0:00:00.000,0:00:02.997 In diesem Video werden wir über die 0:00:03.006,0:00:06.990 Operatorrangfolge reden.[br]Ich möchte das ihr sehr genau aufpasst 0:00:06.990,0:00:08.757 denn wirklich ALLES was ihr 0:00:08.757,0:00:10.793 in der Mathematik macht 0:00:10.793,0:00:14.524 basiert auf einem guten[br]Verständnis der Vorrangregeln 0:00:14.524,0:00:16.994 Also was meinen wir mit Operatorrangfolge? 0:00:16.994,0:00:18.518 Nehmen wir ein Beispiel. 0:00:18.518,0:00:21.418 Der Sinn der Sache ist,[br]eine Möglichkeit zu haben, 0:00:21.418,0:00:23.828 eine mathematische Aussage[br]zu interpretieren. 0:00:23.828,0:00:26.239 Sagen wir ich habe die Aussage: 0:00:26.239,0:00:31.983 sieben, plus drei, mal fünf. 0:00:31.983,0:00:36.001 Jetzt, wenn wir nicht über[br]die Rangfolge einig wären 0:00:36.001,0:00:39.335 gäbe es 2 Möglichkeiten,[br]diese Aussage zu interpretieren. 0:00:39.335,0:00:41.424 Man konnte es von links nach rechts lesen. 0:00:41.424,0:00:44.506 So könnte man sagen, 0:00:44.506,0:00:46.770 man nimmt sieben plus drei. 0:00:46.770,0:00:50.334 und das Ergebnis multiplizieren wir mit 5 0:00:50.334,0:00:52.979 Sieben plus drei ist zehn 0:00:52.979,0:00:54.947 und dann mit fünf multiplizieren. 0:00:54.947,0:00:56.974 [br]Zehn Mal fünf ergibt fünfzig. 0:00:56.974,0:01:00.745 Das ist also eine Möglichkeit, wie man den[br]Ausdruck hätte interpretieren können, 0:01:00.745,0:01:04.289 wenn man sich nicht auf eine Reihenfolge[br]der Operationen festgelegt hätte. 0:01:04.289,0:01:05.737 Einfach von links nach rechts. 0:01:05.737,0:01:07.052 Eine andere Interpretation: 0:01:07.052,0:01:09.523 Sie sagen,[br]Sie ziehen Multiplikation der Addition vor 0:01:09.523,0:01:13.917 Dann könnte man zu folgendem Schluß kommen[br]- ich versuche es farblich zu machen - 0:01:13.917,0:01:17.256 Zuerst berechnet man die drei mal fünf. 0:01:17.256,0:01:24.425 Sieben plus drei mal fünf. 0:01:24.425,0:01:29.960 Das ergibt 15.[br]Dann plus 7 und wir erhalten 22. 0:01:29.960,0:01:34.893 Also, wir haben die Aussage[br]in zweierlei Weise interpretiert 0:01:34.893,0:01:37.216 Die erste war nur einfach[br]von links nach rechts. 0:01:37.216,0:01:39.215 Erst die Addition,[br]dann die Multiplikation. 0:01:39.215,0:01:42.016 Anschließend haben wir erst multipliziert[br]und dann addiert. 0:01:42.016,0:01:45.498 Wir bekamen 2 verschiedene Antworten.[br]Das ist in der Mathematik nicht gut. 0:01:45.498,0:01:49.498 Wenn dies Teil einer Mondmission wäre 0:01:49.498,0:01:51.983 und zwei Personen rechnen unterschiedlich 0:01:51.983,0:01:55.016 oder zwei Computer kommen zu[br]unterschiedlichen Ergebnissen 0:01:55.016,0:01:57.558 fliegt der Satellit vielleicht zum Mars! 0:01:57.558,0:01:59.401 Das wäre völlig inakzeptabel. 0:01:59.401,0:02:03.051 Genau deshalb müssen wir uns auf[br]eine Rangordnung der Operatoren einigen. 0:02:03.051,0:02:06.004 Ein einheitlicher Weg,[br]um diese Aussage zu interpretieren 0:02:06.004,0:02:11.522 Die gültige Operatorrangfolge besagt,[br]das Klammern zuerst kommen. 0:02:11.522,0:02:18.003 Schreiben wir das auf.[br](Parentheses = 'Klammern') 0:02:18.003,0:02:19.988 Dann folgen die Exponenten. 