:07:07.015 --> 00:07:10.765
da Multiplikation / Division Vorrang vor
Addition / Subtraktion haben

00:07:10.765 --> 00:07:13.191
Wir könnten sie in Klammern setzen,
um zu sagen:

00:07:13.191 --> 00:07:16.387
"Schau mal, wir rechnen diese zwei zuerst,
bevor wir substrahieren,

00:07:16.387 --> 00:07:20.995
denn Multiplikation/Division
haben Vorrang".

00:07:20.995 --> 00:07:26.980
Also 40 geteilt durch zwei ergibt 20.
Dann haben wir das Minuszeichen-

00:07:26.987 --> 00:07:30.941
minus fünf mal sechs ist 30.

00:07:30.941 --> 00:07:35.498
20 minus 30 ist gleich -10

00:07:35.498 --> 00:07:37.992
Und das ist die richtige
Interpretation davon.

00:07:37.992 --> 00:07:40.505
Ich möchte das eines ganz klar ist:

00:07:40.505 --> 00:07:45.667
Wenn man mehrere Berechnungen
auf gleicher Ebene hat

00:07:45.667 --> 00:07:50.502
- also z.B. eins plus zwei,
minus drei, plus vier, minus eins -

00:07:50.502 --> 00:07:54.373
also Addition/Subtraktion auf derselben
Ebene in der Rangfolge der Operatoren hat,

00:07:54.373 --> 00:07:56.952
geht man nach dem Prinzip:
"von links nach rechts" vor.

00:07:56.952 --> 00:08:01.455
Das wird also interpretiert wie:
eins plus zwei ist drei.

00:08:01.455 --> 00:08:05.872
Das ist das gleiche wie
drei minus drei, plus vier minus eins.

00:08:05.872 --> 00:08:10.316
Drei minus drei ist null,
plus vier, minus eins.

00:08:10.316 --> 00:08:14.024
Dies ist das gleiche wie vier minus eins
bzw. das gleiche wie drei.

00:08:14.024 --> 00:08:15.985
Einfach von links nach rechts.

00:08:15.985 --> 00:08:19.979
Das gilt bei auch Multiplikation/Division

00:08:19.979 --> 00:08:22.016
alle auf der gleichen Ebene.

00:08:22.016 --> 00:08:29.400
Hier haben wir vier Mal zwei,
geteilt durch drei mal zwei.

00:08:29.400 --> 00:08:34.484
Vier mal zwei beträgt acht,
geteilt durch drei mal zwei.

00:08:34.484 --> 00:08:39.988
Teilt man acht durch drei
erhält man einen Bruch - das gibt 8/3 -

00:08:39.988 --> 00:08:44.353
Also 8/3 mal 2,

00:08:44.353 --> 00:08:49.465
Und 8/3 mal 2 ergibt 16/3.

00:08:49.465 --> 00:08:50.912
Das ist die Interpretation.

00:08:50.912 --> 00:08:54.965
Man macht nicht erst die multiplikation
oder die 2 geteilt durch 3 oder ähnliches.

00:08:54.965 --> 00:08:59.025
Das einzige mal wo die Reihenfolge
keine Rolle spielt ist,

00:08:59.025 --> 00:09:01.964
wenn alle Operationen Addition
oder alle Multiplikation sind.

00:09:01.964 --> 00:09:08.492
Z.B. 1 plus 5, plus 7, plus 3, plus 2
- hier spielt die Reihenfolge keine Rolle.

00:09:08.492 --> 00:09:10.657
Hier kann man zwei plus drei,
plus sieben ...

00:09:10.657 --> 00:09:12.754
d.h. man kann von rechts nach links gehen;

00:09:12.754 --> 00:09:14.109
oder von links nach rechts;

00:09:14.109 --> 00:09:15.886
oder man beginnt irgendwo dazwischen.

00:09:15.886 --> 00:09:18.019
Hauptsache alle Operationen sind Addition.

00:09:18.019 --> 00:09:20.943
Das gleiche gilt,
wenn man nur Multiplikation hat.

00:09:20.943 --> 00:09:25.502
Bei eins mal fünf, mal sieben, mal drei,
mal 2 spielt die Reihenfolge keine Rolle.

00:09:25.502 --> 00:09:31.570
Das gilt nur, wenn man ausschließlich
Multiplikation oder Addition hat.

00:09:31.570 --> 00:09:34.682
Wenn es rechts eine Division,
oder links eine Subtraktion gäbe

00:09:34.682 --> 00:09:39.017
würde man am Besten
von links nach rechts vorgehen.