0:02:19.988,0:02:23.011 Wenn Sie nicht wissen was Exponenten sind,[br]keine Sorge. 0:02:23.011,0:02:27.983 In diesem Video haben wir[br]kein Beispiel mit Exponenten. 0:02:29.029,0:02:35.026 Als nächstes folgt die Multiplikation.[br]Schreiben wir "Mult." als Abkürzung. 0:02:35.026,0:02:40.002 Multiplikation und Division[br]haben die gleiche Priorität. 0:02:40.002,0:02:47.013 Und dann endlich kommen[br]Addition und Subtraktion. 0:02:47.013,0:02:49.467 Also, was stellt diese Reihenfolge dar? 0:02:49.467,0:02:55.471 Ich beschrifte das. Das hier ist[br]die allgemein gültige Operatorrangfolge. 0:02:55.471,0:02:58.350 Wenn wir dieser Operatorrangfolge folgen, 0:02:58.350,0:03:01.489 sollten wir bei einer mathematischen Aussage,[br]immer die gleiche Antwort erhalten. 0:03:01.489,0:03:02.656 Was sagt uns das? 0:03:02.656,0:03:05.281 Wie sollen wir die Aufgabe interpretieren? 0:03:05.281,0:03:08.519 Nun, wir haben keine Klammern.[br]Klammern sehen so aus. 0:03:08.519,0:03:10.637 Das sind die krummen Dinger um Zahlen. 0:03:10.637,0:03:12.329 Wir haben hier keine Klammern, 0:03:12.329,0:03:14.951 Mache ich ein paar Beispiele mit Klammern. 0:03:14.951,0:03:16.983 Wir haben keine Exponenten hier. 0:03:16.983,0:03:20.493 Wir haben Multiplikation/Division[br]bzw. nur Multiplikation. 0:03:20.493,0:03:25.001 Also die Operatorrangfolge besagt:[br]"Multiplikation und Division zuerst". 0:03:25.001,0:03:28.320 Also, es heißt "die Multiplikation zuerst" 0:03:28.320,0:03:32.402 Das ist eine Multiplikation,[br]also kommt dieser Vorgang zuerst. 0:03:32.402,0:03:35.965 Er hat Vorrang gegenüber[br]Addition oder Subtraktion. 0:03:35.965,0:03:38.978 So wenn wir dies zuerst tun,[br]bekommen wir drei mal fünf. 0:03:38.978,0:03:42.469 - das gibt fünfzehn -[br]und dann erst fügen wir die sieben hinzu. 0:03:42.469,0:03:44.723 Die Addition / Subtraktion[br]kommt anschließend. 0:03:44.723,0:03:47.866 Hier haben wir nur Addition. 0:03:47.866,0:03:51.956 Wir machen die Multiplikation zuerst,[br]erhalten 15, dann plus sieben = 22 0:03:51.956,0:03:56.113 Also basierend auf der allgemein gültigen[br]Operatorrangfolge, 0:03:56.113,0:04:01.475 ist das hier die korrekte Antwort und der[br]richtige Weg die Aufgabe zu interpretieren 0:04:01.475,0:04:03.474 Machen wir ein weiteres Beispiel. 0:04:03.474,0:04:07.492 Ich denke, dass es dann wenig klarer wird. 0:04:07.492,0:04:09.977 Und ich werde das Beispiel in Pink. 0:04:09.977,0:04:19.011 Sagen wir ich habe sieben plus drei[br]in Klammern. 0:04:19.011,0:04:30.002 Das mal vier, geteilt durch zwei,[br]minus fünf, mal sechs. 0:04:30.002,0:04:31.986 Es gibt hier alle Arten an Operatoren, 0:04:31.986,0:04:35.617 aber wenn Sie einfach die Reihenfolge[br]beachten, wird es einfacher und klarer 0:04:35.617,0:04:39.009 und ich hoffe wir bekommen[br]alle die gleichen Antworten. 0:04:39.009,0:04:41.261 Folgen wir einfach der[br]Rangfolge der Operatoren. 0:04:41.261,0:04:43.752 Das erste was wir tun müssen ist,[br]Klammern zu suchen. 0:04:43.752,0:04:45.783 Gibt es hier Klammern? Ja, gibt es! 0:04:45.783,0:04:48.488 Es gibt sieben plus drei in Klammern. 0:04:48.488,0:04:53.487 So, es heißt, Klammern zuerst.[br]Also sieben plus drei ist zehn. 0:04:53.487,0:04:57.013 Das können wir, entsprechend der Rangfolge[br]zu einer zehn vereinfachen. 0:04:57.013,0:05:01.256 Zehn mal der Rest.[br]- Lasst mich das kopieren - 0:05:01.256,0:05:03.996 Dann muss ich es nicht nochmal schreiben. 0:05:03.996,0:05:06.520 - kopieren[br]- einfügen 0:05:06.520,0:05:08.659 Also vereinfacht,[br]die zehn Mal all das hier. 0:05:08.659,0:05:12.070 Wir haben unsere Klammern zuerst.[br]Was tun wir dann? 0:05:12.070,0:05:14.422 Es gibt keine weitere Klammern[br]in diesem Ausdruck. 0:05:14.422,0:05:17.729 Dann sollten wir Exponenten berechnen.[br]Ich sehe hier keine Exponenten. 0:05:17.729,0:05:20.145 Nur damit Sie wissen[br]wie Exponenten aussehen. 0:05:20.145,0:05:22.993 Ein Exponent würde aussehen wie[br]- sieben im Quadrat. 0:05:22.993,0:05:25.699 Sie würden diese kleine Zahl[br]oben rechts sehen. 0:05:25.699,0:05:28.017 Aber wir haben hier keine Exponenten. 0:05:28.017,0:05:32.252 Dann heißt es Multiplikation[br]und Division als nächstes. 0:05:32.252,0:05:34.199 Wo haben wir überall Multiplikation? 0:05:34.199,0:05:38.466 Multiplikation, Division[br]und noch eine Multiplikation. 0:05:38.466,0:05:43.045 Wenn man mehrere Vorgänge[br]mit gleicher Priorität hat 0:05:43.045,0:05:47.494 und in unserer Aufgabe haben wir mehrere,[br](Multiplikationen und Divisionen) 0:05:47.494,0:05:49.992 dann gilt von links nach rechts. 0:05:49.992,0:05:54.141 In diesem Fall multipliziert man mit vier 0:05:54.141,0:05:57.906 und dann teilt man durch zwei.[br] 0:05:57.906,0:06:02.987 Dann rechnen wir die fünf mal sechs,[br]bevor wir Subtrahieren. 0:06:02.987,0:06:06.504 Also lasst uns herausfinden, was das gibt. 0:06:06.504,0:06:08.984 Wir machen diese Multiplikation zuerst. 0:06:08.984,0:06:12.457 Wir könnten die andere Multiplikation[br]gleichzeitig erledigen. 0:06:12.457,0:06:13.769 Das würde nichts ändern. 0:06:13.769,0:06:16.053 Ich mache aber[br]einen Schritt nach dem anderen. 0:06:16.053,0:06:19.481 Der nächste Schritt, den wir machen,[br]ist diese zehn Mal vier. 0:06:19.481,0:06:24.963 Zehn Mal vier ist ist vierzig. 0:06:24.963,0:06:31.934 Dann 40 geteilt durch zwei .[br]- Ich kopiere wieder alles - 0:06:31.934,0:06:34.244 Dann vereinfacht es es sich hierzu. 0:06:34.244,0:06:37.466 Nicht vergessen, Multiplikation / Division[br]haben dieselbe Priorität, 0:06:37.466,0:06:40.000 also werden wir wieder von[br]links nach rechts vorgehen. 0:06:40.000,0:06:43.006 Man kann das auch als Multiplikation[br]mit 0,5 ausdrücken. 0:06:43.006,0:06:44.960 Da ist die Reihenfolge egal. 0:06:44.960,0:06:48.993 Der Einfachheit halber: Multiplikation/[br]Division von links nach rechts. 0:06:48.993,0:06:52.986 Also haben wir 40 geteilt durch zwei,[br]minus fünf mal sechs. 0:06:52.986,0:06:56.520 So, hier haben wir eine Division,[br]diese kommt als nächstes. 0:06:56.520,0:06:59.493 Wir haben auch noch eine Multiplikation. 0:06:59.493,0:07:01.229 Die beiden sind nicht zusammen, 0:07:01.229,0:07:03.671 also können wir sie gleichzeitig machen. 0:07:03.671,0:07:07.015 Um es deutlich zumachen,[br]wir berechnen diese vor der Subtraktion, 0:07:07.015,0:07:10.765 da Multiplikation / Division Vorrang vor[br]Addition / Subtraktion haben 0:07:10.765,0:07:13.191 Wir könnten sie in Klammern setzen,[br]um zu sagen: 0:07:13.191,0:07:16.387 "Schau mal, wir rechnen diese zwei zuerst,[br]bevor wir substrahieren, 0:07:16.387,0:07:20.995 denn Multiplikation/Division[br]haben Vorrang". 0:07:20.995,0:07:26.980 Also 40 geteilt durch zwei ergibt 20.[br]Dann haben wir das Minuszeichen- 0:07:26.987,0:07:30.941 minus fünf mal sechs ist 30. 0:07:30.941,0:07:35.498 20 minus 30 ist gleich -10 0:07:35.498,0:07:37.992 Und das ist die richtige[br]Interpretation davon. 0:07:37.992,0:07:40.505 Ich möchte das eines ganz klar ist: 0:07:40.505,0:07:45.667 Wenn man mehrere Berechnungen[br]auf gleicher Ebene hat 0:07:45.667,0:07:50.502 - also z.B. eins plus zwei,[br]minus drei, plus vier, minus eins - 0:07:50.502,0:07:54.373 also Addition/Subtraktion auf derselben[br]Ebene in der Rangfolge der Operatoren hat, 0:07:54.373,0:07:56.952 geht man nach dem Prinzip:[br]"von links nach rechts" vor. 0:07:56.952,0:08:01.455 Das wird also interpretiert wie:[br]eins plus zwei ist drei. 0:08:01.455,0:08:05.872 Das ist das gleiche wie[br]drei minus drei, plus vier minus eins. 0:08:05.872,0:08:10.316 Drei minus drei ist null,[br]plus vier, minus eins. 0:08:10.316,0:08:14.024 Dies ist das gleiche wie vier minus eins[br]bzw. das gleiche wie drei. 0:08:14.024,0:08:15.985 Einfach von links nach rechts. 0:08:15.985,0:08:19.979 Das gilt bei auch Multiplikation/Division 0:08:19.979,0:08:22.016 alle auf der gleichen Ebene. 0:08:22.016,0:08:29.400 Hier haben wir vier Mal zwei,[br]geteilt durch drei mal zwei. 0:08:29.400,0:08:34.484 Vier mal zwei beträgt acht,[br]geteilt durch drei mal zwei. 0:08:34.484,0:08:39.988 Teilt man acht durch drei[br]erhält man einen Bruch - das gibt 8/3 - 0:08:39.988,0:08:44.353 Also 8/3 mal 2, 0:08:44.353,0:08:49.465 Und 8/3 mal 2 ergibt 16/3. 0:08:49.465,0:08:50.912 Das ist die Interpretation. 0:08:50.912,0:08:54.965 Man macht nicht erst die multiplikation[br]oder die 2 geteilt durch 3 oder ähnliches. 0:08:54.965,0:08:59.025 Das einzige mal wo die Reihenfolge[br]keine Rolle spielt ist, 0:08:59.025,0:09:01.964 wenn alle Operationen Addition[br]oder alle Multiplikation sind. 0:09:01.964,0:09:08.492 Z.B. 1 plus 5, plus 7, plus 3, plus 2[br]- hier spielt die Reihenfolge keine Rolle. 0:09:08.492,0:09:10.657 Hier kann man zwei plus drei,[br]plus sieben ... 0:09:10.657,0:09:12.754 d.h. man kann von rechts nach links gehen; 0:09:12.754,0:09:14.109 oder von links nach rechts; 0:09:14.109,0:09:15.886 oder man beginnt irgendwo dazwischen. 0:09:15.886,0:09:18.019 Hauptsache alle Operationen sind Addition. 0:09:18.019,0:09:20.943 Das gleiche gilt,[br]wenn man nur Multiplikation hat. 0:09:20.943,0:09:25.502 Bei eins mal fünf, mal sieben, mal drei,[br]mal 2 spielt die Reihenfolge keine Rolle. 0:09:25.502,0:09:31.570 Das gilt nur, wenn man ausschließlich[br]Multiplikation oder Addition hat. 0:09:31.570,0:09:34.682 Wenn es rechts eine Division,[br]oder links eine Subtraktion gäbe 0:09:34.682,0:09:39.017 würde man am Besten[br]von links nach rechts vorgehen.